类比思想在初中数学中的教学研究

宋志远

【摘要】类比思想既是数学基础教育综合素养的重要方面，又是不断发展学生创新性数学思维能力的重要组成部分.然而，传统的初中数学教学并没有对运用类比思想的能力给予足够的重视，存在着教师主动运用类比思想方法的意识薄弱、学生自身类比分析能力较差等问题.本文阐述了类比思想的概念以及它对于初中数学学习的重要性和意义，论述了类比思想在初中课堂教学中的应用和类型，并结合当前初中数学类比教学的现状，从教师和学生的角度探讨了培养数学类比思维能力的有效策略，以期为当前基础教育教学改革提供一定的参考.

【关键词】类比思想;初中数学;教学策略

数学是思维的体操[2].类比思想，这样一个具有广阔自由度和想象力的创造性思想，它不仅为教师提供了更丰富的教学方式，而且给予了学生更广阔的想象力的提升空间，推动师生形成学习共同体，一起探究全新的知识概念，探寻多样的解题思路，探索美妙的内在规律.类比思想在初中数学中有着广泛的应用，类比有着可以使数学教学更容易、更形象、更生动的魅力，有利于培养学生的创新思维和自主探究能力.

一、类比思想的概述

（一）概念界定

从两个或两类对象具有某些相似或相同的属性的事实出发，推出其中一个对象可能具有另一个或另一类对象已经具有的其他属性的思维过程称为类比[4].类比思想，也可以简单地称为类比思维，被人们誉为科学活动中“指路明灯”“思想核心”.类比思想的宗旨是将抽象化的知识转化为形象化的知识，将新知识转化为旧知识，使学生可以更好地理解和接受，降低学生的学习难度，使学生克服畏難心理，提升学习兴趣.

初中数学中，大量的数学知识可以应用到类比的知识与方法.例如：一次函数与正比例函数之间的类比，一元二次方程与一元二次函数之间的类比.在初中阶段，类比思想是数学学习中的一种非常重要的思想，有助于学生理解定理概念、发散思维、构建知识网络.因此，教师在数学教学中应该加强对数学类比的思想和方法的引导与渗透，在这个过程中让学生真正体会数学类比思想方法的作用与意义，从而使学生更好地理解数学并爱上学习数学，促进自主学习与创新意识的培养，构建完整的数学知识结构，形成知识网络，进而使数学学习的有效性得到提高.

（二）教学意义

当前教学理论研究和实践的热点问题之一是如何提高和评价学生数学学科核心素养和关键能力.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：明确提出四基目标与基本要求培养学生合情推理与演绎推理等能力，进一步提高数学思维能力在教学中的重要性[1].类比思维能力便是学生数学素养关键能力之一.

著名数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似.”类比思想是富有创造性的，在数学乃至所有学科中都起着关键性作用，在初中教学中的应用对于改善初中数学教学效果、促进教学方法变革及培养学生的逻辑思维能力和创新能力具有重要的意义，在教学中对促进学生探究新知识、培养学科核心素养、提高课堂教学的有效性等方面发挥着不可小视的作用[4].本文对类比思想在初中数学教学中的意义进行了研究，希望进一步促进初中阶段数学教学与学习的展开，从而提高学生的数学学习能力.

但在目前初中课堂教学的实际工作中，类比思想方法的传播和渗透却不尽人意，主要存在以下问题：（1）当前教师在课堂教学中主动运用类比思想方法的意识较为薄弱;（2）部分初中教师对于类比思想在教学中渗透的能力有待提高，部分学生表示对如何运用类比思想进行学习和解题感到无从下手;（3）通过走访调查可以发现，学生在解题的过程中对于类比思想的运用较少，自身类比分析能力较弱.目前，应试教育还未真正转化为素质教育，为了提高升学率，免不了采用“题海战术”，由于类比思维的欠缺，导致一些学生在数学学习中做了许多遍类似的题目却不自知，影响到学生数学素养的发展和提升[5].在对近年来的数学中考试题进行研究之后，我们不难发现试卷中对类比思想方法的考查比例呈上升趋势.因此，如何在初中教学实践中更好地渗透类比思想、培养学生的类比思维能力，这成为当前需要我们教育工作者深入研究的热点问题之一.

二、初中数学中类比思想的类型

类比数学思想的基本类型多种多样，依据我们理解初中类比数学的各种类比思维方式特征和各种类比自身的基本特点，可以把基本类型大致划分成以下三种类型：简化处理类比、结构优化类比、降维类比[2].

