让数学建模思想落地生根

作者简介：陶天铭（1989—），本科学历，中小学二级教师，从事小学数学教育教学工作。

[摘  要] 在新课标小学数学核心素养中，建模思想占据着一个重要位置，它能有效提升学生的创新能力和应用能力，对发展学生的数学思维能力具有重要意义。研究者以“植树问题”一课为例，采取有效的教学方法，让学生经历一个从现实情境到建立模型、应用模型的过程，从而撬动数学思维，积累数学经验，感悟模型本质。

[关键词] 核心素养;建模思想;数学经验;本质

模型思想作为一种重要的数学思想，在帮助学生理解实际生活与数学的联系，激发学生的学习兴趣以及提升学生的数学思维能力等方面具有举足轻重的作用。小学阶段是学生数学思维和能力形成的关键阶段，教师重视数学建模的教学会对学生今后的发展将产生深远影响。因此，对学生进行数学建模意识的培养势在必行。笔者正是基于这一立场，以“植树问题”一课为例，对在小学数学教学中进行数学建模教学进行探究。

一、利用生活情境，引申数学问题

通俗地讲，数学模型其实是运用数学的语言来讲述现实生活问题的一种数学工具，数学建模就是用数学来讲述生活问题的过程。因此，从生活中发现和剥离数学问题是数学建模的第一步。也就是说，教师应当将现实生活中与数学息息相关的案例引入课堂教学中，描述数学问题产生的背景，让学生在有趣、新奇的生活情境中激发学习热情，从而有效激发自身的生活经验。这样一来，学生能容易地挖掘出其中隐含的数学问题，最终成功地将生活问题转化为数学问题。

比如，在探讨“植树问题”的初始阶段，教师可以创设如下生活案例：

第一步，教师让学生说出生活中常见的树木种植区域。通过回忆日常生活，学生指出公园、马路以及住宅空地等常见的树木种植区域。此时，教师继续引导：“树木的种植会不会按照一定的规律？”有的學生指出，公园、住宅等区域的树木一般分布较为杂乱，看不出明显的规律;有的学生说，马路边的树木分布较为整齐，树与树之间的距离相差不大。（此时，教师已成功地调动了学生的课堂热情）

第二步，在此基础上教师抛出生活情境问题：某施工队要在城市的马路边种上一定数量的树木，已知该段路的长度为500米，树与树之间的间隔相同，均为5米。此时，施工队拟订了三种施工方案：第一种方案为道路两头都种上树木;第二种方案为在道路的某一头设置垃圾桶，另一头种上树木;第三种方案为在道路两头各设置1个垃圾桶。那么，这三种方案分别需要多少棵树木？此时，学生纷纷犯了难，认为题目中的数字偏大，较多的方案选择让学生的思维陷入混乱。这时，教师指出：“大家不妨先将数字改小一点，然后通过画图的方式，思考能不能用数学方法解决问题。”此时，有个学生大胆地将“500米”改成了“20厘米”，将“5米”改成了“5厘米”，然后在纸上画出一条长为20厘米的线段，以此来替代实际道路。在思考第一种方案时，该学生在线段的两头各自画出树木，然后以“5厘米”为间距依次画出3棵树木，最后得出要种植5棵树木的结论。

有了该生的示范，其他学生的思维被打开了，纷纷对其余两种方案做出假设和探究。在探究结束后，学生惊喜地发现，该生活问题其实就是数学问题，用数学语言可以描述为：在一根长为500米的线段上画出若干个点，已知点与点之间的间隔都是5米。其中，有三种画点方式，一种是线段的两头都画上点;另一种是只在线段的某一头画上点;最后一种是线段两头都不画上点，最终求在这三种方式下各自的画点数。

二、鼓励自主探究，构建数学模型

构建数学模型是进行数学建模的重要环节。在小学阶段，数学模型主要是指用字母、数字以及各种数学运算符号反应特定问题或特定的事物的数学关系，由此建立起来的代数式和关系式[1]。数学模型的有效建立往往依托于学生对于问题本质的理解程度，自主探究与合作交流是帮助学生更好地把握住问题核心的关键。同时，数学学习理应是一个主动的、有趣的以及富含生命力的过程。因此，教师应当积极地鼓励学生进行自主探究，在反复的尝试和验证中构建出一个通俗易懂的数学模型。

