辅助线的由来

张玉清

【摘要】 几何竞赛题中已知两个角的相等关系，常隐含另外两个角的相等关系，通过作辅助线，对角进行相等转化，从而构造特殊的三角形（如等腰直角三角形、等边三角形等），再利用相似三角形的知识可轻松解题.

【关键词】 辅助线;隐含条件;构造

初中数学竞赛题中的平面几何题，大多都要作辅助线，下面举两例说明辅助线的由来，帮大家掌握其中作辅助线的方法.

例1 如图1，已知D为锐角△ABC内一点，若∠ADB=∠ACB+90°，且AC·BD=AD·BC，求AB·CDAC·BD的值.

解 由∠ADB=∠ACB+90°，

易知∠CAD+∠CBD=90°，

过点B作EB⊥BD，且BE=BD，则∠CAD=∠CBE，连接CE，DE，有DE=2BD，

因为AC·BD=AD·BC，

所以ADAC=BDBC=BEBC，

所以△CAD∽△CBE.

所以CDCE=ACBC，

∠ACD=∠BCE，

所以∠ACB=∠ACD+∠DCB

=∠DCB+∠BCE

=∠DCE，

所以△ACB∽△DCE，

所以ABDE=ACCD，

所以AB·CDAC·BD=AC·DEAC·BD=DEBD=2.

注 由∠CAD+∠DBC=90°，作等腰直角△BDE，將∠CAD转移位置，等量代换充分利用条件得到两组三角形相似达到目的.

例2 如图2，在凸四边形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA=300°，AB·CD=BC·AD，证明：AB·CD=AC·BD.

解 条件AB·CD=BC·AD中的线段不是两相似三角形的对应边，难到达结论，是否可通过等量代换来达到目的呢？

由∠ABC+∠CDA=300°，

易知∠DAB+∠BCD=60°，

过点C作∠ECD=∠DAB，且CE=CB，

连接BE，DE，此时△BCE为等边三角形，可进行等量代换，

因为ADAB=CDBC，

所以ADAB=CDCE，

所以△DAB∽△DCE，

所以ADCD=BDDE，

∠ADB=∠CDE，

所以∠ADC=∠CDB+∠ADB

=∠CDB+∠CDE

=∠BDE，

所以△BDE∽△ADC，

易知AB·CD=BC·AD=AC·BD.

注 挖掘隐含条件∠DAB+∠BCD=60°，由60°联想到构造等边三角形，将线段、角等量代换后充分利用条件，得到两组三角形相似证明其结论.

方法归纳：例1中两角和为90°，可构造等腰直角三角形;例2中两角和为60°，可构造等边三角形.