（一）简化处理类比

简化类比，即简化该问题的基本条件和结论，通过对命题进行类比，得到启示，进而寻求原命题的解决思路与方法，这一基本类型在日常的初中数学教学中应用比较广泛[4].这种类比类型可以促使数学分析方法和其他数学知识的相互关联、沟通更加有效，使解答数学问题的效率有所提高，激发学生的类比思维，进而培养学生的数学类比思维能力.

例如：已知x+y=6，xy=6，求x2+y2 .

解析：观察题目可以发现，已知式中各字母的次数为1，待求式的次数为2，这就需要我们在寻求解题思路与方法之前，先将待求式进行降次处理.

解：∵x+y=6，∴（x+y）2=36，

∴x2+y2+2xy=36，

∴x2+y2=36-2xy.

∵xy=6，

∴x2+y2=36-12，

∴x2+y2=24.

在充分运用传统数学理论和思想方法解题的过程中，应多注意观察式中已知项与未知项之间的联系，将需要求解的问题与已知条件加以对照，并进行多角度、多方位的综合联想，从已知条件中寻找相似之处，以便对数式的整体框架结构、解题的思路和方法、问题分析及结论等做到进一步的推迁、延伸，最终得出正确结论[3].简化处理类比有利于学生发散思维，根据所学的知识类比陌生的新知识，有利于培养学生举一反三的问题意识.

（二）结构优化类比

结构优化类比相较于简化处理类比，对类比层次的思维有一些更高的要求，因为它没有现成的类比所要解决的问题，但这并不意味着它不能被恰当地运用，需要我们仔细观察，严格地进行逻辑推理.根据物品的性质和定义类比分析，基于已知问题的结构相似性，以适当的类比元素取代，最后从最初的问题类比转换到另一个问题.这种类型在数学类比思维方法的应用上是非常广泛的，特别是在数与形相结合的问题上，解决问题是非常有效的[5].

例如：c2+d2通过结构类比可以将其巧妙转化为以下三种问题：

（1）直角三角形中的斜边长;

（2）直角坐标系中的两点间距离;

（3）根式中的算术平方根形式[3].

再如：在学习中心对称图形后，教师可以引导学生用表格形式呈现中心对称图形与轴对称图形的异同点，以及中心对称与中心对称图形的区别与联系.

（三）降维类比

当我们深入研究一个特定高纬度地区的几何设计问题时，可以首先研究和帮助设计一个类似的和一个相对维度较低的几何问题，或将原问题直接转化为维度较低的问题，对其解进行分析，从而使几何抽象问题变得更加具体和简单，然后采用各种数学方法来解决后者，或是尝试充分利用从中获得的研究结论，来帮助分析和设计解决原来那个维度相对较高的几何问题，我们将这种方法称为降维类比[2].它在立体几何中应用比较广泛.

例如：一只蚂蚁从放在桌面上的实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点G处，其中AB=4，BC=2，BF=1，求蚂蚁爬过的最短距离是多少.

分析： 要求蚂蚁爬过的最短距离，我们需要把立体图形展开成平面图形，找到起点和终点，然后根据“两点之间，线段最短”连接两点，进而找到最短路径.这样就将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中利用勾股定理求斜边长的问题.由于展开有多种情况，所以我们要分情况讨论A到G的长度.

解： 第一种情况： 当蚂蚁行走正面和右面时，AG=62+12=37.

第二种情况： 当蚂蚁行走正面和上面时，AG=42+32=5.

第三种情况： 当蚂蚁行走左面和上面时，AG=52+22=29.

因为5<29<37，所以蚂蚁爬过的最短距离为5.

求一只蚂蚁在一立方体上两个相对应的顶点之间爬行时的最短距离[4]，许多学生面对这种问题，都表示有一定难度，无从下手.这时，我们就可以通过运用降维类比的方法将此问题进行简化，把它转移到平面几何当中，就变成了在矩形中求两个相对应顶点之间的距离问题.因此，教师在课堂教学的过程中，应指导学生尝试把抽象问题进行转化，使其变得更加简单与具体，通过点拨引导学生主动参与到探究研讨的过程中——提出问题、分析问题、设计解决方案、得到结论、检验证明，帮助他们树立起学习几何的信心[5].

