聚焦数形结合思想，巧解函数问题

俞航斌

摘 要：函数贯穿整个初高中阶段，不仅是数学学习的重要组成，也是数学学习的难点，更是考察的热点.在传统函数问题解答中，学生常常面临诸多问题，致使其频频失分.鉴于此，即可借助数形结合思想，旨在借助直观的图形，将复杂的函数问题简单化、具体化，拓展学生的解题思路，提升学生的解题效率.本文就以此视角切入，结合一定的例题，针对数学结合思想在函数问题中的具体应用进行了详细地探究，具备一定的参考价值.

关键词：初中数学；函数问题；数形结合；解题路径

函数问题贯穿初高中数学学习，也是数学学习的重难点.针对初中阶段来说，函数占据很大的比重，包括一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数等.同时，在最新的初中数学课程标准中，也对函数学习提出了新的目标：理解并掌握函数概念、解析式、图象性质特点，建立函数与方程不等式之间的函数，将函数知识灵活应用到实际生活中等.在这一背景下，初中函数已成为考察的重点.在调查中发现当前初中生函数问题解答能力比较低，致使学生在解答函数问题时常常面临诸多困难，甚至频频出现失分现象.鉴于此，唯有灵活融入数形结合思想，将抽象、复杂的数学问题进行转化，使其变得更加简单、具体，能够帮助学生拨开云雾，迅速找到解题的思路.

1 数形结合思想与函数问题解题

函数作为初中数学中的重要组成，学生在解答这一类型的问题时，不仅仅要掌握相关的数学基础知识，还应具备一定的解题技巧.在诸多函数解题技巧中，数形结合思想尤为常见.数形结合不仅仅是一种数学思想，也是一种非常重要的数学解题工具.关于数学这一学科来说，“数”和“形”是基本的研究对象，两者相辅相成、缺一不可，共同构成了数学学科的研究要素.同时，在最新的数学课程标准中，也对其提出了明确的要求，即：在组织和开展数学教学时，并关注学生的直观几何性，借助图形这一工具，对问题进行描述和分析，最终完成数学问题的解答.可以说，数形结合思想以其独特的优势，已经在函数问题、不等式问题、方程问题中得到了广泛的应用，不仅促进了抽象问题具体化、复杂问题简单化，也在很大程度上促进了学生思维的发展.

经课堂教学实践证明，将数形结合思想与函数问题融合到一起，可借助数形结合思想化复杂为简单、化抽象为具體，并发散学生的解题思维，真正提升学生的数学解题能力.除此之外，在数形结合思想的辅助下，还可将原本抽象的函数概念和性质等直观地展示出来，使得学生在形象感知中，对其形成深刻地理解和记忆，提升了学生的学习效果，为日后的函数解题奠定了坚实的基础；另外，数形结合解题训练也是一种数学思维训练模式，可促使学生在训练中，逐渐形成从多个角度分析问题的能力，不仅促进了思维的发展，也实现了数学知识的灵活运用［1］.

2 数形结合思想在初中函数解题中的具体应用

2.1 数形结合，开拓解题思路

在日常函数解题教学中，存在一个常见的现象：相关的例题讲了很多，但是学生的函数解题能力始终停留在教师所讲解的题目中，只要条件稍微改变一下，学生便无从下手.导致这一现象的主要原因：教师在教学时，常常“就题论题”，忽视了“授之以鱼不如授之以渔”，致使学生在学习中并未真正领悟其中蕴含的数学思想，难以在学习中形成明确的解题思路.鉴于此，为了提升学生的函数解题能力，就必须要在日常解题教学中，适时融入数形结合思想，促使学生在图形的辅助下，形成一定的数学解题思维.

例1 若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）三点均在反比例函数y=2/x图象上，且A、B、C三点横坐标的关系是x1＜x₂＜0＜x₃，则y₁、y₂、y₃三者的大小关系是（  ）.

A. y₃＞y₁＞y₂

B. y₁＞y₂＞y₃

C. y₂＞y₁＞y₃

D. y₃＞y₂＞y₁

解析：这一题目考察的点是“反比例函数图象上点的坐标特征”，学生在解答这一问题时，唯有结合反比例函数y=2/x，并将其图象画出来（如图1所示），并对函数的图象进行判断，结果为：该函数图象分布在第一、第三象限之内.随即，学生即可结合函数图象所在的象限，判断出y值伴随着x的增加而逐渐减小.同时，再结合题目中所给的条件x₁＜x₂＜0＜x₃，即可精准判断出y₁、y₂、y₃三者之间的关系为y₃＞y₁＞y₂.

