结构化：初中数学教学研发设计之实务

葛烨

[摘  要] 结构化教学要求教师在教学中要树立“结构化教学观”，拥有一种清醒的结构化教学意识. 在初中数学教学实践中，教师要站在知识的整体、结构高度进行数学教学研发与设计，要立足“高点”，促进“迁移”，引领“重构”，从而帮助学生构建知识结构、学习结构和认知结构. 实施结构化教学，能让学生的数学学习焕发出生命活力.

[关键词] 初中数学;结构化学习;教学研发;教学设计

著名数学教育家斯蒂恩说得好，“数学应被看成是一种结构性科学”. 在瑞士教育心理学家皮亚杰看来，“结构就是一个系统、一个整体、一个结合”. 初中数学知识同样也是一个不可分割的整体，它的生命力同样取决于知识各部分之间的关联. 作为教师应当秉持“高观点”，站在知识的整体、结构高度进行数学教学研发与设计，结构化、整体化的教学研发设计是初中数学教学研发设计之实务.

立足“高点”，构建知识结构

“高观点”是著名数学教育家克莱因的观点，在克莱因看来，“我们理解初等数学问题一定要立足于高观点. 只有观点高了，知识才能变得简单而明了”. 数学知识是普遍关联的，从结构视角来看，数学知识是一个结构化整体. 立足于“高觀点”，构建知识结构，能让学生在数学学习中举一反三、触类旁通、以简驭繁. 构建知识结构，要求教师在教学设计中要居高临下、瞻前顾后，将相关的数学知识“拎”起来、“串”起来、“立”起来，从而让数学知识“连成线”“形成片”“织成网”.

初中数学学科知识不是概念、知识点的简单堆砌，而是一个有机的整体. 正如皮亚杰所说：“全部的数学都可以按照结构的建构来考虑. ”比如锐角三角函数知识，包括正弦、余弦、正切等，都与“相似三角形”“全等三角形”以及“勾股定理”等存在着密切的关联，教学中教师要让学生感悟这些密切的关联. 这是因为，这些锐角三角函数在研究方法和特征上都有着内在的一致性，可以实施整体性、结构性教学. 构建知识结构，不仅要求教师引导学生认识数学知识基本关系，更要将相关的解决问题的策略融入、渗透其中，从而能让学生感悟到锐角三角函数的本质. 比如在引导学生解决锐角三角函数相关问题中，可以引导学生在非直角三角形中构建直角三角形;比如可以引导学生设定相关未知数建立方程求解等. 通过结构化教学，学生就能深度理解以直角三角形边角关系为主线的锐角三角函数. 构建知识结构，不仅要将相关的数学知识勾连起来，而且要引导学生通过诸多下位知识建构上位知识，从而聚合成“高观点”. 这样的“高观点”，对于学生来说才是“一生有用的数学”.

立足“高观点”构建知识结构，要求教师以“建构”为核心，以“关联”为抓手，以“认知”为导向. 为此，教师应当用系统化、结构化的眼光、大脑解读教材，并对教材内容做出科学的、适度的调整. 构建知识结构，还能让学生形成数学“核心观念”与认知，进而通过知识结构建构思想结构、方法结构. 结构化地研发、处理数学课程，能对学生数学学习发挥一种“四两拨千斤”的功效.

促进“迁移”，构建学习结构

结构化的初中数学教学，包括“学结构”和“用结构”的两个阶段. 这两个阶段的学习，能赋予学生更大、更广、更强的创造可能性. 在“学结构”阶段，重点是让学生掌握数学知识结构;在“用结构”阶段，重点是让学生进行“学习迁移”. 学生的数学学习迁移，有“正迁移”和“负迁移”. 结构化学习就是要促进学生的“正向迁移”. “正向迁移”关键就是要促进学生数学学习的心理同化与顺应. 当数学新知能有效纳入学生已有认知结构时，就发生了心理同化;当数学新知不能有效纳入学生的已有认知结构时，学生的原有认知结构就必须顺应新知. “同化与顺应”是学生数学知识学习的重要心理机制. 通过“同化与顺应”，学生的认知心理从“不平衡”走向“平衡”，又从“平衡”走向新的“不平衡”.

