回归教材 探寻方法

孙培培 朱会芳

摘 要：高考评价体系将“引导教学”纳入核心功能，有利于理顺教考关系，增强“以考促教的主动意识”.这里的“考”指高考，“教”就是课堂教学.高考试题所涉及的思想方法大都在教材中有所体现，甚至重复出现，这就为我们的教学提供了思路——以考促教.

关键词：以考促教；课堂教学；高考试题

新高考背景下，大家开始重新审视人教版教材，回归教材成了大家的口头禅，书上的内容很多，如何回归是大家的疑惑，本文就2021年新高考Ⅰ卷的第19题展开探讨.

1 例题解析

例1 （2021年新高考Ⅰ卷第19题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b²=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1） 证明：BD=b；

（2） 若AD=2DC，求cos∠ABC.

高考考查学生高质量地整合数学相关知识，并运用数学知识解决问题的能力，考查学生在面对情境时独立思考和探索创新的内在的认知品质，即思维品质、方式和能力的综合［1］.

课程标准［2］：① 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.

② 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.

③ 利用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.

2 联系教材

必修第二册6.4平面向量的应用中利用向量的方法探究了平行四边形的两条对角线与两条邻边的关系（三角形的中线也类似），蕴含了向量算两次的思想，体现了向量的应用性：

例2 （必修第二册39页）如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？

分析：平行四边形的对角线可以用两边（即基底）来表示；迁移到三角形中，即三角形的中线问题（三等分点等）可以选择基底表示.

其实这个结论和方法都可以进行推广：如三角形的中位线，三角形的三等分点等，考查学生分析问题、发现问题的能力，以及学生运用数学知识解决问题的能力.

涉及两个向量的和或差的模的问题，大多只需对向量的和或差的模平方，便能够快速解决.在解决问题的过程中，我们应有意识地引导学生使用书中给出的向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：（1） 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3） 把运算结果“翻译”成几何关系.

教材：人教版教材把正、余弦定理放在了向量的应用中，我们在教学中要充分挖掘向量的应用价值.向量本身是一种工具，工具就是为我们服务的，我们要充分利用这一工具解决平面几何、立体几何问题.

解法1 余弦定理算两次.

解：（1） 以∠BCD为背景构造余弦定理联立方程即可得解.

（2） 本题也可以选择以∠BAD或者∠ADB和∠BDC这一补角来解决.

教材：教科书利用向量的数量积进行探究，快速地获得了余弦定理，充分体现了向量的优势.事实上，当我们把三角形的两边用向量表示后，问题转化为了关于两个向量及其夹角的问题，于是，自然而然地想到利用向量的数量积进行探究.

解法2 坐标法：利用坐标解决问题的关键是建立平面直角坐标系，怎样表示点坐标是学生解题的难点.

坐标法学生运用非常少，这与我们的教学不重视坐标法在三角形中的运用也有很大的關系.

（必修第二册43页）在余弦定理的证明中，教科书中留有一个思考：你能用其他方法证明余弦定理吗？这是一个很好的渗透坐标法的时机.

无独有偶，在选择性必修第一册中也有一些渗透坐标法的机会，如例3所示.

例3 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.

分析：首先要建立恰当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

证明：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

在ABCD中，点A的坐标是（0，0），设点B的坐标为（a，0），点D的坐标为（b，c），由平行四边形的性质，得点C的坐标为（a+b，c）.

由两点间的距离公式，得

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.

坐标法的运用不仅仅局限于解析几何与立体几何中，在平面几何中也有非常广泛的运用.用坐标法解决平面几何问题的步骤如下：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系，根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，解决几何问题.

分析：以解三角形为背景考查三角恒等变换、诱导公式.这题让考生叫苦不迭，究其原因为不知如何处理sinB=-cosC这一条件.该题体现了新高考的课程理念：在新问题情境中分析问题、发现问题、解决问题.综合运用数学学科的知识和素养解决问题.

解：因为sinB=-cosC，所以C为钝角，建立如图所示的平面直角坐标系.