比如，在完成了上一环节的教学后，教师可以创设以下教学片段：

第一步，教师让学生在不改变点与点之间距离的前提下，通过改变线段的长度，来探究三种方式下各自的点数。在实际教学中，有的学生将线段延伸至30厘米，然后通过画图的方式依次得到在三种方案下所需的点的数量分别为7个、6个以及5个;还有的学生将线段延长至50厘米，按照同样的方式依次得到点的数量为11个、10个以及9个;随着线段长度的不断增加，学生逐渐体会到画图法的局限性。

第二步，教师引导学生进行合作交流来发现其中蕴含的规律。在不断地交流与沟通中，有细心的学生发现：不管线段的长度如何变换，“某一端不画点”方案下的所需点数与间隔距离以及线段长度之间存在着不变的数量关系，即线段长度÷间隔距离=点数。根据除法的意义，线段长度与间隔距离之间的商应为段数，所以段数与点数相等。为了验证这一规律，教师可以让学生利用画图的方式进行验证。在验证环节，学生先画1条有一定长度的线段，然后根据间隔距离依次添上点;同时，时刻关注段数的变化情况。随着点数的不断增加，学生惊喜地发现，段数与点数一直处于相等的状态。学生认为，在“某一端不画点”的方案下，“点”恰恰承担了分段的作用，即每增加一个点，就会多分出一个小段，因此点数与段数相等。此时，教师可以引入“间隔数”这一数学名词，以此来替代“段数”。由此，针对“某一端不画点”的方案，学生得出结论：通过利用除法运算，求出线段的长度与间隔距离之间的商，即间隔数，间隔数就是相对应的点数。在成功解决这一方案后，学生可以在此基础上探讨其余两种方案的答案。

通过细致的观察与研究，学生得出，在“两端均画点”的方案中，首先可以在已知线段的一头画上一个点，然后在通过不断添点的方式，最终得到的点数永远要比间隔数多一个;在“两端都不画点”的方案中，其实只需要在“某一端不画点”的方案的基础上扣除一个点，因此最后的点数永远要比间隔数少一个。

最后一个环节，教师进一步提炼学生的结论：在“某一端不画点”的方案下，点数=间隔数;在“两端均画点”的方案下，点数=间隔数+1;在“两端都不画点”的方案下，点数=间隔数-1。由此，该方法是解决植树问题的通用方法。

三、进行科学练习，应用数学模型

合理应用数学模型是数学建模过程中一项必不可少的环节。在该环节中，学生不仅能进一步地熟悉数学模型，还能体会到数学模型的实际用处，从而有效增强学习信心。因此，教师应给予学生大量科学训练的机会，让学生利用数学模型来解决各种数学问题;同时，教师也可以对数学问题进行一定程度的变化，以此来培养学生的思维力和创造力，让学生发现新问题，解决新问题，从而深化应用数学模型，最终提升数学能力和数学素养。

比如，在上一个教学环节中，学生已成功地探究出“植树问题”模型。这时教师可以让学生利用该数学模型解决初始问题。通过利用数学模型，学生快速得出：在道路两头都种树的情况下，树木的棵数=道路长度÷间隔距离+1，即树木的棵数=500÷5+1=101（棵）;在其余两种情况下，树木的棵数分别为100和99。此时学生已经熟练掌握了该题型的解法，在此基础上，教师要帮助学生走出“种树”题型的限制，提出疑问：“该数学模型只能用于种树问题吗？该数学模型还可以用于哪些生活场景中？”