结合本题考查的知识点，如果按照常规的思路进行解答，常常需要耗费大量的时间和精神，不宜成为该题目的解答方式.在这一背景下，借助数形结合思想，在y=2/x函数图象的辅助下，即可精准确定y₁、y₂、y₃三者的关系.

2.2 数形结合，培养解题思维

函数知识点集数和形于一体，一个函数可以用解析式进行表示，也可以用图形进行表示.这一点，不仅仅凸显了函数中蕴含的数形结合思想，也是学生解答函数问题的重要方法.在解决函数问题时，学生唯有融入数形结合思想，才能将原本抽象、复杂的函数问题进行转化，进而形成明确的解题思路.

例2 如图2所示，点A在双曲线y=k/x上，且AB⊥x轴，垂足为B点，且△AOB的面积为2，则k的值为多少？

解析：这一函数题目主要围绕“反比例函数系数k的几何意义”进行考察，将函数知识与几何知识融为一体，难度系数有所增加.在具体解答这一问题时，结合反比例函数系数k存在的几何意义，以及函数所属第二、四象限的性质，即可将其确定出来.具体来说，结合题目中所给的条件，得知S_△AOB=2，因此k=4.又因为y=k/x的图象分布在第二、第四象限之内，因此反比例函数系数k＜0，即：k=-4.这一类型的题目在日常考试中尤为常见，做题的关键就在于正确理解k的几何意义，并结合图象分析进行解答［3］.

例3 如图3所示，直线l1的解析式为：y=x+1，直线l2的解析式为：y=mx+n，两条直线相交于点P（a，2），那么，关于x的不等式x+1≥mx+n的解集是多少？

解析：这一题目将一次函数与不等式知识完美地融合到一起，充分体现了数学知识的特点.在解答这一问题时，如果按照传统的解题思路进行，学生需要结合两条直线的解析式，求出a的值，但是无法确定出m、n的值，只能得出两者的关系.面对这一现状，在引导学生解答该题目时，就可借助数形结合思想，将l1纵坐标大于l2的部分标出来，就可直接发现，包括P点在内的右侧部分，均是符合题目要求.同时，解题题目中所给的条件，因为P点的横坐标为a，且a=1.由此即可得出答案，该不等式的解集为x≥1.由此可见，在部分函数题目中，单纯地借助数学思维进行解题，常常会陷入到一定的思维困境中.此时，就可融入函数图象这一工具，通过图形分析，由图转数，最终即可轻松得出答案.

例4 证明方程（x-m）（x+n）=1必有两个实数根，且x1＞m，x2＜m.

解析：这一道证明题，如果按照常规的解题思路，先将其进行转化，使其成为一元二次方程，然后再通过判别式的大小，对方程实数根的个数进行判断，最后求解并与m进行比较.这种解题思路显然比较困难.此时，就可融入数形结合思想，根据方程转化成为函数，并画出函数图象.具体来说，假设y=（x-m）（x+n）-1，此时结合二次函数的性质，得出该函数的二次项系数大于0，因此该函数图象为开口向上的抛物线，又因为当x=m时，y=-1，因此，点（m，-1）在x轴的下方，据此就可将该函数的图象画出来（如图4所示）.假设该抛物线与x轴存在两个交点，分别为A（x₁，0）B（x₂，0），且这两点位于（m，-1）的两侧，则存在x₂＜m＜x₁，且x₁、x₂则为方程的解.在本题目中，常规证明思路常常会受阻，唯有借助数形结合思想，将方程进行转化，构造二次函数，并据此画出图象，结合其性质进行证明.

2.3 数形结合，解决实际问题

新课程下，倡导培养学生解决实际问题的能力，真正实现知识的“学以致用”.函数问题在生活中也尤为常見.鉴于函数问题的特点，一旦遇到生活问题，将是难上加难，致使不少学生都出现失分的现象.针对这一现状，在引导学生进行解题时，就可融入数形结合思想，彻底攻克这一难题.

例5 花园中有一个圆形的喷水池，喷水池中间有个喷水柱正在喷水，水流从柱子的顶端朝着各个方向喷出，形成了条条抛物线（如图5所示），假设点A为喷水柱的顶端，点B为喷水抛物线的最高点，喷出的水流恰恰在C点落入到水池中.假设水流的高度y（米）和水平距离x（米）之间存在一个函数关系式，这一函数的解析式为y=-x²+2x+5/4.