因为知道角B和角C的弦值之间的关系，可以选择用边b，c以及角B，C来表示点A坐标，进而达到消元的作用.

链接高考：（2017年新课标Ⅰ卷第9题）y=Asin（ωx+φ）的图象变换涉及到诱导公式的考查，以三角函数的图象变换为背景考查诱导公式在高考试题中比比皆是.

教学启示：

高考评价将“引导教学”纳入核心功能，有利于理顺教考关系，增强“以考促教”的主动意识，实现“以考促教、以考促学”的目的.

3 启示

3.1 加强高考试题的研究

高考试题是专家们依据课程标准、教材命制的，具有很高的研究价值.它们体现了新课改的理念、高考评价体系的要求，根据教材精准打击.随着新高考改革的不断深入，为了越来越好地理顺教考关系，研究高考试题是每个教师的必修课.我们不应只关注解题的技巧，一题多解等，还应该注重知识体系和思想方法的考查，通过研究高考试题，我们发现有些知识点重复的考查，每一种解题方法在教材中都有对应的体现，如向量法在教材中以例题的形式呈现，余弦定理求中线长在教材中以课后习题的形式体现，坐标法有例题、习题和思考等.高考试题对每一方法的考查都是有其教材背景的.

老师都习惯于依赖当年的最新模拟试题，而不注重对高考试题的研究，模拟试题有些题目是知识点的重现，没有新意；有些题目很难，背離了高考考查的意图.而高考试题虽然知识重复考查，但都出其不意，体现创新性的要求，我们要从创新性的角度出发理解知识的内涵和外延，进而指导我们的教学.

3.2 重视教材的回归

以一道高考试题说起：（2022年全国乙卷文科）若f（x）=ln|a+1/1-x|+b是奇函数，则a=_______，b=_______.在函数奇偶性教学的过程中，谈及是否可以利用定义域求参数的值时，我就谈到了本道高考试题，无论是根据定义还是选取特殊值都非常烦琐，而本道高考试题就是从定义域的角度出发解决问题的.回顾教材奇偶函数的定义，我们会发现新教材的改变之处：显现了定义域关于原点对称（即x∈D，都有-x∈D），而旧教材是隐含在定义中的.研究高考，回归教材不是一句空话，让我们对教材的理解更加的通透，我们在教学的过程中才能更加游刃有余，这就是“以考促教”.

3.3 重视知识、方法的交叉

本例中的向量、余弦定理、坐标法，都具有一定的联系，我们用向量的方法证明了余弦定理，用坐标法研究了向量，其实也用坐标法证明了余弦定理，这三种方法是相通的.而学生的选择往往是狭隘的，如用坐标法证明余弦定理便较为少见.因为坐标法没有得到老师应有的重视.如解决复杂的向量问题时，往往可以选择坐标法，我们老师同样说：也可以用坐标法解决.久而久之，坐标法成为了学生耳边的过客，导致学生不知道用坐标法还可以解决平面几何问题，只知道解决立体几何与解析几何.究其原因是教师没有理顺教考关系，没有衔接好教考关系.

3.4 重视公式的推导过程

如sinB=-cosC，诱导公式五和六对学生来讲本就是难点，学生不能很好地从对称的角度发现其对称关系，理解起来就比较困难，光凭死记硬背不是长久之计.教材中用一课时介绍这两个诱导公式，有些老师一节课介绍了六组诱导公式.教材中用了探究、留白证明的方式想让学生明白其来龙去脉，而我们却背道而驰.在处理这些公式时，两角和与差的正余弦公式，通过例题和习题的方式让学生证明，其目的应该是从不同的角度理解诱导公式，有些老师为了节省时间，又留给学生一句话：诱导公式是两角和与差的正余弦公式的特例.学生没有基本活动经验，怎能体会其特殊性？

教材、高考相互影响，相互渗透，研究高考试题，让我们更加理解教材的编写意图，更加清晰地理清教考关系，从而让我们的课堂更高效.高效的课堂会促进学生对知识的理解与掌握，从而促进“考”，这就是高考评价体系中所说的教考合一.

参考文献：

［1］ 教育部考试中心制定.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2020.