渗透数学猜想 提升思维品质

作者简介：薛新龙（1987—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学工作。

[摘  要] 为了更好地发展学生的数学思维，培养学生的创新意识和独创能力，在小学数学教学中教师应注重学生数学猜想能力的培养。数学猜想不是凭空臆测，它的提出和验证需要适宜的生长环境，需要教师日常教学中潜移默化地引导和渗透。

[关键词] 数学思维;创新意识;数学猜想

数学猜想是发现数学规律、探究数学本质的常见策略。数学猜想是指根据已有的数学知识和数学经验，对数学对象进行的观察、分析、比较、归纳等活动，具有明显的目的性、逻辑性、直觉性、或然性等特征，属于推理的范畴。虽然数学猜想具有一定的主观性，但是其以数学知识、经验和思维方法为基础，是一种合理猜想，而非“空想”。数学猜想是创新的生长点，是需要重点培养的一种数学能力。不过，在现实教学中，教学多是结果教学，重视学生逻辑推理能力的培养，却忽视学生数学猜想能力的培养，从而影响了学生创新能力的发展。

数学猜想能力在数学中有何意义，在教学中如何培养呢？基于这两个问题，笔者谈了一些自己的想法，仅供参考。

一、数学猜想的现实意义

1. 有利于提升学生的专注力

在数学教学中，为了提升学生课堂参与度，激发学生的思维能力，大多数教师会设计一些具有针对性的问题，让学生在问题的驱动下积极思考，主动参与。学生参与课堂活动大多是在教师的带领下进行的，缺乏主动意识，因此，在教学中教师要在结果给出前让学生去猜想。这样，学生一旦有了自己的猜想，就会把自己与问题主动地联系在一起。为了证明自己的猜想，学生会主动地调动已有认知和已有经验进行验证，即使学生可能并未得到最终的结果，但是通过猜想的过程，学生会更加关注于问题的结果，这样学生的听课注意力自然有所提升，学生参与的热情自然会被激发。

2. 有助于孕育数学创新意识

数学猜想是推动数学发展的動力，是数学学习中最活跃、最积极的因素，是培养学生创新意识的动力源。众所周知，学习既是知识的一种继承，更是知识的一种发展。在教学中教师应鼓励学生大胆猜想，积极投入到相关的探究活动中去，寻找新思路、新规律，发现新结论。不过，在现实教学中，部分教师片面地认为小学生受到认知能力和思维发展水平的限制，其所提出的猜想大多“天马行空”，不具备合理性，没有探究的意义。教师在教学中很少组织学生进行数学猜想，学生获取知识主要依靠教师的灌输，学生的自主学习能力和创新意识没有得到很好的培养和发展。

创新是时代赋予教育的重要使命，创新意识应该是每个学生都具备的一种素养，因此在教学中教师应关注学生数学猜想能力的培养，通过猜想、验证等活动丰富学生认知结构，积累活动经验，促进学习能力提升。

3. 有助于激发思维活力

数学猜想是一种预测和假想，是一种直觉思维，它为学生提供了一个更为广阔的空间。学生可以结合自己的数学经验提出自己的想法，有效地降低思维压力和心理负担，激发思维活力。

虽然受数学经验和知识储备的限制，小学生在进行数学猜想时可能距离客观实际比较遥远，但是只要教师在教学中不断地引导和渗透，就能有效培养学生的思维品质，增强学生推理能力，促进学生综合能力提升。

二、数学猜想能力培养策略

在小学数学教学中有许多适宜学生猜想的内容和教学契机，只是在教学中教师过多地关注了结果，错失了诱发学生进行数学猜想的契机，限制了学生发展，因此在教学中教师应采用一些行之有效的方法来提升小学生的数学猜想能力。

1. 重视提出猜想的训练

数学猜想应是基于学生已有经验和数学知识的基础之上的，它不是漫无目的的遐想，而是具有目的性和合理性的推测和直觉判断。为了提升猜想的合理性，教师应在日常训练中加以引导，首先，要让学生明晰猜想的价值;其次，要让学生知道什么样的猜想才是有效的、合理的;最后，让学生掌握一些猜想的方法和策略。对于小学生来讲，可以从以下几方面来训练他们的猜想方法。

