基于符号意识培养学生建模能力的有效路径探寻

[摘  要] 数学符号是数学的基本语言，数学建模是核心素养重要维度. 基于符号意识培养建模能力对促进学生核心素养的生成具有重要作用. 解读符号意识与数学建模的作用，以“用数学眼光看问题”的教学为例，探寻基于符号意识培养学生数学建模能力的有效路径. 在不断渗透符号意识的同时，培养学生用数学符号进行数学建模的关键能力.

[关键词] 符号意识;建模能力;初中数学

新课标指出，数学学科核心素养涵盖数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析，数学建模是数学学科核心素养的重要维度. 数学符号是数学的基本语言，其包括数字、字母、关系式等，具有抽象性、明确性与简略性特点. 在解决实际问题时，需要学生抽象出符合实际问题的数学模型，然后以数学符号为载体剖析数学问题，进而实现问题的解决. 基于此，在教学中教师应重视培养学生的符号意识，提高学生数学建模的能力，把实际问题转化为数学问题加以分析与解决.

解读符号意识在建构模型中的作用

数学符号是数学的抽象，是人们根据生活实践，抽象生活实践而形成的结果. 数学建模是解决实际问题的有效手段，其离不开数学符号进行表达、运算与逻辑推演[1]. 因此，培养学生的符号意识与建构数学模型的能力对促进学生核心素养的生成具有重要作用.

（一）符号的表示：抽象数学对象

符号在抽象数学中的作用表现在三个方面：一是表示数，在不便于说出具体数值时，可以用字母代替. 如在失物的招领启事中，可以写张三同学捡到人民币n元，意思是学生捡到了一定数量的人民币;二是表达数量关系，通过字母表示数量关系可以更让人通晓明白. 如一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿……那么n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿;三是表示事物的发展规律，如函数的解析式表达、表格表达、图像表达，呈现了事物的发展变化规律，体现了数形结合、转化与化归的思想.

数学学习总是由易到难、由浅入深，用符号去表达数、数量关系与描述变化规律时，也经历了由低级到高级，从具体到抽象的过程. 教学中向学生渗透符号表示数学对象作用，有利于为学生建构数学模型做好有效的铺垫.

（二）符号的价值：逻辑运算与推理

数学活动的基本形式是数学运算与数学推理. 解决数学问题的第一步是用符号表示数、数量关系或者变化规律，第二步是数学运算与数学推理. 需要注意的是数学运算与推理必须以合乎逻辑的法则为遵循. 目前，在数学课堂中，学生能够自觉使用数学符号进行运算与推理的能力比较弱，教师应以符号为媒介进行关系转换，合情推理，在演绎推理与模型抽象中培养学生模型的构建能力，只有这样，才能使学生以合理的数学模型去解决实际问题[2].

（三）符号的运用：数学思考的重要特征

仅仅有符号意识还不够，会用符号去进行数学思考与表达才是关键. 在解决实际问题时，离不开数学思考与表达，而只有借助符号的思考与表达才是最有效的，才能超越数学对象的具体属性，从更一般的角度进行逻辑推演，使结果更为严谨，同时也保证了数学方法的操作性与通用性[3].

基于符号意识培养学生建模能力的教学实践

新课标提出，数学教学就是概念、命题与公式的教学，要培养学生的符号意识，在实际情境中引导学生理解符号，理解符号表达式的意义，从而让学生学会根据实际情境抽象符号[4]. 实际上学生发现与提出问题、分析与解决问题的过程就是符号的抽象与表达，然后是运用符号运算与推理的过程. 经历这一过程，有利于学生积累数学活动经验，有利于提高学生的符号观念，有利于培养学生数学建模的本领. 基于此，笔者设计了“用数学眼光看问题”这一课，帮助学生如何把实际问题转化为数学问题，培养学生的符号意识与建模能力.

教学目标  （1）理解用分式表示盐水浓度;（2）能用分式表示鹽水浓度的变化;（3）体验从生活中构建模型的过程，培养学生运用符号建构模型的能力.

教学难点  构建数学模型.

教学过程

环节一：从数学的角度看待生活问题.

问题1：一杯盐水，如果加的盐比较多，盐水就比较咸，即盐水的浓度比较大;如果加的盐比较少，盐水就比较淡，即盐水的浓度比较小. 那么，如何准确表示盐水的咸淡程度呢？

让学生先独立思考再合作交流后，师生共同归纳出盐水浓度可表示为：

问题2：如果继续给杯中的盐水加盐，那么盐水的咸度将发生怎样的变化？你能用数学方法描述你的感觉吗？

学生独立完成，归纳：加盐之后盐水变咸的原因是盐水的浓度变大.

