数学课堂教学“微创新”探索

陈玉利 周光兵

作者简介：陈玉利（1977—），本科学历，一级教师，从事数学教学工作。

[摘  要] 小学数学学科教学要积极地倡导并引导学生进行数学“微创新”，形成“缄默性知识”、明晰“缄默性知识”、建构“缄默性知识”，是数学“微创新”的机理探寻。教师引导学生“微创新”，要以思导创、以做导创、以器导创等。数学微创新不仅能激发学生的创新意识，提升学生的创新能力，更能生成学生的创新素养，培育学生的创新人格。

[关键词] 小学数学;数学课堂;缄默性知识;微创新

在这样一个创新的时代，小学数学课堂教学应当紧跟时代的步伐，引导学生进行课堂创新。对于学生来说，那种原始创新、宏大创新比较遥远，而“微创新”则近在咫尺。所谓的“微创新”是指“从细微处入手，以学生的生命实践活动为载体，突出问题分析、问题解决的一种再创造”。正如数学教育家弗赖登塔尔所说，“学生数学学习的重要路径就是再创造，也就是将要学习的知识再造出来”。通过“微创新”，能有效培育学生的“微创造力”。

一、数学“微创新”的机理探寻

数学的微创新具有一种改变学生主体的力量，微创新能有效地突破学生的自我认知、思维的局限。通过微创新，学生能将缄默知识明晰化，能将缄默知识转变为外显的形式化的知识。在微创新的过程中，教师要从小处着眼，努力让创新贴合学生的心理，引导学生在数学学习中发生着一种从量变到质变的转变。

1. 形成“缄默性知识”

在学生的数学学习中，很多的数学知识往往会不断地堆积，形成一种有效的知识积累。这些知识经过长时间积累会沉积在学生的记忆深处，由此成为一种缄默性知识。缄默性知识在学生的数学创新中发挥着重要的作用，它往往是学生产生解决数学问题灵感的源泉。教师要夯实学生的缄默性知识，让学生的缄默性知识走向丰富。比如，教学“多边形的面积”这一部分内容时，很多的平面图形如平行四边形、三角形、梯形等的面积公式的推导过程性知识会沉积在学生心中，进而有效形成了学生的问题解决策略、情境处理方式以及模型建构方法等。在学生以后学习其他图形面积如推导“圆的面积”时，教师只需要唤醒、激活学生的已有知识经验，就能催生学生的积极猜想，并引导学生积极主动地投入到数学实践之中。数学缄默性知识是学生数学学习心理的重要组成。

2. 明晰“缄默性知识”

在引导学生数学微创新的过程中，教师要善于唤醒、激活学生已有的知识经验，进而明晰“缄默性知识”。让学生的缄默性知识从内隐变为外显，就能使学生捕获到灵感、想法，并进行有效的加工。在这个过程中，教师要引导学生进行整理、分析、加工，从而形成思维的链条，形成问题解决的思路等。

比如在“多边形的面积”教学中，笔者引导学生树立上位观念，即“平行四边形”“三角形”等图形面积都可以看成是一种“特殊的梯形”的面积。因此，在学习“圆的面积”这一部分内容时，有学生大胆地猜想：“圆的面积能否看成梯形的面积？圆环的面积能否看成梯形的面积？上底在哪里？下底呢？高呢？”这样借助于已有知识经验的原型启发，能让学生进行大胆的联想，进而形成有效的创造。

3. 建构“形式化知识”

数学教育家弗赖登塔尔说，“与其说是学习数学，毋宁说是学习数学化;与其说是学习形式，毋宁说是学习形式化;与其说是学习公理，毋宁说是学习公理化”。建构“形式化”的知识是数学教学的应有之义、应然之举。在小学数学教学中，教师要引导学生用数学化的眼光来打量，用数学的头脑来考量。一般来说，学生的微创新有两种范式：一是微创新的“裂变”，二是微创新的“聚变”。比如从上位知识到下位知识就是“裂变”;从“下位知识”到“上位知识”就是“聚变”。裂变是从“一”到“多”，能讓学生的数学学习体系化、结构化;聚变则是从“多”到“一”，有助于学生建构“大概念”“高观点”。

聚变有助于学生建构“形式化”的知识。比如，当学生学习了“异分母分数加减法”这一部分内容之后，笔者引入了“整数加减法”“小数加减法”，并引导学生进行比较，从而催生学生积极主动的发现，让学生的数学微创新走向“聚变”。学生深刻地认识到，所谓的“加减法”，无论是“整数”“小数”还是“分数”，都是“计数单位相同才能直接相加或者相减”。这样的“聚变”，能有效助推学生的高阶创新。高阶创新能使学生形成创新性的问题解决思路、解决路径、解决方法和解决思想。

学生的数学微创新活动是由浅入深、由易到难、螺旋上升的一个过程。教师要注重发掘学生缄默性知识，让学生的缄默性知识持续地、能动地发挥作用，推动学生微创新活动的不断演化。教师要通过微创新活动，引导学生的数学学习不断地进阶，让学生的数学学习不断地从低阶迈向高阶，让学生的数学学习不断地走向深入。

二、数学“微创新”的实践探索

在厘清学生的微创新的机理之后，教师应当依据学生的微创新机理，积极探索引导学生微创新的实践策略。在小学数学学科教学中，教师要引导学生以“做”导“创”、以“思”导创、以“器”导创。微创新具有“微”“小”的特质、特性，教师要让创新成为一种“低门槛”的活动，成为学生数学学习的一种常态;要让课堂成为学生微创新的主战场、主渠道，推动学生的数学学习不断地转型升级，从传统的“粗放型学习”转向“集约型学习”;让学生在“集约型学习”中成为一个个的“小创客”，让学生的数学学习过程成为一个创新、创造的过程。

