也谈数学学科育人的“懂而不会”现象

［摘  要］ 扎扎实实地打好学习基础是学好数学的秘诀. 然而，“懂而不会”的现象在如今的数学教学中屡见不鲜. 如何夯实学生的知识基础，实现“既懂又会”呢？文章以三位教师的“对数运算性质”的教学设计为例，具体从三方面谈一些看法：理性看待教材的“再創造”；注重核心知识的“联结性”；强调课堂节奏的“缓慢性”.

［关键词］ 懂而不会；再创造；联结性；缓慢性；思维

不少学生都有过这样的体会：课堂上能理解教学内容，课后作业却错误百出. 出现这种“懂而不会”的现象，主要有两方面的因素：一方面，学生所谓的“听懂”与教学目标并不一致，对知识的理解只浮于表面，并没有深刻理解知识的本质；另一方面，学生的思维处于操作层面，但实际应用时，对学生的思维要求达到了灵活层面，学生的思维出现了缺口.

为了消除这种“懂而不会”的现象，弥补学生思维的缺口，笔者进行了大量研究. 本文以三位教师的“对数运算性质”的教学设计为例，从以下三个方面谈一些看法.

理性看待教材的“再创造”

教材是教学的依据. 教材内容的顺序、结构体系等的编排凝聚了众多专家学者的心血，所呈现的每一个字、每一幅图都是经过编者考量筛选而来的，尤其例题与习题都是根据大部分学生的认知水平和认知特点精心设计的. 因此，教材具有显著的严谨性.

随着新课改的推进，不少教师也与时俱进地“创造性使用教材”，这是在“不是教教材，而是用教材”“教师是课程资源开发的主体”等理念的基础上形成的教学行为. 跟上时代的步伐，创造性使用教材的行为并没有什么问题，但有些教师却偏离了教材，甚至出现了脱离教材、另起炉灶的行为，结果适得其反.

教学设计一

根据以下材料，回答两个问题.

①log44，log416，log464；②lg10，lg1000，lg10000.

（1）分析上述各组三个值的关系；

（2）能否将以上关系一般化？尝试写出关系式，并证明.

从问题本身来看，“设局”非常明显，大部分学生都能猜想出教师的实际意图，即获得关系式logaM+logaN=logaMN. 至于“研究该关系式的原因是什么”“其发生、发展的过程是怎样的”不得而知. 显然，问题是教师根据公式logaM+logaN=logaMN生搬硬套而来的，至于这个公式的证明过程，蕴含着怎样的数学思想方法，等等，都无从考证.

单纯从课堂上学生所呈现的结论来看，确实给出了教师所期望的公式，但“弄懂”的背后却是“一知半解”，到实际应用时出现“懂而不会”的现象就在情理之中.

事实上，不管哪个版本的教材，在本节的开篇都提供了探究的重要线索，如“我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？”

从这一段文字来看，编者的意图是让教师带领学生从对数与指数间的关系出发，结合指数幂运算性质，想方设法将对数问题转化成指数问题来探索，由此获得对数运算性质. 若教师领会到了编者的意图，并以此作为教学核心，再结合学生的实际认知水平和认知特点进行教材的“再创造”，则可以带领学生自然、深刻地理解关系式logaM+logaN=logaMN的本质，达到“既懂又会”的目的.

注重核心知识的“联结性”

以核心概念或核心内容所反映的数学思想方法为联结点，将零散的知识罗列到一张大网上，形成精中求简、通俗易懂的知识脉络，是完善学生认知结构的基础. 形成良好的认知结构，形成自主吸纳并内化新知的能力，是数学教学的重要目标，也是课堂教学的主要任务之一.

如何让核心知识变成这个“联结点”呢？这就要求教师不仅拥有过硬的专业水平，还要具备良好的洞察力，能发现学生的最近发展区，根据学生的实际情况灵活教学，引导学生在观察、实验、猜想、类比中抽象出核心知识，并提炼出相应的数学思想方法，形成以不变应万变的能力.

