三角形综合问题一题多解

⦿湖北省黄冈市团风中学 林菊芳

1 引言

从近几年的高考试题来看，解三角形问题成为高考的高频考点.主要考查运用正、余弦定理及其他相关的变形公式解决与三角形有关的证明、求面积、判定三角形形状等问题；题型多样，既有填空题、选择题，也有简答题和综合应用题，侧重考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力[1].下面是笔者总结的几种解题的方法与技巧，供大家参考.

2 三角形证明题“两要”法

三角形中的证明类问题，其基本思路和方法与证明三角恒等式类似.证明的要领可归纳为“两要”：一要“转化”，变陌生为熟悉，就是运用正、余弦定理使原来混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，将其转化为我们熟悉的三角恒等式类的证明问题，或将其转化为代数恒等式类的证明问题；二要灵活运用三角形中的相关结论(公式、定理)，例如

sin(B+C)=sinA，cos(B+C)=-cosA，

例1在△ABC中，已知acosA=bcosB，求证：△ABC为等腰三角形或直角三角形.

证法1：从角入手进行证明.

在△ABC中，由acosA=bcosB，得2RsinA·cosA=2RsinBcosB，即sin 2A=sin 2B.

所以，△ABC为等腰三角形或直角三角形.

证法2：从边入手进行证明.

在△ABC中，由acosA=bcosB，得

整理，得c2(a2-b2)=a4-b4.

即c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).

于是 (a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0.

所以a=b，或c2=a2+b2.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

例2在△ABC中，求证：sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC.

证法1：因为

sin2A+sin2B-sin2C

=cos2(A+B)-cos(A+B)cos(A-B)

=cos(A+B)[cos(A+B)-cos(A-B)]

=-cosC(-2sinAsinB)=2sinAsinBcosC,

所以，原等式得证.

所以，原等式得证.

所以，左边=右边，故原等式得证.

3 运用“转化法”判断三角形的形状

例3在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状.

解法1：由正弦定理，得2sinB=sinA+sinC.

即sin(C+30°)=1.

因为0°

于是A=60°=B=C.

故△ABC为正三角形.

解法2：由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB.

整理，得(a-c)2=0，即a=c，从而a=b=c.

故△ABC为正三角形.

例4在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判定△ABC的形状.

8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC.

因为sinBsinC≠0,所以sinBsinC=cosBcosC.

于是cos(B+C)=0，则B+C=90°，所以A=90°.

故△ABC为直角三角形.

解法2：将已知等式变为

b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.

化简得b2+c2=a2.

故△ABC为直角三角形.

4 巧用公式求三角形的面积.

其次，针对不同的题型和具体要求，灵活地选用或变形使用三角形面积公式.

例5在△ABC中，已知A=120°，AB=5，BC=7，求△ABC的面积.

图1

图2

例6某职业中专校园背后有一块形似三角形的学农基地(如图2)，AB边长为20 m，由点C看AB的张角为40°，在AC上的另一点D处看AB的张角为60°，已知AD=2DC.试求这块学农基地的面积(精确到0.1 m2).

解：依题意可知∠BCA=40°，∠BDA=60°， 则∠DBC=20°，∠BDC=120°.设DC=x.

在△ABC中，AB=20,利用余弦定理可知

AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC.

即400=(3x)2+(2.53x)2-2×3×2.53x2cos 40°.

解得x≈10.3,从而AC=30.9,BC≈26.03.

故这块学农基地的面积约为257.4 m2.

5 活用正、余弦定理求解高度与追击问题

求解高度与追击问题，大多要利用正、余弦定理，联系高度、距离所在的某个三角形，弄清方向角、方位角，将有关角的关系进行综合应用，观察和求出所在三角形中的某些边、角，当条件不够时，需要创造和寻找条件[3]，将有关条件向该三角形转化，最终化为解三角形的问题.

图3

解：由A=15°，∠DBC=45°，可得∠ACB=30°.

因为CD⊥AD，所以

CD=BCsin∠CBD

≈10 500(1.7-1)

=7 350(m).

故山顶的海拔高度为10 000-7 350=2 650 (m).

图4

在△ABC中，∠BAC=45°+75°=120°,则

BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC

=6.

由正弦定理，得

所以∠ABC=45° ，且BC为东西走向.

由题意可知∠CBD=120°.

在△BCD中，由正弦定理，得

所以∠BCD=30°.

于是∠BDC=30°.

6 结论

综上所述，解三角形问题的关键是要准确理解三角形中的边角关系，会娴熟地运用相关的公式、定理；对于实际应用题，最好能够运用数形结合思想，通过构图、作辅助线等方法帮助分析、思考问题.