关注高三专题复习?摇 促进数学学力发展

［摘  要］ 数学家莱布尼兹曾经说过，“用一，从无，可生万物”. 数学专题复习即从“一”出发，让学生有针对性地突破某个知识难点，促进解题能力的触类旁通. 文章以“解析几何中的动点问题”为例，从“循序渐进，激活思维”“深入探索，发展思维”“一题多解，提炼思想”“归纳总结，发展学力”四方面展开分析，并提出几点思考.

［关键词］ 专题复习；动点问题；数学思想

专题复习是指立足实际教情、学情与考情，有针对性地选择一个切入口小的复习专题，力求让学生通过对几个典型问题的研究，学会触类旁通，提高解题能力. 高三专题复习课的质量，对学生知识与技能的掌握程度、数学思想方法的提炼、思维能力的提升以及数学学科核心素养的形成与发展具有直接影响.

教学过程

1. 循序渐进，激活思维

思维发展遵循一定的规律. 复习课上的内容，虽说学生学习过，但结合艾宾浩斯遗忘曲线可知，经过一定的时间，出现遗忘属于正常现象. 因此，在专题复习课的伊始，教师需要借助一些低起点的问题让学生的思维“热热身”，使学生循序渐进地进入专题复习的探索状态.

解析几何中的动点问题是高中数学教学的重点与难点内容之一. 鉴于学生对这部分知识内容有所遗忘，笔者根据学生的实际认知水平，精心挑选了以下三个问题，由浅入深地激活学生的思维，让学生进入自主探索状态.

问题1 已知在△ABC中，AB，BC，AC三边成等差数列，点B（－3，0），C（3，0），写出点A的轨迹方程.

解题实况 此问，学生主要呈现以下两种求解方法：①直接法，设点A的坐标，再化简；②定义法，借助椭圆的定义获得点A的轨迹为椭圆. 很明显，定义法优于直接法. 通过交流发现，学生对于曲线方程相关知识比较生疏，对于求轨迹方程必须检验其完备性出现了遗忘现象.

设计意图 设置问题1意在引发学生自主学习，让学生回顾用直接法和定义法求解动点问题的思路. 显然，定义法在应用时，比直接法更加简便. 这要求学生熟悉圆、椭圆、双曲线与抛物线的定义. 另外，本题提醒学生求动点的轨迹方程时务必检验其完备性.

问题2 已知在平面直角坐标系xOy中，如果点P为一个动点，且在抛物线y=2x2+1上移动，点M是点Q（0，－1）和点P连线的中点，写出点M的轨迹方程.

问题3 已知在平面直角坐标系xOy中，点Q（2a，a－3），点P是圓C：（x－1）2+y2=4上的任意点，求线段PQ的最小值.

解题实况 大部分学生都选择用两点间的距离公式获得点Q与圆心距离的最小值，而后减掉半径，即得问题的解；也有少部分学生选择用消参法获得点Q的方程是一个直线方程，如此将最小值问题转化成点到直线的距离问题.

设计意图 本题意在让学生用消参法来求动点的轨迹方程. 但从解题实况来看，学生在这方面的意识并不强，因此课堂中应注重轨迹思想的渗透.

此环节用时10分钟，在学生自主解决问题的基础上，主要引导学生巩固相关概念与解题方法等. 对于学生存在的疑问，笔者给予适当的点拨与引导，为本节课的教学夯实了思维基础.

2. 深入探索，发展思维

鉴于专题复习的针对性强，选题不可能做到面面俱到，这就要求教师结合课程标准与学生在知识、方法与能力方面的弱点，择取合适的问题，让学生在有限的问题探索中获得最大程度的发展.

本节课，笔者在章建跃先生所提出的“理解教学、理解学生、理解数学”（简称“三个理解”）的基础上，又精心设计了以下三个问题，以期增强学生对“解析几何中的动点问题”的认识，为形成良好的解题技巧与思维能力奠定基础.

问题4 已知圆（x－2a）2+（y－a－3）2=4上恒有两点与原点的距离是1，求实数a的取值范围.

设计意图 设置本题意在深化学生对解析几何中的动点问题的理解，为优化学生的解题思路奠定基础.

设计意图 让学生从常用的两种解法出发，发现解法2的优势在于计算更简便、直接. 在此基础上适当引导与拓展，具有拔高学生思维的作用，让学生学会自主探寻知识间的联系与区别，从而更好地发现与把握知识本质.

从学生在课堂中的表现（大部分学生直接应用的是解法2）来看，在轨迹思想的应用中，学生的能力有所提升. 以阿波罗尼斯圆为背景的引导与点拨，进一步培养了学生的创造意识，让学生学会了灵活转化，这是学习能力有效发展的表现.

