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用裂项相消法解题

2022-07-24洪联平

数理天地(初中版) 2022年7期
关键词:裂项消法解方程

洪联平

在解题中运用裂项公式,把每一项分式用裂项变形为两个分式之差的形式, 然后相加把相同的式子抵消,可以使这类看似复杂的问题得到非常简洁的解答.用裂项相消法解题,要注意裂项后那些项抵消了,那些项没有抵消,下面举例说明.

1 常用变形公式

1.1n(n+1)=1n-1n+1;

2.1n(n+k)=1k1n-1n+k;

3.1(n-1)n(n+1)=121(n-1)n-1n(n+1);

4.1n+n+1=n+1-n;

5.1n+n+k=1k(n+k-n);

6.1(n+1)n+nn+1=1n-1n+1.

2 应用

例1 求和:11×2+12×3+13×4+…+12020×2021.

解 原式

=1-12+12-13+13-14+…+12020-12021

=1-12021=20202021.

例2 11+2+12+3+13+4+…+12020+2021.

解 原式=2-1+3-2+4-3+…+2021-2020=2021-1.

例3 化簡:b-c(a-b)(a-c)+c-a(b-c)(b-a)+a-b(c-a)(c-b)+2b-a-2c-a.

解 b-c(a-b)(a-c)=1a-b-1a-c,

c-a(b-c)(b-a)=1b-c-1b-a,

a-b(c-a)(c-b)=1c-a-1c-b,

原式=1a-b-1a-c+1b-c-1b-a+1c-a-1c-b+2b-a-2c-a=2b-c.

例4 解方程:x4+x8+x24+x48+…+x2020×2022=2021.

分析 解一元一次方程,去分母找最小公分母太复杂, 但若采用采用裂项法,就会使解题过程简洁.

14=121-12,

18=12×4=1212-14,

124=14×6=1214-16,

148=16×8=1216-18,

12020×2022=1212020-12022.

解 可以变形为

121-12+12-14+14-16+16-18+…+

12020-12022x=2021.

即121-12022x=2021,

x=4044.

例5 解方程1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+…+1(x+2011)(x+2012)+1x+2012=2012.

分析 在解分式方程时.若按照常规思路将分式方程化为整式方程,求解麻烦且容易产生增根,若采用裂项法,就会使解题过程简单,且不会产生增根.

解 原方程可化为

1x-1x+1+1x+1-1x+2+…+1x+2011-1x+2012+1x+2012=2012,

所以x=12012.

例6 解方程:1x+1(1+2)x+1(2+3)x+…+1(2010-2011)x=12011.

1x1+11+2+12+3+…+12010+2011

=12011.

对括号内各无理分式的分母进行有理化,得

1+2-1+3-2+…+2011-2010

=x2011.

2011=x2011,x=2011.

例7 若某整数k满足

121+2+132+23+143+34+…+1(k+1)k+kk+1=23.

解 由

1(n+1)n+nn+1=1n-1n+1,

左=1-12+12-13+13-14+…+

1k-1k+1=1-1k+1,

原方程化简为1-1k+1=23,

解得k=8.

例8 设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212,则S最接近的整数是多少?

解 当n为整数时,有

1+1n2+1(n+1)2

=1+1n2-2n+1(n+1)2

=n+1n2-2·n+1n·1n+1+1(n+1)2

=n+1n-1n+12

=n+1n-1n+1

=1+1n-1n+1,

所以S=1+11-12+1+12-13+…+1+12020-12021

=2020+1-12021

=2021-12021,

故与S最接近的整数是2021.

例9 设S=113+123+133+…+120203+120213,则4S的整数部分是多少?

解 当n=2,3,…,2021时,

1n3<1n(n2-1)=1(n-1)n(n+1)

=121(n-1)n-1n(n+1),

所以

S<1+1211×2-12×3+12×3-13×4+…+

12020×2021-12021×2022

=1+1211×2-12021×2022<1+12×11×2

=54,

由于1<S<54,4<4S<5,

所以4S的整数部分等于4.

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