学生一旦经历了知识形成与发展的过程，就能获得触类旁通的能力. 但有些教师常常忽略知识的逻辑性，无视学生的认知水平，用自己的思维创设问题，导致创设的问题高于学生的认知范围，给学生带来一种莫名其妙之感.

教学设计二

（1）回顾指数幂运算性质和对数概念，如am·an=am+n，am=M与logaM=m等价，logaN=n与an=N等价，等等.

（2）尝试将指数幂运算性质am·an=am+n转化成对数运算性质.

（3）尝试将指数幂运算性质am÷an=am-n和（am）n=amn转化成对数运算性质.

教师设计上述三个问题，意在从学生已有的认知结构出发，推导出对数运算性质. 但这三个问题缺乏逻辑性，对于学生而言过于突兀，不少学生表现出茫然的神态. 随着这三个问题的解决，学生基本明确了探究的主题，但这是从指数幂运算性质出发，经过形式化的变形获得的结论，学生因缺乏自主探究过程，无法将新知内化到原有的认知结构中，更无法让核心知识成为新旧知识的“联结点”.

这种设计，致使学生无法从根本上掌握知识的本质，出现“懂而不会”的现象是必然的. 其实，在对数运算性质的教学过程中，教师可带领学生从类比思想、转化思想出发，让核心知识成为新旧知识的“联结点”，学生将探索而来的新知与旧知胶着在一起，能融会贯通改善认知结构. 如类比思想的应用，能为学生提供明确的思维策略，让学生明晰研究方向；转化思想的应用，能为学生提供证明方法，让学生获得解决问题的具体策略.

为了让核心知识的“联结性”成为沟通新旧知识的桥梁，上述教学设计可作如下改进：

（1）大家已经学过了对数，还记得我们是如何定义对数logaM的吗？

（2）求log216，并说明理由.

（3）当我们定义一种数后，无法避免其运算性质的研究. 比如我们认识指数后，就研究了其运算性质. 大家还记得指数幂运算性质吗？为什么没有我们熟悉的加减运算呢？

（4）与指数幂运算性质进行类比，对数也应该存在相应的运算性质，本节课咱们就是要探索对数运算性质，具体该从哪里下手呢？

循序渐进的问题串，以学生的思维为起点，让每一个学生都明白教师问的是什么，需要解决的问题是什么，探索的主题又是什么，逐层递进的问题成了学生思维拾级而上的“脚手架”，条理清晰、层次分明的问题让学生将“对数运算性质”锁定为本节课的核心知识，接下来就是围绕这个核心知识进行探索.

强调课堂的“缓慢性”

数学教学也是思维的教学，尤其在促进学生逻辑思维的发展方面，具有其他学科无法比拟的优势. 为了有效发展学生的思维能力，需要教师为学生提供更多的机会、时间与空间，让学生经历探索过程. 实践证明，放缓课堂教学节奏是促进学生思维发展的重要手段.

1. 让学生亲历知识形成的过程

在实际教学中，教师可适当延长知识的暴露时间，增加学生动手操作、思考与感悟的机会，让学生在“延时满足”中对知识产生更大的渴求欲. 学生在充满“想法”与“念头”的背景下探索新知，往往能有更好的思维体验. 教师若将结论直接“奉送”给学生，则学生会因缺乏观察、发现、猜想、验证等过程，无法促进思维的发展.

事实告诉我们，只有经历完整的知识探索过程，才能实现学生从感性认识上升到理性认识. 不论多么简单的知识，都不要剥夺学生亲历探索的机会，这样才能使学生从真正意义上理解知识本质，获得“如何思考”的能力.

2. 提供充足的领悟时间与空间

学之道在于悟. 学生先回顾旧知，再接触新知，最后内化新知，需要领悟的时间与空间. 俗话说“欲速则不达”，只有放慢教学的脚步，让学生有充足的时间进行领悟，才能充分发挥学生的智慧，让学生迸发出丰富的想象力，形成创新意识. 当然，课堂也会因为这种“慢”，而充满灵性与智慧.