（1）借助归纳提出猜想

数学具有一定的规律性，教师在培养学生猜想能力时可以借助一些富有规律性的内容进行诱发，让学生在归纳总结时提出自己的猜想。

例1  观察表1，说一说你有什么发现？猜想一下第6行第6列的数是几呢？

例1具有明显的规律性，符合学生的认识水平。问题中要求学生求出第6行第6列的数时，其实质就是引导学生观察同行同列交点上数的特点，通过观察容易发现第1行第1列的数为1，第2行第2列的数为3，第3行第3列的数为5，观察至此规律已经呈现，因此学生不仅可以推理出第6行第6列的数为11，而且能够提出同行同列交点上的数为“连续奇数”的猜想。

（2）借助类比提出猜想

类比是数学的重要思想方法，是开拓和创新的重要手段，在培养学生数学猜想能力时自然需要借助类比。数学知识间存在着一定的逻辑性和关联性，通过对相似或相关内容的类比，可以让学生在原有认知的基础上获得新的发展和新的提升。同时通过类比，更易于让学生发现问题的本质特征，从而实现认知的深化和思维的提升。

例2  根据12=3×4，1122=33×34，111222=333×334，猜想11112222=（  ）×（  ），1111122222=（  ）×（  ）。

从练习反馈来看，大多学生都能够轻松地推理出答案，可见借助相似的属性来引导学生进行猜想，更易于学生理解和接受。

（3）通过联想提出猜想

联想是沟通已知与未知的纽带，在日常教学中教师可以通过改变条件或改变结论来诱发学生进行联想，从而通过联想猜测新思路和新结论。在学习中进行有效的联想有助于学生旧知的巩固和新知的内化，有助于认知结构的完善与发展，有助于推动数学的发展。

例3  探究“植树问题”

植树问题是小学阶段的一个重点专题，通过改变“路型”（线形路、环形路）和“植树方式”（两端都栽、只栽一端、两端不栽），让学生在解决问题后自发地提出新问题，通过对新问题的探究逐渐发现数学规律，提出猜想。

2. 关注猜想的验证训练

在数学教学中教师通过专项训练引导学生积极思考，大胆提出猜想，从而有效地激发了学生的创新意识，激活了学生的数学思维，使数学课堂呈现出新气象。不过，数学猜想具有一定的主观性，若想知道猜想是否合理，是否有价值，需要进行验证。若数学猜想中缺失验证的过程，那么数学猜想将失去其本身的价值。当然，小学生的逻辑思维能力有限，因此在验证时并不能进行抽象的演绎推理证明，学生的验证过程大多以具体实例为主，通过大量的具有“说服力”的实例或者反例来验证猜想的准确性和合理性。只有将猜想和验证有效地结合才一起，才能使猜想更有价值，更有说服力。

3. 重视课堂中猜想的渗透

猜想并不是凭空推测，它需要一个合理的生发点，那么教师在日常教学中如何创设猜想的生发点呢？

（1）在新旧知识衔接处寻找猜想的生发点

數学概念、思想、方法之间往往存在着一定的关联性，因此在教学中教师若能从知识点间的内在联系出发，则易于触发猜想的思维触点。课前教师应认真研读教材，挖掘出知识点间的内在联系，从而为学生提供关联性的教学材料;同时，教师要认真了解学生的具体学情，从而创设出既富有挑战性，又符合学生最近发展区的问题情境，引导学生积极思考、认真观察，通过类比、联想等实践活动提出猜想。

例4  整数乘法定理的推广

师：整数乘法运算定律大家还记得吗？

生（齐声答）：记得。

师：很好，谁来说一说？（教师指定学生回答并板书）

生1：a×b=b×a，a×b×c=a×（b×c），a×（b+c）=a×b+a×c。

师：大家看看是否正确呢？（通过判断对错唤醒经验）

生（齐声答）：正确。

师：很好，这些字母代表什么数呢？

生（齐声答）：整数。

师：难道这里的字母只能是整数吗？

这样借助回顾旧知巧妙地创设问题，自然可以引发学生对小数、分数乘法定律的猜想，由整数到小数也就水到渠成了。

（2）在概念的来源处寻找猜想的生发点

在小学数学概念教学中，部分教师很少关注概念的本源，只是从文字上去引导学生认识概念、理解概念、应用概念。其实在概念抽象前，可以设计一些联系生活实际的实践活动来诱发学生猜想，从而拉近学生与抽象概念间的距离，便于学生更好地理解和应用概念。

