“同构”新天地，“找点”大舞台——2022年新高考Ⅰ卷第22题的解析

⦿江苏省沭阳高级中学 纪秀艳 ⦿山东省滨州实验中学 王 洁 刘晓蕾 贾生森

1 真题呈现

(2022年新高考Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2 第(1)问分析

当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增，此时f(x)无最小值；因为g′(x)<0，则g(x)在(0,+∞)上单调递减，此时g(x)无最小值.

当a>0时，令f′(x)=0，则x=lna.当x∈(-∞,lna),f′(x)<0；当x∈(lna,+∞),f′(x)>0.于是f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(lna)=a-alna.

由f(x)min=g(x)min，得1+lna=a-alna.

此处超越式方程的解法，有两种途径：构造函数和放缩.而构造函数又有两种方法，放缩又有四种方法，见思维导图1.

图1

思路一：求最值，直接建立关于a的方程.

解法1:构造函数(一).

由1+lna=a-alna，得(a+1)lna+1-a=0.

解法2:构造函数(二).

解法3:切线放缩+两边夹.

说明：a>0,不等式a-1≥lna取等号时的几何意义是直线y=x-1与曲线y=lnx相切.

解法4:糖水不等式+放缩法.

思路二：设最值，化归为公切线问题.

解法5：公切线法.

思路三：先猜后证.

解法6:必要性探路+放缩法.

设函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值为t.由解法5可知，只需证明∀x∈(0,+∞),lnx+t≤ax≤ex-t即可.又由常见的切线不等式，可知lnx+t≤x-1+t,x+1-t≤ex-t.因此只需证x-1+t≤ax≤x+1-t，即证t-1≤(a-1)x≤1-t，只需证|(a-1)x|≤1-t.因为对∀x∈(0,+∞)，都有|(a-1)x|≤1-t，所以a=1.

3 第(2)问分析

解决零点问题，需采用数形结合思想，根据第(1)题所得f(x),g(x)的单调性作出图象(如图2), 图中三个交点从左到右分别记为A(x1,y1),B(x0,y0),C(x2,y2).

图2

因为存在直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，又由(1)可知两函数最小值皆为1，所以b>1.

第(2)题要确定y=f(x)和y=g(x)有交点，以及直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)分别有交点，再证明这三个交点的横坐标成等差数列.

第(2)题的思维导图如图3所示：

图3

方法一：构造函数，利用零点存在定理，确定隐零点.

先确定函数y=f(x)与y=g(x)的交点B(x0,y0).

再找函数值为负的变量，有两种常见方式：

找点注释：

方式二：利用二分法思想找点，通过估值计算，不断尝试得到函数值为负即可.

再确定直线y=b与y=f(x)的两个交点A(x1,y1),B(x0,y0).

令H(x)=f(x)-b，则H′(x)=ex-1，于是H(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.

由H(-b)=e-b>0,且H(0)=1-b<0，可得H(-b)·H(0)<0.所以函数H(x)=f(x)-b存在唯一零点x1∈(-∞,0)，即曲线y=f(x)与直线y=b在(-∞,0)上有唯一交点A(x1,y1).

由H(b)=eb-2b≥eb-2b>0,得H(b)H(0)<0.所以函数H(x)=f(x)-b存在唯一零点x3∈(0,b)，即y=f(x)与y=b在x∈(0,+∞)有唯一交点(x3,y3).又ex3-x3=b，ex0-x0=b，且H(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，则x3=x0.所以直线y=b与曲线y=f(x)交于两点A(x1,y1),B(x0,y0).

找点注释：

上述解法中寻找-b的途径：H(x)=ex-x-b>-x-b≥0⟹x≤-b，于是可取x=-b<0.

最后确定直线y=b与曲线y=g(x)的两个交点C(x2,y2),B(x0,y0).

由G(eb)=eb-2b>0,且G(1)=1-b<0，可得G(eb)·G(1)<0.故G(x)存在唯一零点x2∈(1,+∞)，即曲线y=g(x)与y=b在(1,+∞)上有唯一交点C(x2,y2)，且x2>1.

由G(e-b)=e-b>0,G(0)=1-b<0，得G(e-b)·G(0)<0.故G(x)存在唯一零点x4∈(0,1).又x4-lnx4=b，x0-lnx0=b，且G(x)在x(0,1)上单调递减，则x4=x0.所以曲线y=g(x)与直线y=b交于两点C(x2,y2),B(x0,y0).此处还可以利用G(2b)=b-ln 2b>0找点.

由此可知，存在直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，满足ex0-x0=x0-lnx0=b>1，即ex0+lnx0=2x0，从左至右的三个交点的横坐标成等差数列.

找点注释：

寻找eb的方法：只要大于2b，都符合题意，而b>1,eb>eb>2b.

取点常常取对数形式点代入含指数式的函数易于运算；同样，我们也常常取指数形式点代入含对数式的函数易于运算.

导数找点有两种方式：①猜根；②放缩取点.当目标式结构复杂猜根不易时，通常采用放缩取点.

方法二：同构法(对数向指数转化).

由f(x0)=g(x0)，得ex0-x0=x0-lnx0，则ex0+lnx0=2x0，所以存在直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

方法三：同构法(指数向对数转化).

方法四：反函数.

由题意可得，ex-x=b和x-lnx=b共有三个不同的根，等价于ex=x+b和lnx=x-b共有三个不同的根.y=ex和y=lnx互为反函数，图象关于直线y=x对称；y=x+b和y=x-b也互为反函数，图象关于直线y=x对称.根据对称性，得∃b∈R，使y=ex与y=x+b交于A,B两点，y=lnx与y=x-b交于C,D两点，且B,C两点横坐标相同时一共有3个根.

图4

如图4,设A(x1y1)，B(x0y0)，C(x0y0)，D(x2y2)，由反函数的对称性，易知x0-x1=y2-y0.

又直线CD的斜率为1，则y2-y0=x2-x0.所以x2-x0=x0-x1，即从左至右的三个交点的横坐标成等差数列.

第(2)题方法一通过构造函数h(x)=f(x)-g(x)，通过函数的单调性寻找函数h(x)在(0，+∞)上存在的唯一零点，进而找到x0∈(e-2,1)，从而得到证明；方法二和方法三采用指数式与对数式的结构特征进行同构；方法四比较巧妙地通过观察发现y=ex与y=lnx互为反函数，y=x+b与y=x-b互为反函数，利用对称性得到x0-x1=y2-y0，以及kCD=1得到证明.