经过思考，有的学生说，排桌子、排凳子以及排队等，都与植树问题类似;有的学生说，在做核酸检测时，志愿者会在地上按照一定的间隔标准进行画线，这种场景也和植树问题类似。通过集思广益，学生总结出了多种多样与“植树”模型相关的数学问题。这样一来，教师即可出示更多相关题型，让学生在反复训练中进一步体会和领悟数学模型。当然，小學数学学习的目标不能只满足于让学生机械式地利用数学模型来解决数学问题，更多地要培养学生的思维能力，让学生能够灵活运用数学模型。因此，教师需要改变出题方式，比如出示以下习题：已知有一个边长为60米的正方形池塘，李大伯要在该池塘边上每隔5米种1棵树，4个角上各种1棵，那么50棵树苗够吗？拿到题目后，学生首先想到了用“植树”模型来解决，但“4个角”以及“正方形”成了解决该问题的难点。此时，教师可以进行一定程度的引导：“正方形是由什么组成的？”有个学生答道：“4条长度相同的线段。”这时，学生恍然大悟，认为可以对正方形进行拆解，然后逐段分析。在讲述环节，有的学生指出：“在原始题目中，池塘的4个角都种上了树苗，但在实际解题中，其实可以先将题目改成4个角均不种树苗，然后便可把正方形看成4根长度相同的线段，最后转化为‘两头不画点模型。”

根据这个思路，学生列出式子：60÷5-1=11（棵），11×4=44（棵），44+4=48（棵）。当然，还有的学生成功地运用“两头均画点”和“某一头画点”模型解决了该问题。

四、助力拓展延伸，丰富数学模型

构建及应用数学模型并不是小学数学建模学习的终点，恰恰相反，学生可能只是窥探到冰山一角。在前几个阶段的学习中，学生已经能较为系统地抽象出数学模型，并且获得了一定的解决“植树”问题的经验。笔者通过观察发现，学生仅仅找到了形如“棵数=间隔数+1”的简单规律，无法运用这个规律求出路线的长度。究其原因是学生的认知起点与认知结构存在差异，即缺少逆向思维。因此，教师需要将这一数学模型进行拓展延伸，扩充学生的学习容量，助力学生收获更多的学习体验[2]。

比如，教师可以出示下列拓展延伸题：已知在一段路的两头及中间种植了50棵树，并且树与树之间的距离为3米，求这段路的长度。不同于之前的“求树木棵数”题型，这种新颖的问题内容让学生无从下手。这时，教师可以稍加引导：“已知长方形的长和宽，可以求什么？已知长方形的周长和长，又可以求出什么？”学生答道：“可以求出长方形的周长和宽。”此时，教师让学生用这种思路去探究这个问题。有的学生说道：“在知道路长和间隔数后，可以求出树的棵数;那么在知道树的棵数和间隔数后，就有可能求出路长。”沿着这个思路，学生积极主动地在纸上比画着路长的求解方法。通过画图，有的学生发现，路长其实就是间隔数与间隔距离的积，间隔距离是明确的，所以要求间隔数。关于“间隔数”的求法，教师可以让学生重新审视之前的数学模型，通过观察，在“两头均种树”的方案中，间隔数只比树木的棵数少1。因此，在知道“树木棵数”的前提下，就可以求出间隔数，最终关于“路长”的问题也会迎刃而解。

回到原题中，则可以列式：50-1=49（棵），49×3=147（米）。有了这道题的正确示范，学生便能快速掌握其余两种情形下的路线长度的求解方法。当然，关于该数学模型的拓展延伸并不局限于上述方式，教师也可以对其他的已知量进行改动。比如，在已知树木的棵数与路长的前提下求解间隔距离，最终目的一定是让学生吃透数学模型。通过案例发现，在拓展延伸的学习过程中，教师引导学生积极联系旧知，经过联想和探究，挖掘出数学模型更多的可能性。

总之，数学建模具有重要意义。学生只有经历了一个完整的数学建模过程，才能解决较难的数学问题，深化数学理解，从而提升数学思维能力和数学学习能力。教师要不断精进自身的理论知识和实践能力，确保成为学生求学路上的守护者。

参考文献：

[1] 刘志彪. 探寻小学数学建模的有效路径[J]. 小学教学研究，2021（20）：49-50.

[2] 叶雪君. “建模思想”在小学数学教学中的应用[J]. 基础教育研究，2021（04）：53-54，57.