例5  面积单位

师：刚刚我们认识了面积单位：1平方厘米。如果用这个面积单位测量书桌的面积，你会测吗？

生1：应该可以测量，就是这个应该要测很久吧，1平方厘米太小了。

师：这确实是一个问题，那该怎么办呢？

生2：有没有大一点的面积单位呢？

师：真是一个好问题，如果让你来给出一个大一点的面积单位，你想用什么？如何给它定义呢？

认识“1平方厘米”这个面积单位后，教师引入具体实例让学生应用概念，由单位不符引发了应用的不适，由此学生迫不及待地想引入新的面积单位，继而引发学生对新的面积单位的猜想。这样，学生结合已有经验在原来面积单位的基础上自然会联想到“平方分米”和“平方米”。其实大多数新知都来源于旧知，因为存在“不适合”“不够用”等情况而引入新知识，以此作为旧知的延续和补充，能便于人们更好地应用数学去解决实际问题。

（3）在知识的深化过程中寻找猜想的生发点

在日常学习中，因学生对知识的理解不够深入或受思维定式等情况的影响，在猜想时容易受主观因素的影响思考不周而引发错误，因此在日常练习中，教师可以在思维定式处进行诱发，从而使学生对知识的理解更加全面、深刻。

例6  立方体图形的复习

师：现在请大家根据描述“画一画”，看看你能画出什么图形呢？（学生听说要根据描述画图，都兴致勃勃）

师：这个立方体图形有6个面，12条棱，8个顶点，且只有两个相对的面是正方形。（教师预留时间让学生独立“画一画”）

生1：是长方体。

师：还有其他答案吗？（生摇头）

师：观察图1，它是否满足呢？（教师用PPT展示图1，让学生对照陈述观察）

生（齐声答）：满足。

师：如果想让图形为唯一的答案“长方体”，你认为描述上还需要加上哪些条件呢？

在教学过程中，教师让学生根据描述进行猜想，因受思维定式的影响，大多数学生根据“只有两个相对的面是正方形”这一条件排除了正方体后，就判断为长方体，从而掉入了教师预设的陷阱。接下来教师让学生对原猜想进行补充，从而在深化理解的基础上，培养了思维的缜密性。

（4）在思路突破处诱发学生猜想

在课堂教学中，教师应有意识地引导学生进行多角度分析，充分发挥思维差异的优势，通过合作交流诱发学生积极猜想。

例7  一个圆柱的高是20厘米，____________，求圆柱的侧面积？

师：接下来我会添加一个条件，使圆柱的表面积可求，你猜我会加一个什么条件呢？

生1：加一个直径。

师：哦，如果加一个直径，接下来如何求侧面积呢？（生叙述了求解过程）

师：不过我加的不是直径，请大家继续猜一猜，看看谁是那个和我心有灵犀的人呢？

接下来，有的学生猜的是半径，有的学生猜的是周长，还有的学生猜的是底面积，教师让学生分别给出了解题过程。

师：大家都说得不错，不过和我的条件都不同，我的条件里没有数字。（生沉思）

生2：哦，我知道了，底面周长等于圆柱的高。

师：你真棒。

这样，通过一个开放性的问题诱发学生进行多角度联想，再通过不同条件的添加将求圆柱表面积的相关知识联系在一起，能有效地激发学生的思维活力。

其实数学猜想并不是那么高深莫测，它就在日常的课堂教学中，教师不需要刻意去创设复杂的问题情境，但是问题情境也不能缺少其思考价值，其应具有明确的目标性，让学生的认知结构在经历失衡的过程中发现新的支点，从而突破认知的难点，达到认知的平衡。

总之，在实践教学中，教师应多为学生创设一些适合的问题情境，进而为猜想的提出提供一个良好的契机，让学生提出更多、更有价值的猜想。不过，值得注意的是，在教学中教师过多地强调提出合理的猜想，合理固然重要，但没有通过推理和验证，谁又会知道猜想是否合理呢？教师只有为学生营造一个更为广阔的、宽松的思考空间，才能让学生少一点顾忌和束缚，根据自己所思、所想提出个人独特的见解，从而使课堂呈现无限生机。