追溯历史 巧妙设问 提升品质

［摘  要］ 学习是一种传承，更是一种发展. 在高中数学教学中，教师应重视课堂教学内容和教学手段的多样化、丰富化，打破以单一知识讲授为主的传统教学模式，通过创设基于数学史的探究性学习活动来激活思维，帮助学生形成正确的学习观念，提升课堂教学品质和教学效率.

［关键词］ 数学史；探究性学习；学习观念

在高中数学教学中，为了“赶进度”“提效率”，部分教师习惯将概念、公式、定理等内容直接讲授给学生，使得数学课堂因为缺少学生自主探究过程而错失了许多精彩. 在教学中，教师应重视引入数学史，让学生沿着数学家的思维脉络去体验、去感悟，以此激发学生的积极情感，提高教学的有效性. 笔者以“数系的扩充和复数的概念”的教学为例，通过渗透数学史引导学生经历数系扩充及复数概念生成的过程，培养学生的创新意识，树立学生正确的学习观和价值观.

教学目标

1. 知识与技能

（1）了解数系的发展史，理解引入复数的必要性.

（2）理解复数的概念、表示法及相关概念.

（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件.

2. 过程与方法

引导学生经历数系扩充的过程，让学生体会引入复数的必要性，体会数系扩充的合理性，领悟类比思想方法在数系扩充中的价值.

3. 情感与态度

通过经历数系扩充的过程，体会理性思维在数系扩充中的作用，感悟数学在不断完善与发展，培养学生的创新意识，树立学生正确的学习观和价值观.

教学重难点

（1）经历数系发展的过程，理解复数的概念.

（2）虚数单位i的引入，掌握复数相等的充要条件.

教学简录

1. 创设情境，再现历史

问题1 500多年前，卡当提出了这样一个“怪问题”：将10分成两部分，使其乘积为40.

设计意图 再现历史，让学生认识这一“怪问题”的提出者——卡当，感悟数学知识并不神秘，以此拉近学生与数学的距离，激发学生的学习兴趣.

问题2 如果让你去解决这个问题，你会怎么办呢？该问题是否有解？

由此打破了学生的认知局限，使学生感到原有的数集已经不够用了，体会到扩充实数集的必要性. 同时，在此过程中，引导学生按照数学家的思维去思考问题，让学生体会到数学家也是从常规问题入手的，以此揭开数学知识的神秘外衣，激发学生的数学探究热情.

2. 创设问题，追溯历史

问题3 我们经历了几次数系扩充？

设计意图 引导学生回顾旧知，重温数系扩充过程，为新知探究提供生长点，让学生体验数学在不断发展，帮助学生树立正确的学习观和价值观.

问题4 每一次数系扩充分别解决了什么问题？

设计意图 在回答该问题前，笔者组织学生合作交流，回忆每一次数系扩充的背景，让学生深刻体会到数系扩充的必要性.

笔者板书数系扩充过程，如图1所示.

这样通过交流、思考、回顾，让学生感受数系扩充既是为了满足生活和生产的需要，也是为了满足数学发展的需要.

问题5 几次数系扩充有哪些共同特点？

设计意图 引导学生通过观察、思考、交流和概括等，梳理已学知识，感知数系扩充的合理性、必要性，并提炼数系扩充的原则性，进而为数系再次扩充做好充分的准备. 同时通过上述过程培养学生观察、归纳、概括和表达等能力，提高学生的数学抽象素养.

3. 借鉴历史，感悟生成

问题6 现在我们回到课堂初始提出的问题. 在求解二次方程x2+10x+40=0时，，－15的开方问题摆在了卡当面前. 要解决这个问题，就要找一个数的平方为－15，即（  ）2= －15=15×（－1）. 对于15的开方问题已经得到解决，现在转化为－1的开方问题，即（  ）2=－1.

设计意图 回到课堂初始情境，再现卡当提出的问题，让学生处于“憤悱”状态，以此提高学生学习的主动性、积极性. 同时，合理运用留白艺术，为学生提供充分的时间和空间思考，从而让“新数”呼之欲出.

