APOS理论下的三角函数单元教学研究

王娜

【摘要】为进一步提升三角函数单元教学中教师的教学质量和学生的学习效果，文章基于APOS理论，以三角函数单元中的重难点知识“弧度制”为例，按照APOS理论框架下“活动、程序、对象、图式”四个阶段展开循序渐进的教学.根据教学完成后对学生进行的课后测试结果可知，APOS理论下的教学方法对于提高学生知识掌握能力有着较为重要的作用，故有必要对该理论及其方法做进一步的研究和推广应用.

【关键词】APOS理论；三角函数；数学教学

引 言

近年来，随着核心素养等新兴教育理念的不断渗透，中学数学教学迎来了一定的创新发展，但在这一进程中仍存在较多的难题，其中三角函数单元的教学就是一个典型.三角函数单元的抽象性较突出，且是高考中的一个主要内容，其教学难度颇高，以往的教学模式难以确保学生掌握其精髓.为有效解决这个问题，教师就需要引入APOS理论，基于该理论对教学方法进行创新，确保学生能够更好地掌握此章节知识，全面提升数学能力.

一、APOS理论概述

APOS理论是美国数学家杜宾斯基在自反抽象理论上进一步研究得出的.该理论指出，学生想要真正掌握数学概念的本质，就必须在学习过程中逐步建立适当的心智结构，才能达到预期目标.具体来看，建立适当心智结构的过程主要包括以下四个阶段：第一阶段（Action）：此阶段又称为“活动阶段”，即教师让学生通过参加各种实践或思维活动初步了解数学概念的起源，对数学概念进行初步感知；第二阶段（Process）：此阶段又称为“过程阶段”，即当学生熟悉前一阶段的活动后，这种活动就内化为一种心理操作，形成一种类似于条件反射的行为；第三阶段（Object）：又称为“对象阶段”，此阶段主要是对已掌握的概念进行压缩和解构，对应“学以致用”；第四阶段（Schema）：是“图式阶段”，即学生将前面所学内容进行整合，构成一个知识体系，并准确把握其外延和相关概念的区别与联系.

二、APOS理论下的三角函数单元教学策略———以“弧度制”为例

（一）课前准备阶段

为确保课堂教学的高效性，课前准备是必不可少的.在此阶段的工作中，教师主要应结合学生情况对教学内容进行分析.学生在以往的学习中以“角度制”内容为主，且这些内容已经在学生大脑中“先入为主”，这导致很多学生在理解“弧度制”这一新知识时感到困难.因此，如何引入“弧度制”这一概念就是教学的难点，教师也应当围绕这一难点问题展开教学.

（二）活动阶段

由于大多数学生对于弧度制较为陌生，因此，在活动阶段，教师要通过设置合理的探究问题让学生一步步了解弧度制的本质，即“用角所对应的弧长与半径的比来衡量一个角的大小”，此时引出弧度制的概念便水到渠成.在此环节中，教师列举的案例应当本着从特殊到一般的顺序，且确保这些案例是可操作的，不能急于求成.

此环节的案例列举如下.

首先，由教师在黑板上画出几何图形，如图1所示.

根据此图，教师向学生提问：“除了通过角度数来衡量角α的大小，能否用其他方式来表示该角的大小？用劣弧AB的长度是否可行？”学生在思考后会回答：“不能，因为劣弧AB的长度会随圆半径的增大而增大，是不确定的数值.”由此，教师进一步指出：“刚才同学们的回答很正确，接下来我们换一个角度思考.就刚才同学们的结论，我们能否用弧AB的长度与圆半径的比值来描述角α的值呢？”由此，教师在黑板上画出另一个图形（如图2所示）.

在学生总结出任意角条件下该比值的计算公式后，教师即可引入“弧度制”的概念，指出刚才所做的工作即是弧度制发展过程中的一部分，然后对弧度制的起源和发展以及弧度制的优势进行简要讲解，以加深学生对于弧度制的理解.

（三）过程阶段

在过程阶段，其主要目的是让学生对弧度制的概念有更为发散的理解，从而为后续角度与弧度之间的转换学习打好基础.此环节教师主要应让学生重复已有的操作过程，逐步加深对弧度制的理解.具体来看，此环节可通过以下案例逐步深入.

首先，教师提问：“刚才我们已经初步了解了弧度制的概念，我们在以往的学习中接触过一些常见的角度，如30°，45°，60°，90°和180°等，那么你们能否快速写出这些角度对应的弧度值吗？”对于该问题，学生的反应速度较快，能够快速写出正确答案.而后，教师继续提问：“大家的答案都是正确的.接下来我们加大难度，哪名同学可以作图表示出1弧度所代表的角度？”由此，教师引导学生作图表示，学生可大致画出图形（如图3所示）.

