初中数学解题思路举例

朱建军

【摘要】解决数学问题，除必须掌握有关数学内容的基本知识外，还必须掌握一定的解题思路与技巧。本文通过具体举例的方式阐述初中数学解题思路，以供广大同行参考。

【关键词】初中数学;解题思路;因式分解

例1 若x3+4x2-7x+m有一个因式是x+1，求m的值并因式分解.

解

方法1 设另一个因式为x2+ax+m，

（x+1）（x2+ax+m）=x3+（a+1）x2+（m+a）x+m，所以a+1=4，m+a=-7，所以a=3，m=-10，所以x3+4x2-7x-10=（x+1）（x2+3x-10）=（x+1）（x-2）（x+5）.

方法2 令x+1=0得x=-1，

代入x3+4x2-7x+m=0，

得 -1+4+7+m=0，m=-10，

x3+4x2-7x-10=x2（x+1）+3x（x+1）-10（x+1）=（x+1）（x2+3x-10）=（x+1）（x-2）（x+5）.

例2 如图1，在△ABC中，D为BC上一点，已知AD平分∠BAC.求证：ABAC=BDCD.

解

方法1 过点D作DE∥AC交AB于点E，

所以BEAE=BDCD，BEAB，BEAB=DEAC，

所以BEDE=ABAC，

因为AD平分∠BAC，

所以∠BAD=∠CAD，

因为DE∥AC，

所以∠CAD=∠ADE，

所以∠ADE=∠BAD，

所以DE=AE，

所以BEAE=ABAC，

所以ABAC=BDCD，

方法2 过点D作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G.

因为AD平分∠BAC，所以DE=DF，

因为S△ABD=12AB×DE=12BD×AG，

S△ACD=12AC×DE=12CD×AG，

所以S△ABDS△ACD=ABAC=BDCD.

方法3 过点B作BE∥AC交AD延长线于点E.

因为BE∥AC所以△BDE∽△CDA，

∠E=∠CAD，

所以BDCD=DEAD=BEAC，

因为AD平分∠BAC，

所以∠CAD=∠BAD，

所以∠E=∠BAD，

所以AB=BE，

所以BDCD=ABAC.

例3 如图3，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=nx（n≠0）的图象交于A、B两點，与x轴交于C点，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（4，m）.1求该反比例函数和一次函数的解析式;2连接OB，求△AOB 的面积;3在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

解 1将A（-2，3）代入y=nx，

得m=-2×3=-6，所以反比例函数的解析式为y=-6x;将B（4，m）代入y=-6x，得4m=-6，

解得n=-1.5，所以B（4，-1.5），将A（-2，3）和B（4，-1.5）分别代入

y=kx+b（k≠0），得-2k+b=34k+b=-1.5，

解得k=-34b=32，所以所求的一次函数的解析式为

y=-34x+32.2当y=0时，-34x+32=0，

解得 x=2，所以C（2，0），所以S△AOB=12OC×|yA-yB|

=12×2×92=92.3存在.过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图4，设P点坐标为（a，0）.

①当∠APC=90°时，

P1为（-2，0）.

②当∠PAC=90°时

AP2+AC2=PC2，即（a+2）2+32+42+32=（a-2）2，

解得a=-174，

所以P2点的坐标为（-174，0），

所以满足条件的P点坐标为（-2，0）、（-174，0）.