“同构法”构造函数在解题应用中的一点商榷

姚顺禹 王恩普

⦿江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学

1 引言

在研究函数与导数中的一类恒成立问题时，如果能够在不等式的两边构造出相同的结构，借助于函数的单调性，剥去复杂的“外衣”，从而简化运算过程，通常把这种方法称为“同构”.对于同一个问题，由于角度不同，可能构造出的相同结构对应的函数略有差异，正是因为这一点，使得“同构法”引起了很多人的关注与研究.在学习同构法的过程中，有学生对其中的一种借助同构关系构造函数的解法产生了疑问.笔者查阅了多本期刊和网络资料，发现利用同构关系构造函数解决问题的时候，有些推理过程值得商榷，下面以2020年高考数学山东卷第20题的第(2)问为例，来做一些研究.

2 试题呈现

已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

本文中只研究第(2)问借助同构关系构造函数的解法，首先来看下面的解析.

解析：由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且a>0.

设g(x)=x-lnx+lna，则

当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以g(x)min=g(1)=lna.

若x-lnx+lna-1≥0在(0，+∞)上恒成立，则只需g(x)min=g(1)=lna≥0，可得a≥1.

评注：上述过程采用了同构的思路，相比较直接求导研究最值的方法而言，避开了利用隐零点解决问题的过程，相对简单并且容易理解.

3 问题思考

前文已经提到，本题的恒成立问题有很多解决方案，此处仅对上文提及的同构法处理此类问题给出相应的改进方案.

改进方案一：分类讨论

解法1：由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且a>0.

以下过程同原解答过程.

解法2：由题可知，函数f(x)定义域为(0,+∞)，a>0.

当00，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减.所以g(x)max=g(1)=1.

评注：上述两种解答过程中利用同构“脱去外衣”的前提是在同一个单调区间内，如果不在同一个单调区间内，则要进行分类讨论.由于部分区间显然可以保证不等式恒成立，因此只需考虑在同一个单调区间内的情况，最后将两类情况综合即可.

改进方案二：改变同构形式

解析：由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且a>0.

由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1，于是有ex+ln a-1≥lnx-lna+1，变形得

ex+ln a-1+x+lna-1≥lnx+x.

即ex+ln a-1+lnex+ln a-1≥x+lnx.

设g(x)=x+lnx，则有g(ex+ln a-1)≥g(x).

由g(x)的定义域为(0，+∞),得ex+ln a-1>0，且x>0.

所以ex+ln a-1≥x,即x+lna-1≥lnx在(0，+∞)恒成立.

以下过程同原解答.

评注：这样的同构形式与原解答的形式的区别在于，构造后g(ex+ln a-1)≥g(x)中的ex+ln a-1与x恰好都在所构造函数的同一个单调增区间内，可以顺利得出ex+ln a-1≥x，进而解决问题.

4 反思

《普通高中数学课程标准(2017版)》指出：逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.在本文开头的解法中，如果只看结果与答案一致而忽视了过程的逻辑性，这对于数学学习是极其不利的.平时在解题过程中，必须要认真审视每一个步骤是否符合思维逻辑，培养用批判性思维考虑问题的习惯，勇于怀疑，敢于质疑，严密论证，科学推理，同时也能进一步促进创造性思维的形成.