比如教学“相似三角形”这部分内容，教师可以先引导学生复习“全等三角形”相关知识，比如“怎样的两个三角形全等”“全等三角形有怎样的性质”“全等三角形的判定定理是什么”等. 由于“全等三角形是一种特殊的相似三角形”，因此学生会提出相关的问题，诸如“怎样的两个三角形相似”“相似三角形有怎样的性质”“相似三角形的判定定理是什么”等. 由于有了“全等三角形”的相关学习经验，学生在学习“相似三角形”时能积极地类比，进而对“相似三角形的性质”“相似三角形的判定”等提出相关的猜想. 诸如“相似三角形对应角相等、对应边成比例、对应线段的比等于相似比、面积比等于相似比的平方”“三角形的两角对应相等，两个三角形就相似”“三角形的三边对应成比例，两个三角形就相似”“两个三角形的两条边对应成比例并且夹角相等，两个三角形相似”等.

促进学生的“正向迁移”，能有效地构建学生的学习结构. 显然，结构化教学视野下的“教”是为了后续的“少教”甚至“不教”. 在促进学生同化与顺应性的数学结构化学习过程中，教师要坚守“学生已会的内容坚决不教”“学生能够自主学会的要少教”“学生难以学会的要努力地精教”. 具体而言，在教学“全等三角形”时，教师要着力鼓励学生猜想、验证，对相关全等三角形的性质、判定定理等实施整体性教学. 在这个过程中，重点引导学生掌握“猜想—验证”的学习方法，这是一种科学、有效的学习方法，对于学生学习“相似三角形”等相关知识具有重要的作用. 不仅如此，这样的一种“猜想—验证”式的学习方法，对于学生后续的数学学习，对于促进学生数学学习生活的可持续性发展都具有重要作用.

促进“正迁移”，构建学生学习结构，要打破数学教材的固化结构，处理好学生数学学习中的“多”与“一”“特殊”与“一般”“表”与“里”的关系. 对“教材”进行再建构. 要从数学知识体系、思想方法等视角，对相关内容进行重组、整合. 对数学教材进行二度开发，有助于调动学生数学学习的积极性，增强学生数学学习的能动性，发掘学生数学学习的创造性.

引领“重构”，构建认知结构

结构化教学的根本目的不仅仅在于构建知识结构，更在于完善學生的认知结构. 完善学生的认知结构，就能引导学生进行结构化的思维、认知. 而当学生形成了结构化的思维、认知，学生就能从“学会”转向“会学”，从“会学”转向“慧学”. 作为教师，要不断地引导学生进行自我认知结构的重构. 为此，教师要努力让自己的教学从“课时”转向“单元”、从“割裂”转向“关联”、从“散点”转向“统整”、从“无序”转向“有序”.

比如“函数思想”是初中阶段最为重要的数学思想，学生对于函数思想的感悟不是一朝一夕所能形成的. 在初中数学教学中，对于函数思想教师是不能采用“灌输”“告诉”等直白的方式进行教学的，而必须采用逐层渗透、逐步融入的方式. 教学中，教师要不断地对学生的认知结构进行丰富、补充、完善. 比如学生在小学阶段就已经学习了正反比例，而正反比例就是函数思想方法的萌芽，是函数思想方法的最初显现. 进入七年级后，学生开始学习相关的“一元一次方程”“二元一次方程”等，这些知识都是学生进行函数解析式分析的基础. 进入八、九年级，学生开始系统学习“正比例函数”“一次函数”“二次函数”“反比例函数”等. 尽管这些知识的表现形态不同，但却有着相同的本质和学习路径. 比如，这些函数都需要围绕图像深入探讨“增减性问题”“最值问题”等，都需要运用一些常用的方法，比如“画图法”“公式法”等. 这些贯穿学生函数学习始终的“问题”和“方法”，能最终凝练为学生的认知结构，积淀为学生的数学素养. 在教学中，教师应当对这些内容进行综合链接，优化这些知识的架构，从而引导学生在学习数学知识的过程中，不断完善自身的认知结构.

引领学生认知结构的重构，需要教师站到数学“高观点”的视角，站到数学思想方法的高度，对学生的相关数学知识进行整体布局，从而把握数学知识的纵向发展，这是一种线性结构;把握数学知识的横向关联，这是一种非线性结构. 在这个过程中，学生会对自我的认知结构进行积极主动的调整，从而能对自我原有的固化的认知结构形成有效突破，使自身的认知结构能够得到重组、创新.

结构化教学，要求教师在教学中要树立“结构化教学观”，拥有一种清醒的结构化教学意识. 在初中数学教学实践中，教师要有意识地对相关的数学知识进行纵横关联，同时要深入了解学生具体学情. 只有这样，才能有效地实施结构化教学，让学生的数学学习因为结构而焕发出生命活力. 结构化教学，不仅能提升教师的教学力，而且能提升学生的学习力，增强学生数学学习效能，让学生的数学学习更全面、更深入、更清晰、更合理！