反之，注入式的教学虽然能在短时间内提供大量知识，但这种漠视学生思维与智慧发展的做法，只会消减学生学习的积极性，让学生浮于表面认识相关知识，无法达到既懂又会的境界. 长此以往，学生会因缺乏独立思考问题的习惯，以及没有自主建构的能力，而形成思维惰性，即便听得懂也不会使用.

3. 鼓励学生表达出自己的想法

新课标明确提出，要让学生在数学学习中形成用数学语言表达世界的能力. 语言表达是将思维外显的过程，良好的表達能力让学生思维的严谨性落地生根，让学生扫除“想不到”的障碍. 在教学中，有一种现象非常普遍，即学生遇到一个问题时冥思苦想，但就是找不到头绪，而旁人轻轻一点拨，瞬间就恍然大悟. 为什么会出现这种情况呢？该如何化解呢？

这种学生“想不到”的情况，主要源于学生平时表达得少，数学综合素养不高. 想要解决这个问题，最好的办法就是放慢课堂节奏，为学生提供更多的表达机会，放手让学生去“说”，鼓励学生将自己的想法（不论是对的还是错的）都勇敢地表达出来. 久而久之，学生的思维就会变得更加敏捷，遇到问题时也能抓到关键.

4. 尽可能不去干扰学生的思维

学生在尽情思考或表达的过程中，有些教师常会打断学生的思路，企图让学生的思路完全沿着自己的思路走. 殊不知，每一个学生都是独立的个体，都有自己的思路或思维，教师若贸然干扰学生的思路或思维，则会消减学生想表达的欲望，导致学生思路或思维的发展中断.

“知己知彼，百战不殆”. 教师可模拟学生的心理活动，为做好引导工作奠定基础. 学生常见的心理活动有：①为什么都是你问我答？能不能我问你答？②我又不是天才，要是什么都会，还要老师做什么？③我还没想好呢，怎么就往下讲了？④我好像有点头绪了，让我表现一下吧！④讨厌“题型＋技巧”的模式，我自己总结提炼出的方法好像更好一些……教师一旦了解了学生心中所想，那么教学就有了方向.

教学设计三

（1）回顾指数幂运算性质和对数定义.

（2）阅读教材对对数运算性质的证明过程.

（3）分析对数运算性质的结构，然后练习训练.

在该设计中，教师在课堂引导学生进行对数运算性质的证明，仅仅用了五分钟的时间，课堂的大部分时间都用在了对数运算性质的练习训练上. 通过交谈得知，这位教师“直奔主题”的设计原因在于：他认为对数运算性质并不复杂，让学生明确本节课教学的核心就行，将大量时间用在练习训练上，能提高学生的解题能力与思维能力.

这位教师的想法具有一定的代表性，在“减负增效”的背景下，确实有不少教师出现了急功近利的教学行为. 这种不了解学生真正需求的教学方法，看似热闹，实则是学生“懂而不会”现象出现的根源.

对于对数运算性质而言，难度系数确实不大，学生理解起来也不费劲. 但要让学生理解其运算性质的本质与内涵，达到深度掌握并能灵活应用的程度，还需要教师放慢教学节奏，带领学生经历对数运算性质形成与发展的过程，提高学生以不变应万变的解题能力. 鉴于此，教师可根据学情设计教学方案，让学生在独立思考、自主探索与合作交流中互相启发、补充，达到良好的教学成效.

“懂而不会”现象的形成与师生双边都有关系，想要彻底解决这个问题，就要立足章建跃教授提出的“理解数学、理解学生、理解教学”的观念，带领学生对知识做到“知其然且知其所以然”. 如本节课的“其然”为对数运算性质，而“其所以然”是指用化归思想证明对数运算性质的过程，实际上这也是学生发现问题、提出问题与解决问题的过程.

总之，“懂而不会”现象形成的原因是多方面的，教师应在“三个理解”的基础上，培养学生的“三会”能力，这是数学教学的根本任务，也是突破学生思维障碍的重要工序. 只有让学生做到“既懂又会”，才能使学生养成独立处理问题的能力.

作者简介：曹梅（1985—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，海安市骨干教师.