设计思路  从生活中的实际问题出发，让学生去发现盐水的浓淡与盐的质量、与盐水质量的比值有关，用字母分别表示盐的质量与水的质量，建立起分式数学模型. 在这一过程中，学生经历了符号的抽象与表达的过程，培养了符号意识.

问题3：对于分子与分母都是正数的分式，当它的分子与分母都加上一个正数，那么分式的值将作如何变化呢？

生：设原分式为（a>0，b>0，且a<b），分子与分母都加上一个正数之后，得，要比较大小，可以用作差法，即-==. 因为c>0，b>a，所以>0，所以->0，所以>.

问题4：试用数学的方法说明当盐水加了水之后，盐水就变淡了.（学生独立完成，同伴互查）

设计思路  学生经历了用符号表达盐水变浓或变淡的过程，用符号进行了符合逻辑的运算与推理，把盐水的浓度转化为分式，把盐水浓度变大或变小转化分式的减法运算，强化了学生的符号意识，培养了学生建构数学模型的能力.

环节二：探究两杯盐水混合的问题.

问题1：现有两杯浓度不同的盐水，一杯比较浓，一杯比较淡，当它们进行混合后，你的口感如何？如何用数学的形式表示这种口感呢？

教师引导分析：比較浓的盐水如何用分式表示？比较淡的盐水如何用分式表示？混合后的盐水浓度与什么有关呢？

问题2：在上面问题中，两杯水混合所得盐水的浓度是不是它们的平均浓度呢？

教师引导分析：让学生用特殊值尝试解决，发现规律后用分式进行探究.

设计思路  经过数学抽象，学生可以感受到：关于盐水的浓度问题就是分式的值的问题，当比较两杯盐水的浓度时，就是要使用分式的加减运算进行推演.符号的运算过程超越了盐水问题具体的属性，用特殊值进行猜想计算，再使用符号运算推理，培养了学生用符号进行数学表达和思考的思维品质.

环节三：探究盐水中一个结论.

问题1：将一大杯盐水分别倒入三个小杯中，那么大杯中盐水浓度与小杯中盐水的浓度有何不同呢？

学生思考后，教师归纳得到比例的一个重要性质，即等比性质：如果===，那么=.

设计思路  学生根据自己的生活经验，很容易理解大杯中的盐水分别倒入小杯后，大杯与小杯的盐水浓度是一样的，但是教师要引导学生把生活经验转化为符号表达式.学生发现当分式的分子与分母以相同的比例变化时，分式的值也不变，这是分式的基本性质，同时也推导出比例的一条重要性质，即等比性质.这样的教学使学生进一步感受到符号作为媒介的数学表达形式的价值所在.

环节四：整理与归纳.

刻画盐水的浓淡，我们使用了数学的方式，即从数学的视角观察世界.其实在数学学习中不乏这些事例，如用来描述速度的快慢;用来描述电流的大小.同学们要逐渐养成用数学方法描述生活现象的意识.

总之，世界上的一切都是简单的，用逻辑关系的数学表达，其为基于符号意识的建模能力培养提供了可靠的理论依据.培养学生核心素养背景下，教师应基于符号意识，提高学生运用符号推演解决实际问题的能力，在不断渗透符号意识的同时，培养学生用数学符号进行数学建模的关键能力.

参考文献：

[1]王光盛. 基于数学核心素养培养初中生符号意识[J]. 中学教学参考，2021（30）：33-34.

[2]孙凯. 初中数学建模活动的内容设计与组织原则[J]. 教学与管理，2021（22）：46-48.

[3]刘海霞. 初中数学教学中学生建模能力的培养策略[J]. 新课程评论，2021（06）：85-92.

[4]范连众，孔凡哲. 对指向学科核心素养的初中数学教科书的理解——以“整式的加减”为例[J]. 辽宁教育，2017（19）：7-10.

基金项目：江苏省教学研究课题“基于省监测数据分析的初中生数学关键能力提升的策略研究”（课题编号：2019jyktzd-13）;泰州市中小学教学研究课题“基于监测数据分析的初中生数学学科素养提升的策略研究”（课题编号：TZJYZD2019-058）.

作者简介：蒋乐（1981—），硕士研究生，中学高级教师，从事初中数学教学研究和教育教学管理工作.