数形结合，巧解数学难题

章茹霞

【摘要】通过探讨数形结合在不同题型难题中的应用可以看到数形结合能够达到化难为易，迅速破题的良好效果.为更好的提高运用数形结合解答初中数学难题的能力，一方面，注重与数形结合相关知识的总结，认真分析初中数学哪些知识点与数形结合思想有关联，提高数形结合思想应用意识.另一方面，做好经典例题的学习，认真揣摩相关难题的解题思路，同时积极开展专题训练活动，积累丰富的数形结合思想应用经验，不断提升应用能力与应用技巧.

【关键词】数形结合;初中数学;解题思路

1 用于解答几何图形难题

例1 如图1，平面直角坐标系中，点A、B分别在原点两侧，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式为y=2x，则正方形ABCD和正方形OEFG的面积之比为（）.

（A）4：3.（B）8：5.（C）16：9.（D）9：4.

解 由图可知，∠GBO=∠FGO=90°，所以∠GOB+∠OGB=90°，∠FGC+∠OGB=90°，所以∠GOB=∠FGC，因为∠C=90°，OG=FG，所以△GOB≌△FGC，所以FC=BG，CG=OB，设OB=x，GB=y，则HF=OB-FC=x-y，CB=x+y，F点的坐标为（x-y，x+y），因为点F在y=2x上，所以x+y=2x-2y，所以x=3y，正方形ABCD的面积为CB2=16y2，正方形OEFG的面积为OG2=OB2+BG2=10y2，则面积之比为16y210y2=85，选择B项.

2 用于解答反比例函数难题

例2 如图2，矩形ABCD的边BC在x轴上，AB=4，AD=5，反比例函数图象y=kx和矩形交于A、E两点，沿AE折叠△ADE，点D恰好落在BC上的F点，则k的值为（）

（A）10.（B）11.（C）12.（D）13.

解 由题意可知△ADE≌△AFE，AD=AF，DE=EF，因为AB=4，AD=5，在直角△ABF中由勾股定理可得AB2+BF2=AF2所以BF=AF2-AB23，则FC=5-3=2，设EC=x，则EF=4-x，在直角△EFC中，由勾股定理可得EF2=FC2+EC2，即（4-x）2=22+x2，解得x=1.5，设点A（m，4），则E（m+5，1.5），将其代入y=kx，得到4m=1.5×（m+5），解得m=3，即A（3，4），則k=3×4=12，选择（C）项.

3 用于解答二次函数难题

例3 将二次函数图象y=x2-5x-6在x轴上方图象沿着x轴翻折到x轴下方，图象其与部分不变，得到一个新图象，若直线y=2x+b和这个新图象有4个公共点，则b的取值范围是（）

（A）-734

（B）-734

（C）-12

（D）-694

解 二次函数图象y=x2-5x-6在x轴上方图象沿着x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的二次函数解析式为-y=x2-5x-6，即，y=-x2+5x+6，在同一平面直角坐标系中画出对应二次函数以及直线图象，如图3所示.由图可知直线y=2x+b在两条直线之间移动可满足题意.

当其过（6，0）点时，b=-12;当直线y=2x+b和二次函数相切时，将y=x2-5x-6，y=2x+b联立整理得到：x2-7x-6-b=0，Δ=49-4×（-6-b）=0，解得b=-734，则满足题意的b的取值范围为-734

4 用于解答圆相关的难题

例4 如图4，△ABC内接于圆O，BC=12，∠A=60°，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于点E，当点D从B沿弧BC运动到点C时，点E绕过的路径长为（）

（A）83π3. （B）8π3.

（C）43π3.（D）4π3.

解 如图5，连接OB，设点M为OB的中点，连接ME，作OH⊥BC于点H.因为OD⊥BE，则∠OEB=90°，则点E在以OB为直径的圆上.

当点D运动到点C位置时，因为∠A=60°，所以∠BOC=120°，所以∠BOE=60°，因为MO=ME，所以∠BME=120°，因为BC=12，OB=OC，所以BH=6，∠HOB=60°，所以sin∠HOB=BHOB，则OB=43，点E运动轨迹所对的圆心角为360°-120°=240°，则路径长度为23×43π=83π3，选择（A）项.