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梯形中位线定理的推广模型

2022-07-24江建华

数理天地(初中版) 2022年7期
关键词:对称点位线过点

江建华

模型 如图1,在梯形ABCD中,AD∥EF∥BC,AEBE=mn,则有EF=mBC+nADm+n.

证明 如图2,过点D作DN∥AB交EF于点M,交BC于点N,则有AD=EM=BN,

因为AD∥EF∥BC,

AEBE=mn,

所以MFNC=DFDC=AEAB=mm+n,

所以MF=mm+nNC,

所以EF=EM+MF=BN+mm+nNC

=(m+n)BN+mNCm+n

=m(BN+NC)+nBNm+n

=mBC+nADm+n,

注 当m=n时,此时模型即为梯形的中位线定理EF=AD+BC2.

例1 设O为坐标原点,点A,B为抛物线y=x2上的两个动点,且OA⊥OB,连接AB,过O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值()

(A)12.(B)22.(C)32.(D) 1.

解 如圖3,分别过点A,B作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F,设,OE=a,OF=b,直线AB交y轴于点D,由抛物线解析式为y=x2,则有

AE=a2,BF=b2.

因为∠AOB=90°,

所以∠AOE+BOF=90°,

又∠AOE+∠EAO=90°,

所以∠BOF=∠EAO,图3

又∠AEO=∠BFO=90°,

所以△AEO∽△OFB,

所以AEOF=EOFB,

即a2b=ab2,

化简得ab=1.

由模型可得

OD=aBF+bAEa+b=ab2+a2ba+b=ab=1,

所以点D坐标为(0,1),即直线AB过定点D,

因为∠DCO=90°,DO=1,

所以点C是在以DO为直径的圆上运动,

所以当点C到y轴距离等于此圆半径12时,点C到y轴距离最大.

故选(A).

例2 如图4,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1).

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点F的坐标;

②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点.

证明当直线l绕点F旋转时,1MF+1NF是定值,并求出该定值;

(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,直接写出P,Q的坐标.

解 (1)因为顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1),

所以B(2,-1),

将点O,点A,点B坐标代入抛物线

y=ax2+bx+c,

得c=0,4a+2b+c=-1,16a+4b+c=0,

解得a=14,b=-1,c=0,

所以y=14x2-x.

(2)①设F(2,m),Gx,14x2-x,

因为G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离相等,

所以(2-x)2+m-14x2+x2

=14x2-x+22,

整理得mm-12x2+2x=0,

因为距离总相等,所以m=0,

所以F(2,0);

②如图5,设CE=m,DE=n,MC=a,ND=b,

由题意可得

MF=MC=a,

NF=ND=b,

因为MC∥EF∥ND,

所以MFNF=CEDE,

所以ab=mn,

即an=bm,①

由模型可得

EF=an+bmm+n=2,②

将①代入②得

an+anm+n=2,bm+bmm+b=2,

即anm+n=1,bmm+n=1,

所以1a=nm+n,1b=mm+n,

所以1MF+1NF=1a+1b=nm+n+mm+n=1,

所以1MF+1NF=1是定值.

(3)如图6,作点B关于y轴的对称点B′,作点C关于x轴的对称点C′,连接B′C′交x轴,y轴分别于点P,Q,则此时四边形PQBC的周长最小,因为点C(3,m)是该抛物线y=14x2-x上的一点,

所以C3,-34,因为B(2,-1),

所以B′(-2,-1),C′3,34,

设直线B′C′的解析式为

y=kx+b,

所以-2k+b=-1,3k+b=34,

所以k=720,b=-310,

所以直线B′C′的解析为

y=720x-310,

当x=0时,y=-310;

当y=0时,x=67,

所以Q0,-310,P67,0.

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