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用列方程法求图形面积的三种途径

2022-07-24孙志东

数理天地(初中版) 2022年7期
关键词:列方程勾股定理

孙志东

【摘要】 本文通过三个典型案例给出建立方程求解图形面积的三种途径:根据图形面积比建立方程、根据勾股定理建立方程、 根据中间桥梁建立方程.

【关键词】 求面积;列方程;面积比;勾股定理;中间桥梁

在平面几何中,求图形面积是一类重要的问题,特别是求三角形或四边形的面积类型较多.因为求图形的面积不仅仅涉及计算,还涉及到推理,能考查学生综合运用几何和代数知识解决问题的能力,所以它在竞赛中常常出现.下面通过三个典型案例来说明求图形面积的三种有效途径.

1 根据图形面积比相等建立方程求面积

例1 图1

如图1,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且△ABE,△ADF,△CEF的面积分别为5,4,3,则△AEF的面积是.

分析 考虑到等高的平行四边形面积比等于对应底边的比,通过作两条平行线,可以把原平行四边形分割成四个小平行四边形.若假设其中一个小平行四边形的面积,则其他三个平行四边形的面积很容易表示出来,这样根据四个小平行四边形的面积之间的关系就可以建立方程.

解 如图2,过点E作AB的平行线交AD于点G,过点F作BC的平行线交AB于点H,EG与HF交于点O,可知AHOG,BEOH,ECFO,OFDG都是平行四边形.

设SAHOG=x,则SBEOH=10-x,

SECFO=6,SOFDG=8-x.

根据SAHOG∶SOFDG=SBEOH∶SECFO得

x∶(8-x)=(10-x)∶6,

即方程x2-24x+80=0,

解得x=4或20,

因为0<x<8,

所以x=4,

从而S△AEF=(10+6+4)-(5+3+4)=8.

2 根据勾股定理建立方程求面积

例3 图3

如图3,正方形DEFG的三个顶点D,E,G分别在△ABC的边BC,AC,AB上,D为BC的中点,AG=7,GB=6,AE=9,EC=2,求正方形DEFG的面积.

分析 由线段中点,可以联想到三角形的中位线,结合正方形的对边平行的条件,得到相似三角形,得出几条关键线段的关系,最后利用勾股定理完成方程的建立.

解 如图4,过点B作DE的平行线交AC于点M,延长GF交AC于点N.设DE=x,则由BD=CD,得

CE=ME=2,

所以BM=2x,

且AM=AC-ME

=9-2=7.

由GN∥BM,得

GNBM=ANAM=AGAB,

即x+FN2x=AN7=713,

解得AN=4913,FN=x13,

所以NE=AE-AN=9-4913=6813.

在Rt△ENF中,由EF2+FN2=NE2,得

x2+x132=68132,

解得x2=27.2,

即正方形DEFG的的面积为27.2.

注 在平面几何中,利用勾股定理计算线段的长度,是非常重要的方法.

3 根据中间桥梁建立方程求面积

例3 图5

如图5,四边形EFGH是正方形ABCD的内接四边形,且FH=3,EG=4,S四边形EFGH=5,求S正方形ABCD.

分析 因为四边形EFGH不是特殊的四边形,所以在初中阶段,它的两条对角线和面积这些数量不容易建立关系.这样就需要我们另辟思路,不妨充分借助边之间的关系,多次利用勾股定理寻找到一个等式,再利用图形总面积等于各部分面积的和,得到另外一个等式,发现这两个等式存在中间桥梁,从而建立方程就自然而然了.

解 设正方形ABCD的边长为x,CG=a,

BE=b,BH=c,AF=d,则由勾股定理,得

x2+(a-b)2=16,x2+(c-d)2=9,

变形,整理,得

(a-b)2(c-d)2=(16-x2)(9-x2),①

又S正方形ABCD=x2=5+12bc+12(x-c)a+12(x-b)d+12(x-a)(x-d),

整理,得12x2=5+12(bc+ad-ac-bd),

即(a-b)(c-d)=10-x2,

所以(a-b)2(c-d)2=(10-x2)2,②

聯立①②,得

(16-x2)(9-x2)=(10-x2)2.

解得x2=445.

即S正方形ABCD=445.

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