“1”的10用技巧

⦿浙江省杭州市萧山第二高级中学 吴叶芳

“1”真是个神奇的数字，从小学开始我们就知道，“1”是一个自然数，是最小的正整数，是奇数，“1”既不是质数也不是合数，还学会了设“单位1”的解题思路与方法[1].到了中学阶段，又学会了更多更巧妙地利用“1”的各种性质来解题的方法与技巧.下面我们通过实例来归纳“1”在数学解题中的10种灵活用法.

1 “1”的正用与逆用

例1求证：tan2α+cot2α+1=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1).

证明：右边=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1)

=cotα(tan2α+tanα+1)·tanα(cot2α-cotα+1)

=(tanα+1+cotα)·(cotα-1+tanα)

=(tanα+cotα)2-1

=tan2α+cot2α+1

=左边.

所以原式得证.

点评：在三角函数中，“1”可以变换为“tanα·cotα”，本题正是反复正用和逆用了“1=tanα·cotα”这一性质，使证明过程变得简捷.

2 巧用“1”求概率

例2某县选派甲、乙两所中学的12名学生组队参加市创客大赛决赛，其中甲中学推荐了3名男生、2名女生，乙中学推荐了3名男生、4名女生.两校队员在市教育局集中培训了2天后，因参赛名额限制，决定从两校队员的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人，组成代表队参加决赛.求甲中学至少有1名学生入选的概率.

点评：本题的思路是利用概率的性质从反面求解；因为所有事件概率的总和等于1，所以可先求出事件A的反面“甲中学无学生入选”的概率，再用1减去这个概率即可.

3 妙用“1”化简求值

4 换用“1”求极值

5 作中间变量比较大小

例5比较a=ln 2，b=20.3，c=0.32的大小.

解：ln 20.32，所以c

点评：“1”作为中间变量，在比较大小的运算中具有桥梁的作用[2]，很多数的大小都以0,1为临界点.

6 解决椭圆的相关问题

点评：本题为了避免求a,b,c的值，将方程中的a设为1，再根据椭圆中a2=b2+c2的关系将b2写成b2=1-c2，然后将上述方程转换成一个关于e的方程，最后解出e的值即为所求的离心率.

7 化归构造公式

例7已知A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，试求A-2 003的末尾数是多少？

解：原式左边乘(2-1),得A=(2-1)·(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)·(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1.

因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，个位数的特点是每4个一循环，而16÷4=4，所以216的末位数字是6，那么A的末尾数字是5，A-2003的末尾数是2.

点评：运用化归思想，巧用“1”乘任何数结果不变的特点把“1”变成(2-1)的形式，灵活地构造出能够运用平方差公式的式子.

8 用代换法解方程

例8解方程：4x-3=1.

解：因为a0=1(a≠0)，则4x-3=40，所以x-3=0，解之得x=3.

点评：本题主要是灵活代换了a0=1(a≠0),将指数方程转化为一元一次方程，进而轻松获解.

9 解决函数恒过定点的问题

例9函数y=loga(x-4)的图象恒过定点______.

解：由对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1，0)，得x-4=1，则x=5.

所以函数y=loga(x-4)的图象恒过定点(5，0).

点评：指数型函数与对数型函数图象恒过定点问题是高考常考的一个知识点，解答这类题型经常会用到常数“1”的转化技巧.

10 求动点的轨迹方程

例10设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，若OA⊥OB,OM⊥AB，求动点M的轨迹.

解：(1)当直线AB垂直于x轴时，M(4p,0).

两边同除以x2，整理得

y=k(x-4p).

①

又因为OM⊥AB，所以直线OM的方程为

②

由①×②消去k，得y2=-x(x-4p)，即(x-2p)2+y2=(2p)2，且M(4p,0)也满足这个方程.

所以，动点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，2p为半径的圆.

事实上，“1”的用法何止10种！上述举例只是窥其一斑而已，要知“全豹”，学习和掌握更多的“1”的妙用技巧，还需要我们在解题过程中不断探索、不断反思、不断总结，学以致用，不断提高.