求：（1） 喷水柱DA的高度.

（2） 水流喷出的最大的高度是多少？

（3） 要想保证该喷水池中喷泉的水不会喷到外面，则圆形水池的半径最小应控制在多少？

解析：这一问题就是函数在生活中的应用，以学生最为常见的喷泉作为题目素材，为学生设计了有关函数的问题.在第（1）问中，要求OA的高度，即可结合图象得知，当x=0时的纵坐标即为喷水柱OA的高度，通过函数解析式即可得出A点的坐标，即0，54，因此，OA的高度为1.25米；在第（2）问的解答中，水流喷出的最大的高度即为函数的顶点坐标，据此就可将函数进行转化，使其成为顶点式，得出y=-（x-1）²+9/4，最终得出水流的最高高度为2.25米；在第（3）问的解答中，就可将水池半径进行转化，使其成为方程-x²+2x+5/4=0的根，最终解方程得出C点的坐标为（2.5，0），因此水池的半径最小应控制在2.5米［4］.由此可见，在这一题目中，解题的关键就是对生活问题进行转化，使其成为数学中常见的函数问题，再在基础上借助数形结合思想，利用图象分析即可轻松解答.

2.4 数形结合，规避常见的错误

在初中各种类型的考试中，函数问题尤为常见.部分学生虽然已经掌握了相关的知识，但在解题时忽略了数形结合思想的融入，致使解题中频频出现失误.面对这一现象，在引导学生规避解题错误时，就可借助数形结合思想这一工具，引导学生在代数和几何思维相结合的过程中，得出正确的答案.

例6 当-2≤x≤2时，求函数y=x²-2x-3的最大值和最小值？

解析：这是一道非常基础的函数最值问题，也是各大考试重点.部分学生在解答这一问题的时候，由于其忽略了数形结合思想的应用，导致其出现错误，即：分别将x=-2，x=2代入到函数解析式中，求出对应的值.当x=-2时，y=5；当x=2时，y=-3.据此得出该函数的最大值为5，最小值为-3.这一解题过程却是错误的，究其主要原因就是在代数思维的影响下，直接将自变量x的最大值和最小值代入到函数式中，误认为其对应的值就是函数最大值和最小值.

但是在解答问题时，如果融入了数形结合思想，就会出现不一样的答案.具体来说，先引导学生结合所学的内容，将函数y=x²-2x-3的图象画出来（如图6所示）.

对图象进行观察得知，该函数是一个开口向上的抛物线，根据所学知识，很轻松得出其对称轴为x=-b/2a=1.因此，当x=1时，y_最小=-4.之后，再将x=-2带入到函数解析式中，得出y=5；将当x=2带入到函数解析式中，得出y=-3，因为-3＜5.因此，当x=1时，函数y=x²-2x-3存在最小值，y_最小=-4；当x=-2时，函数y=x²-2x-3存在最大值，y最大=5.由此可见，在解答部分初中函数问题时，一旦忽视了数形结合思想的运用，按照常规的代数思维解题，就会出现各种各样的错误，而在数形结合的辅助下，则能有效规避这一现象，不断提升学生的数学解题正确率.

3 结语

综上所述，在数学学习中，数轴打开了数形结合思想的帷幕，随之而来的不等式、函数等知识，都必须要依托于一定的数形结合思想，才能形成深刻的理解，才能灵活解决相关的问题.尤其是在新课程改革背景下，数形结合思想作为一种重要的数学思想得到了前所未有的重视.鉴于此，作为一名初中数学教师，唯有立足于具体的内容，将数形结合思想融入到函数日常教学、解题训练中，才能促使学生在潜移默化中形成一定的数形结合思想，并在这种意识的支配下，将其灵活应用到日常解题中.

参考文献：

［1］ 姚静娴.初中函数教学渗透数形结合思想的研究［D］.扬州大学，2022.

［2］ 方福强.浅析初中函数“数形结合”的解题策略［J］.新课程（下），2019（4）：88.

［3］ 廖琼.试论数形结合思想在函数解题技巧中运用的价值［J］.读写算，2019（10）：192.

［4］ 雷红，杨文.数形结合思想在初中数学解题中的应用——以初中函数问题为例［J］.福建中学数学，2019（2）：4648.