巧作辅助线

林明新

【摘要】初中数学中的几何面积最值问题是学生经常遇到的问题，在具体的解题中，教师可引导学生将遇到的问题朝着这两个方向转化，在转化的过程中让学生尝试着添加一些辅助线、辅助圆，以让问题得到解决，以让能力得到发展.

【关键词】初中数学;最值问题;作辅助线

1 作垂线，解决面积最值问题

求面积的最值是最值中常见的问题，学生首先要从面积公式入手展开思考.一般来说，题目中往往会存在一个动点，这个动点假如是三角形的高，依据点线之间，垂线段最短，就可获得最值.因此解题时教师需要引导学生关注相关三角形中需不需要作一条辅助线，以实现最值问题的转化.

例1 如图1所示，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF.（1）求∠FDP的度数.（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明.（3）连接AC，若正方形的边长为 2，请求出△ACC′的面积最大值.

显然地，第1问与第2问都是为最值问题做铺垫的.对于第一问学生只要证明∠CDE=∠C′DE和∠ADF=∠C′DF，就可推断出∠FDP′=12∠ADC=45°.对于第2问，学生需要作一个辅助线，同时也为第3问的作辅助线进行热身.如图2所示学生作AP′⊥AP交PD的延长线于P′，他们构建出全等三角形，证明△BAP≌△DAP′（SAS），进而得BP=DP′，从而得△PAP′是等腰直角三角形，可得结论BP+DP= 2AP.对于第3问，这题其实就是暗示学生先作高线，進而根据高的大小确定面积的大小.在如图3所示，学生过C′作C′G⊥AC于G，教师引导学生当C′在何处时，C′G最大？学生先是在Rt△ABC中，由AB=BC= 2，求得AC= （ 2）2+（ 2）2=2，进而他们认为AC为定值.同时他们观察图三发现，当C′G最大值，△AC′C的面积最大，这是由面积公式决定的.因此学生连接BD，交AC于O.他们推断出当C′在BD上时，C′G最大，此时G与O重合.显然地，由CD=C′D= 2，OD=12AC=1，他们推断出C′G= 2-1，进而得出，S△AC′C=12AC·C′G=12×2（ 2-1）= 2-1.可以清晰地看出来三角形面积的最值问题先是要引导学生假想一个点，进而证明这个点与最长线段的端点重合.

2 作平行线，解决面积最值问题

同样地，作平行线也能解决其中部分的面积最值问题.作平行线一般是将一个三角形分成几个不同的部分，从已知线段的比，推断出未知线段的比，进而再推断出相关三角形的高之比与面积之比.显然地作平行线这样的辅助线能将所求的最值面积中的部分数据进行转化.因此教师需要引导学生分析题目中的隐性条件，看是不是部分线段之间存在着一定的比，进而通过平行线过度到对应的面积之比.

例2 如图4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为多少？

教师先是要引导学生分析与△ABO相关联的线段有哪些，从这些线段之间的等量关系能不能求出△ABO的面积与某个三角形面积之间的比例关系，进而将问题进行转化.他们从DB=2AD这一条件捕捉到从“D”出发作一个辅助线可以实现相关问题的转化，因此他们过点D作DF∥AE，因而他们得出DFAE=BDBA=23，进而也得出ECAE=13，即，DF=2EC，DO=2OC，DO=23DC.他们很顺利地推断出S△ADO=23S△ADC，S△BDO=23S△BDC，S△ABO=23S△ABC.学生遇到的第二个问题是如何求S△ABC的最值.教师指导学生进一步地从已知条件找寻信息，他们发现由已知条件∠ACB=90°，能作出这样的推断，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大.即，12×4×2=4，此时△ABO的面积最大为：23×4=83.

3 作辅助圆，解决面积最值问题

将圆与面积最值问题结合起来也是常见的解决最值问题的方法.但这样的解题思路需要学生具备一定的综合运用数学认知的能力，要能将不同章节的认知基于某个核心问题聚焦在一起.显然地圆中的垂径定理，还有直径是圆中最长线段都是用来转化的重要路径.

例3如图5所示，△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°.求△ABC的面积的最大值？

教师可以引导学生像这样的条件比较少的题目，作一个辅助圆试试，这样就能将一些条件放在圆中去考虑.学生先是作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，教师引导他们将原来的信息以圆的视角加以运用.学生是这样分析的，弦AB已确定，要使△ABC的面积最大，其实只要求CM取最大值就可以了.那么CM什么时候最大呢.学生做出这样的辅助圆之后，不难发现当CM过圆心O时，CM最大.他们从已知条件CM⊥AB出发，作CM过O，进而由垂径定理推断出AM=BM，AC=BC.接着他们从∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°这一条件入手，得出OM=AM=12AB=12×6=3，OA= OM2+AM2=3 2，CM=OC+OM=3 2+3，进而推断出S△ABC=12AB·CM=12×6×（3 2+3）=9 2+9.

当然借助辅助圆还可以求面积的最小值.如图6所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为多少.

首先学生想到了求面积的通常地作辅助线的方法，他们连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N.他们从AC=CB，AM=OM，推断出MC=12OB=1.教师引导学生在△CDE中哪一个是动点，如何描述这个动点.学生经过观察、分析、讨论，他们发现点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M上.设⊙M交MN于C′，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小.可见对于作辅助圆来说，学生需要做好三个方面的思考，首先要能在心中形成一个圆的图形;其次要能将最值放到圆的图形中考虑，以让问题得到转化;再次要能将圆的认知与三角形的认知结合起来.