3. 一题多解，提炼思想

纵然不少教师非常希望自己能将复习专题课上好，让学生达到举一反三的解题能力，但理想很丰满，现实总是很骨感. 确实，专题复习课虽然有高度的针对性，但高考试题的综合性很强，考查的是学生的思维能力与数学思想方法的应用情况.

究竟怎样能让学生通过课堂中的几道题形成以一通百的解题能力呢？这是一个永不过时的问题. 实践证明，借助一题多解、一解多题等方式，能有效帮助学生提炼数学思想方法，让学生获得用数学思想方法来“统领”零碎知识的能力，为形成触类旁通的解题能力奠定基础.

设计意图 上述两种解法，在设点上存在差异，但思路不约而同——都是从点出发探寻所设点的轨迹方程，此为曲线轨迹方程问题的求解本质. 学生通过一题多解的练习训练，不仅深化了对“用相关点法求动点轨迹方程”的认识和理解，还从中提炼出了相应的数学思想方法，为后续解决更多问题奠定了方法基础.

4. 归纳总结，发展学力

师：回顾本节课学习的知识，请大家谈谈自己的收获.

设计意图 这是一个典型的开放式总结，不同水平层次的学生都可以参与，从学生的言谈中辨析本节课教学的成败，为后续调整教学方案提供了依据.

在总结过程中，有学生紧扣核心概念对曲线方程问题的解法总结得很到位；有学生对动点轨迹方程的求解提出了不同的想法；还有学生总结了本节课所涉及的数学思想方法. 学生的娓娓道来表明其思维自然流畅，体现出了课堂的生态性.

最后，笔者给学生留下一组关于“解析几何中的动点问题”的高考模拟题作为课后作业，力求达到“学以致用”的目的，从综合性的角度帮助学生巩固本节课所学的知识，从真正意义上促进学生学习能力的发展.

几点思考

1. 课程设定需合理

鉴于高三复习时间紧、任务重，不可能将所有知识都设计成复习专题，因此教师在专题复习课程的设定上需要花费一点功夫. 教师可结合课程标准、考纲与考试说明等要求，通过对近些年的高频考点的分析，将一些难度较大的教学内容科学地分成若干个小专题，应用多种教学手段逐个突破.

如本节课所研究的“解析几何中的动点问题”就属于直线与圆锥曲线下的一个子专题. 通過一节课的针对性复习，可以有效帮助学生突破思维的障碍，为打破知识间的界限奠定基础. 在专题复习后再进行综合训练，不仅能有效提高学生的解题技巧，还能加强知识章节间的纵横联系.

2. 问题选择需谨慎

既然为专题复习课，必然离不开问题的辅助. 而问题的选择，则决定着一节课的成败. 专题复习课的问题用于帮助学生突破原有认知障碍，攻克教学重点与难点，为高考服务. 此背景下的问题选择要求比较高，除了难易程度要适中外，还要具有示范性与创新性.

专题复习课的问题不在于难度大，而在于典型；切忌从教辅资料上随意摘取，而应结合学生的实际认知水平与特点，尽可能设计能够帮助学生积累解题经验，发展学生的数学思维，提炼学生的数学思想方法的问题，让学生在问题的剖析中获得举一反三的解题能力.

3. 思想方法需渗透

虽说搞教育的人都知道数学思想方法的重要性，但数学思想方法的形成并非一朝一夕的事情，而需经过日积月累的渗透，让学生自主提炼而来. 如本节课的问题都渗透着转化思想，思路都指向动点轨迹方程的求解，只要学生能踏踏实实地分析、解题，一节课下来基本能提炼出相应的数学思想方法.

从学生解题的实际情况来看，不少学生容易忽略求动点轨迹方程的思想方法. 鉴于这种情况，教师需要有意识地带领学生提炼数学思想方法，鼓励学生自主探究问题本质，想方设法挖掘掩藏在问题背后的数学思想方法，从而跳出“题海”.

4. 复习过程有梯度

专题复习中的内容，虽说学生学习过，但学生的思维在复习前仍处于“休眠”状态，这就需要教师从低起点出发，创设跨度小、密度大的问题，激活学生的思维，让学生做足“准备活动”，使学生的思维充满条理性，提高教学效率的同时让学生感到学习带来的成就感，增加学生的学习信心.

总之，高三专题复习应从高考热点、难点与核心点出发，挖掘知识深度的同时还要关注知识模块间的联系、学习能力的培养以及数学思想方法的渗透等，从真正意义上提升学生的综合解题能力，发展学生的数学学科核心素养.

作者简介：王海娟（1982—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获江阴市先进工作者荣誉.