问题7 你们知道是谁引入的“i”吗？为什么引入“i”呢？

生1：卡当？

师：不是，卡当只是提出了这个矛盾，但他并没有真正解决这个矛盾. “i”是瑞士著名数学家欧拉在1777年引入的，距今200多年，而卡当发现这一矛盾距今500多年，可见科学每迈出一步需要无数人不懈努力，并付出艰辛和汗水. 那么为什么会是“i”呢？它取自“imaginary”的首字母，指为“想象的，假想的”.

设计意图 介绍与虚数单位“i”有关的历史，强化学生对“i”的认识. 同时，笔者重点强调时间，让学生体会科学的每一次进步都需要无数人付出艰辛和汗水，帮助学生树立正确的人生观.

问题8 引入“i”后，卡当遇到的问题是不是就可以解决了呢？

追问：你能否列举一些实例呢？

问题9 结合你提出的实例，你能写出它的一般形式吗？

设计意图 引导学生向一般化转化，培养学生的数学抽象素养. 在此环节中，笔者没有急于给出结果，而是提供时间让学生思考、交流、建构，以使学生突破本节课的重难点，得到复数的代数形式.

问题10 a+bi（a，b∈R）一定是虚数吗？

设计意图 通过思考辨析，引导学生自动分类复数，以此深化概念理解，培养思维的严谨性和深刻性，顺利攻克本节课的难点. 概念的深化理解需要经历一个过程，教师要创造机会让学生去思考、去辨析，以此让学生全面地、正确地理解概念，为后续概念的应用打下坚实的基础.

设计意图 通过合作交流提炼复数相等的充要条件，深化学生对复数相关概念的理解.

4. 学以致用，深化理解

练习1 对于集合N，Z，Q，R，C，它们之间存在怎样的关系呢？

練习2 以下各数中，______是实数，______是虚数，______是纯虚数. （用序号表示）

练习3 对于复数z=m（n－1）+（m－1）i，当实数m取何值时，复数z是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

练习4 已知（x+y）+（x－2y）i=（2x－5）+（3x+y）i，求实数x，y的值.

设计意图 课堂练习是巩固知识、强化技能的重要途径，是检测学生知识理解程度的重要方法. 通过前面问题的探索，学生已经理解并掌握了复数相关概念、复数类型、复数相等的充要条件等内容，通过练习可以进一步强化学生的认知，引导学生将知识、经验逐步内化为能力，提高课堂教学的有效性.

5. 反思总结，升华认知

问题12 回顾本节内容，你有哪些收获？又有哪些想法呢？

设计意图 此环节以学生自主交流为主，让学生在回顾反思中逐渐优化自己的认知结构. 同时，在学生互动交流的过程中，笔者以合作伙伴的身份参与学生的讨论，引导学生从知识、经验、方法等多方面进行总结归纳，通过生生、师生的有效交流，深化学生对所学内容的理解，培养学生归纳概括、独立分析和合作交流的能力，充分发挥学生的主体作用，提升课堂教学品质.

问题13 会不会有复数以外的数出现呢？

设计意图 设置此问让学生意识到数学是无穷的科学，数学探索永无止境；明白无论是在学习中还是在生活中，要用发展的眼光看待问题，敢于提出各种问题，勇于面对各种挫折，以此成就更好的自我.

教学思考

在高中数学教学中，教师要重视将数学史融入课堂，让学生按照数学家的探索路径去更好地体验知识、理解知识、应用知识，以此增强学生的学习信心，激发学生的探索精神，打造极富创造力的课堂；要结合教学实际巧妙地设计问题，让学生通过问题的解决厘清知识的来龙去脉，以此让学生理解学习的本质，激发学生学习的主动性，提升学生的数学学习品质.

总之，在数学教学中，教师要充分发挥数学史在增加教学多元色彩、增强数学魅力等方面的作用，让学生在知识探索过程中深刻地理解知识，培养正确的观念.

作者简介：赵玉秋（1981—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作，北京市通州区高中数学骨干教师.