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辅助线的由来

2022-07-24张玉清

数理天地(初中版) 2022年7期
关键词:构造辅助线

张玉清

【摘要】 几何竞赛题中已知两个角的相等关系,常隐含另外两个角的相等关系,通过作辅助线,对角进行相等转化,从而构造特殊的三角形(如等腰直角三角形、等边三角形等),再利用相似三角形的知识可轻松解题.

【关键词】 辅助线;隐含条件;构造

初中数学竞赛题中的平面几何题,大多都要作辅助线,下面举两例说明辅助线的由来,帮大家掌握其中作辅助线的方法.

例1 如图1,已知D为锐角△ABC内一点,若∠ADB=∠ACB+90°,且AC·BD=AD·BC,求AB·CDAC·BD的值.

解 由∠ADB=∠ACB+90°,

易知∠CAD+∠CBD=90°,

过点B作EB⊥BD,且BE=BD,则∠CAD=∠CBE,连接CE,DE,有DE=2BD,

因为AC·BD=AD·BC,

所以ADAC=BDBC=BEBC,

所以△CAD∽△CBE.

所以CDCE=ACBC,

∠ACD=∠BCE,

所以∠ACB=∠ACD+∠DCB

=∠DCB+∠BCE

=∠DCE,

所以△ACB∽△DCE,

所以ABDE=ACCD,

所以AB·CDAC·BD=AC·DEAC·BD=DEBD=2.

注 由∠CAD+∠DBC=90°,作等腰直角△BDE,將∠CAD转移位置,等量代换充分利用条件得到两组三角形相似达到目的.

例2 如图2,在凸四边形ABCD中,已知∠ABC+∠CDA=300°,AB·CD=BC·AD,证明:AB·CD=AC·BD.

解 条件AB·CD=BC·AD中的线段不是两相似三角形的对应边,难到达结论,是否可通过等量代换来达到目的呢?

由∠ABC+∠CDA=300°,

易知∠DAB+∠BCD=60°,

过点C作∠ECD=∠DAB,且CE=CB,

连接BE,DE,此时△BCE为等边三角形,可进行等量代换,

因为ADAB=CDBC,

所以ADAB=CDCE,

所以△DAB∽△DCE,

所以ADCD=BDDE,

∠ADB=∠CDE,

所以∠ADC=∠CDB+∠ADB

=∠CDB+∠CDE

=∠BDE,

所以△BDE∽△ADC,

易知AB·CD=BC·AD=AC·BD.

注 挖掘隐含条件∠DAB+∠BCD=60°,由60°联想到构造等边三角形,将线段、角等量代换后充分利用条件,得到两组三角形相似证明其结论.

方法归纳:例1中两角和为90°,可构造等腰直角三角形;例2中两角和为60°,可构造等边三角形.

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