从高考试题看“恒成立”问题的解决方法

张颖

摘 要：本文结合新高考实施以来部分地区高考原题，讨论分析“恒成立”问题在高考试题中的呈现形式及解决办法.通过对高考试题的分析，总结一些共性的解题策略.首先判断待解题型是否属于“恒成立”问题，若属于“等式恒成立”问题，则可通过“特殊化”的办法打开思路，寻找动因，利用变化中的不变量构造等量关系；若属于“不等式恒成立”问题，则可利用参变分离等方法，从函数的角度理解问题，进而求出解答.

关键词：恒成立；特殊化；函数；动因

“恒成立”问题一直是高考试题中的一个热点问题.新高考实施以来，各类题型、不同考点中往往都会渗透“恒成立”问题.那么，应如何解答“恒成立”问题？下面结合近几年的高考试题谈一些求解此类问题的方法.

3 结论

综合前面几道高考试题的解答，今后我们在遇到问题时，可以按照下面的线索进行思考：

（1） 判断所要解决的问题是否为“恒成立”问题.

首先看已知条件中是否有“任意的”“无论取何值”“存在无穷个”等对于某个命题都成立的语句.若并未明确指出的，我们可以通过探寻题意中是否存在“变中之不变”的含义来辨别是否为“恒成立”问题.

（2） 若属于“等式恒成立”问题，我们可以从两个方面考虑：

其一，能否采用“特殊化”的思想，如例1、例2.此时，或许有些问题就解决了，而哪怕有些问题不能完全解决也基本能找到问题的突破口，使复杂问题简單化，给我们提供一些启示.

其二，寻找“变”的原因（即“动因”）和“不变”的量，如例3.也就是说，要从问题中挖掘出是哪一个量在不断地变化，而哪一个量又是不变的.这样，可以列出那些“不变”的量的等式.

（3） 若问题属于“不等式恒成立”问题，我们也可以从两个方面考虑：

其一，将所求参数a与变量x分离，比如例4.转化为f（x）＞a或f（x）＜a恒成立，进而求出f（x）的最值，满足a＜f（x）min或a＞f（x）max，找出参数的范围.

其二，构造新函数y=f（x）-a，再利用其图象，给出满足y＞0或y＜0的充要条件，进而将问题解决.

当然，当参数和变量可以分离时，分离参数的方法较为方便，尤其是在变量x的取值有范围限制的时候.

总之，从历年的考题变化看，“恒成立”问题是常考常新的热门话题，而且常常出现在中档或中档以上难度的解答题中.对于“恒成立”问题，学生要掌握以上介绍的几种处理方法，做到心中有底，这样才能以不变应万变.

参考文献：

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