1. 以“思”导“创”，激发学生创意灵感

灵感是学生数学学习微创新的起点，然而灵感不是“凭空”产生的，灵感是学生长期思考、累积而瞬间产生的一种现象。在小学数学学科教学中，教师要激发学生的创意灵感，关键是要引导学生以“思”导“创”。长时间的、深度的思维、思考、思绪等，都是学生创新的动力引擎，都是学生灵感产生的土壤。在小学数学学科教学中，教师要引导学生积极主动地“运思”，让学生思之有物、思之有序、思之有理、思之有创。在思考的过程中，学生的数学学习能够实现转识成智。研究表明，有深度的、持续性的思考能让学生产生“灵感”“顿悟”。

比如教学“钉子板上的多边形”这一部分内容时，教师应当引导学生反复思考：多边形的面积与什么因素有关？有的学生猜想面积与多边形的边上的点子数有关，有的学生猜想面积与多边形的内部的点子数有关，还有的学生猜想面积与多边形的内部和边上的点子数都有关等。因此，学生积极地应用“控制变量法”，对“图形上的格点数”“图形内部的格点数”与“图形的面积”开展关系探索。通过对比实验，学生能自主地建构“皮克定理”。在这个过程中，教师“以思导创”，不断地激发学生的创意灵感，不断地修正自我的认知，不断地唤醒、激活学生的缄默性知识。借助“皮克定理”，学生不仅能计算规则的多边形的面积，而且能计算不规则的多边形的面积等。在微创新过程中，学生能将思考中的“金点子”（比如大胆的数学猜想、数学直觉等）转变为学生的数学学习的客观现实。

2. 以“做”导“创”，培育学生创新意识

问题是学生创新的母体，是学生创新的动力引擎。在小学数学学科教学中，教师要引导学生以“做”导“创”，从而不断激发学生的问题意识。教师可以设计一个“问题领域”，引导学生借助于自己有限的知识冲破无限的问题。教学中，教师要“众筹”新点子，要“众创”新做法;引导学生借助主任务、动手做等的相关活动，促进学生的正向迁移。比如教学“圆柱的侧面积”这一部分内容时，笔者就引导学生将圆柱形物体的侧面展开，然后再将展开后的长方形卷成圆柱的侧面。通过反复地“展、卷”，学生不仅能认识到圆柱的侧面是一个长方形，还能积极主动地发现圆柱的侧面和展开图长方形之间的关系。教师要以“做”导“创”，激发学生的创新意识：计算圆柱的侧面积就是计算长方形的面积，长方形的长相当于底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高，因此圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长和高的乘积。

动手做能催生学生数学学习的微观裂变，并能让学生实现自主性的知识建构。在数学学科教学中，教师可以通过学生的“动手做”活动，将相关的数学知识进行“大迁移”“远迁移”。比如，在“圆柱的侧面积”计算教学中，教师将“圆柱的侧面积”转变为“长方形的面积”，将数学新知通过与情境中学生处于缄默状态的旧知耦合，引发学生的微创新。

3. 以“器”导“创”，提升学生创新能力

在数学学科教学中，不仅情境等具有导引学生微创新的作用，相关的数学工具、学习工具也具有导引微创新的作用。不少学生在数学学习过程中，常常会形成一种“思维习惯”，会形成一种“思维定式”，会形成一种“路径依赖”。教师不仅可以通过引导学生思考、操作来引发学生的缄默性知识，催生学生的创新，而且可以通过相关的数学学习工具、信息技术、人工智能技术等外在性的“器”，来引导学生的创新，来诱发学生的“超长链反应”。以“器”导“创”，关键是要让学生走出“路径依赖”“路径固化”等的“茧房”，突破惯性思维、惯性认知的“桎梏”。比如教学“圆的周长”这一部分内容时，在学生通过“动手做”活动测量出圆的周长、圆的直径，并计算圆的周长和直径的商之后，笔者立即借助于电脑，通过有关的周长和直径的参数，对学生的探索过程加以检验，从而让学生感知到自己的测量与标准之间产生的不可避免的“误差”，以引发学生思考：在测量圆的周长时如何尽可能地减少误差？学生积极尝试减少经验性实验方法的误差，比如精准测量、多次测量求平均数、将圆形放大，用统计法计算等。在此基础上，借助多媒体课件，笔者引导学生的数学思维超越传统的“滚圆法”“绕圆法”等的测量圆周长的固化方法，将刘徽割圆术展示出来，激发学生创新性认知。同时，笔者还介绍了国外的相关的测量圆周长的方法。这样的展示，让学生深刻认识到经验性的方法无法精准计算出圆周率，现代计算圆周率的方法是借助于微积分和幂级数结合导致的无穷级数来计算π值的分析方法。这样的一些方法能刷新学生的数学认知。尽管学生还不理解这样的一些方法，但是学生已经认识到经验性方法的局限性。

创新是一个民族的灵魂，也是一个民族兴旺发达的不竭动力。在小学数学学科教学中，教师要倡导并引导学生“微创新”，激发学生的创意灵感，让学生智享新颖的创新资源、素材等。同时，教师活用相关的智能技术，能有效地开发学生创新潜质、潜能。通过微创新，能将相关的数学思想、方法凝结起来，形成数学的“方法库”“路径库”“思想库”。教师通过引导学生的数学微创新，不仅能点燃学生的创新意识，提升学生的创新能力，更能生成学生的创新人格，增强学生的数学學习的自信心、好奇心，发展学生数学学习的独立性、冒险性、坚持性等良好品格、品性等。