根據此图，教师即可提出弧度制的定义方式，先说出该图中的数量关系“该角度对应的弧长为1个半径”，在此基础上，按照上述环节进一步作出2弧度和3弧度所对应的角度值，让学生直观理解要求弧度值，只需已知弧长和半径，二者之比即为所求.

（四）对象阶段

在弧度制教学的“对象阶段”，其主要目的是让学生理解角度和弧度之间的转换关系，让学生掌握将弧度制看作一个数学对象进行换算的操作方法.为达到这一目的，教师可通过以下案例进行教学.

（五）图式阶段

图式阶段主要是让学生将所学到的知识及时应用到实际问题解决当中，通过这种方式加深学生对所学知识的记忆和理解，避免机械记忆带来的低效率或是遗忘等问题.在这一阶段，教师需要引入实际问题让学生将所学知识予以应用.

具体来看，在此环节中，教师可应用以下案例进行图式阶段的教学.

当学生推导出上述答案后，教师要趁热打铁，让学生将所推导出的公式进行实际应用.因此，教师提问：“大家推导出的结果是正确的.下面让我们来看这样一道题：若已知某扇形的圆心角为2rad，且半径为2，请同学们利用刚才推导出的公式计算该扇形的弧长和面积.”由此，学生可直接将相关数据代入推导出的公式当中，快速算出最终答案.从实际情况来看，虽然教师提出的这个问题难度较低，但其对于加深学生对所学知识的记忆和理解有着突出的作用.此时，学生对于本节课所学的“弧度制”的相关内容已经更为熟知，能够将这些内容作为一个知识点纳入自己既有的知识体系当中.在认知层面上，多数学生已经进入初步的图式阶段.当然，以上阶段的教学还不能完全满足要求，为此，教师在课程结束后还要布置适当的课后作业，让学生在解决三角函数的相关问题过程中运用弧度制知识，使其进一步加深对弧度制的理解.

三、APOS理论下的三角函数单元教学实施效果

为验证基于APOS理论的三角函数单元教学实施效果，在本节关于“弧度制”的课程讲解结束后，教师可布置一定数量的课后习题，这些习题要涵盖活动阶段、程序阶段、对象阶段和图式阶段所学习的相关知识点，在学生自主解答完这些习题后，教师进行批改.

由于本次APOS理论仅面向一个教学班进行了实践，因此同时收集另外一个平行班的课后测试结果进行了对比分析，分析结果如表1所示.

根据表1中的数据变化可知，实验组在APOS的四个阶段中，前两个阶段的数据较为平稳，从第三阶段开始呈现递减趋势，这表明大部分学生对于本节所学知识的掌握程度可达到程序阶段，而从程序阶段向对象阶段的转变对于一部分数学基础较差的学生而言存在较大难度.从另一角度分析，实验组在各个阶段的得分率均明显高于对照组，这初步证明了基于APOS理论进行教学能够取得更大的成效.

为进一步印证学生基于APOS理论方法的学习取得了更大的进步，笔者随机抽查了三名学生针对课后作业第一题“请简单说明一下什么是弧度制”的答案，抽查发现，三名学生对于此题给出的答案存在一定的差异，学生甲回答：“把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad.”学生乙回答：“1弧度是作为单位来度量角的单位制.”学生丙回答：“把圆分成等长于圆半径的弧的所对角.”相对而言，学生甲的回答最接近准确的定义方式，而学生乙和丙的回答不够严谨、规范，但也从自己的角度指出对弧度制的认识.整体来看，通过本次教学，大多数学生对于弧度制的概念都有了较为深刻的理解和认知，这对于其在三角函数的学习上有一定的推动作用，同时印证了本次基于APOS理论开展课堂教学的有效性.

结 语

APOS理论对于三角函数单元教学有着积极的指导价值，这一理论不仅深度契合学生学习过程的客观规律，也为教师教学提供了更具实效性的方案.通过应用APOS的理念和方法開展教学，教师的教学效率和学生的学习质量均得到显著提升，学生课后作业的成绩可印证这一结论.由此可见，应用APOS理论的现实意义较为突出，可在今后的中学数学教学工作中进一步推广.

【参考文献】

[1]施琦.“APOS”理论下几何概念教学的实践探索：以苏教版数学第一学段为例[J].小学教学研究，2022（13）：36-38.

[2]张云辉，周远方.APOS理论指导下的概念起始课教学：以函数概念起始课教学实践为例[J].中国数学教育，2022（6）：51-54.

[3]曹毅.基于APOS理论的“函数的概念”教学设计[J].中学教研（数学），2022（2）：6-8.