三、培养学生类比思维能力的有效策略

类比思想是数学思想中的核心内容之一，它能促进学生类比思维能力的培养和形成，促进核心学科素质的培养和确立.然而，在当前的数学教学中，对于教学方法的运用，教师缺乏灵活性，学生学习的积极性与主动性不高，类比思维能力的提高可能会受到不同程度的影响，因此我们不妨试着从老师、学生两个角度對培养学生类比思维能力的有效策略展开探讨[2].

（一）学生角度

在整个数学课堂的学习中，学生处于重要的主体性地位，一切教学活动都应围绕学生展开.因此，从学生的角度出发，可以采取以下措施培养学生的类比思维能力.

1.指导学生自主调整优化学习方式

“再创造活动”“积极的心态”“同化新的知识”等每个关键词都无不透露出学生主观能动性的重要价值.类比思想的运用是一种思维层级比较高的精神活动.如果学生以一种积极进取的态度投入数学学习，类比思想自然不会是拦路石，而是成为一种帮助学生有效促进理解与把握新知识的数学工具[4].

2.学生培养自身类比思维能力的有效策略

俗话讲得好，“授人以鱼，不如授人以渔”.学生必须在思想上重视类比思想方法，才会在学习过程中运用.学生在课堂上倾听教师运用类比思想方法分析和解答复杂的数学问题，只是接受了教师所给予的“鱼”，而非真正能够帮助解决他们困难的“渔”.只有掌握了“渔”，也就是数学类比思想方法，才能熟练掌握这种类型题目的知识点，从而提高自身类比思维能力，这一点是根本，也是关键[2].

（二）教师角度

教师作为课堂教学的组织者，在教学活动中有着“引路人”等重要作用，因此，教师要在准确理解和把握学生认知规律的同时，积极采取切实可行的方法措施来帮助学生提高数学类比思维能力[3].

1.正确把握运用类比思想方法进行教学的有效时机

首先，在新课开始前应用：教师可以通过创设情境，例举已经学过的知识点或学生身边熟悉的案例来导入一堂新课.其次，在重难点环节应用：教师可以运用各种手段，花费大量时间进行深入分析与说明，力求帮助学生正确地理解和把握，训练学生的数学思维.例如：相似三角形与全等三角形之间的关系，二次函数与一次函数的联系，均可以采用类比的思想去进行课堂教学.最后，在课堂结尾应用这一思想方法，趣味犹存，令人回味.

2.改变传统的教学模式，积极开展类比教学

新课程标准颁布后，不同版本的教材出现在教学前线，知识结构呈现出简单化的趋势.然而，考试的题目越来越复杂，这就导致教师在传授教材内容的同时，尽可能多地为学生补充基础知识，在教学过程中出现这样的现象：不管学生认知的规律是什么，知识都被强加在每个学生身上.实际上，在教学实践中，这种类比思维方法适合恰当地切入一些知识点的归纳，才有利于训练学生思维，但是由于害怕浪费时间，许多教师都是点到为止.例如：在讲解一元一次不等式组时，教师可以先引导学生回顾不等式及其解集、不等式的性质、一元一次不等式等以往学过的知识点，用类比的思想来引导学生思考新旧知识点之间的关系.新课结束后，教师再将新旧知识点进行对比，这样不仅可以帮助学生更好地掌握新知识，也可以使学生形成关联记忆.因此，教师应改变过去“满堂灌”的教学模式，在时间分配合理的基础上，注重类比思想方法的渗透，提升教学的有效性，培养学生的类比思维能力[3].

四、结 语

类比思想对培养创新人才具有重要的意义[2].在当前教育形式的发展趋势下，初中阶段的教师一定要认识到传统教学方式所带来的弊端，要运用现代化教育思想、教育手段来保证教学效果，为学生构建一个高效生动的数学课堂，在课堂教学中有效渗透类比思想，引导他们对数学概念知识点进行“再创造”，让学生“像数学家一样思考数学”，并在其中学会创造性地应用数学，提高举一反三的解题能力，从而促进数学课堂教学的高效开展，提高学生的类比思维能力，培养新时代创新型数学人才.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

[2]王培甫.数学中之类比[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]松万军.浅谈初中数学类比思想的教学策略[J].课程教材教学研究（中教研究），2009（Z6）：45-46.

[4]姜海平.渗透类比思想方法 培养学生数学思维[J].文理导航（中旬），2015（8）：7.

[5]王洁.中学数学教学中类比思想的培养[D].武汉：华中师范大学，2008.