例谈待定系数法在解答题中的运用

马启荣

我们在确定两个变量间的函数关系时，一般是先用未知数表示关于变量的关系式，然后再根据其它條件来确定这些未知数的方法叫做待定系数法.它其实质是方程思想的体现，即通过赋值建立方程（或方程组），然后再解方程（或方程组）求得未知系数.那么什么情况下可以采用待定系数法求解问题呢？主要就是考察待求解的数学问题中，是否含有某个表达式恒成立的情况，如果具有，就应该用待定系数法试试.下面根据几个特殊题目类型举例介绍待定系数法的巧妙运用，供读者朋友参考.

1 求函数表达式

例1 已知f（x）是二次函数，且有f（-1）=0，且对任意x∈R都有x≤f（x）≤12（x2+1）成立，求函数f（x）的表达式.

解析 由于f（x）是二次函数，可设f（x）=ax2+bx+c，又对任意x∈R都有x≤f（x）≤12（x2+1）成立，令x=1得1≤f（1）≤1，故只有f（1）=1，即a+b+c=1;又f（-1）=0，即a-b+c=0.联立得a+c=12，b=12;则f（x）=ax2+12x+12-a，又f（x）≥x恒成立，则f（x）-x≥0即ax2-12x+12-a≥0恒成立，所以a>0，且△=（12）2-4a（12-a）≤0，即（a-14）2≤0，故a=14，b=12，c=14，所以f（x）=14x2+12x+14.

评注 根据题意建立含参数的二次函数表达式，然后利用特殊值进行验证获得了f（1）=1这一隐含信息，得到了关于系数a、b、c的一个关系式，为后续成功解题奠定了坚实基础.

2 求三角函数解析式

例2 若函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，-π2<φ<π2）的最小值是-2，周期为2π3，且它的图象经过点（0，-2），求此函数的解析式.

解析 由于函数的最小值是-2，则A=|-2|=2.又函数的周期是2π3，则有2π3=2πω，解得ω=3.而函数的图象经过点（0，-2），将x=0，y=-2及A=2代入y=Asin（ωx+φ）得-2=2sinφ，sinφ=-22.由于-π2<φ<π2，于是φ= -π4.故所求函数的解析式是： y=2sin（3x-π4）.

评注 若已知函数y= Asin（ωx+φ）的部分图象或给出函数图象的有关特征来求函数解析式，只需确定待定字母A、ω、φ的值就行了.一般地是根据条件先求出A、ω，然后再用特殊点代入求出φ.

3 求不等式中的参数范围

例3 已知二次函数f（x）=ax2+bx，若满足不等式1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，试求f（-2）的取值范围.

解析 在已知条件中的两个不等式都是关于二次函数系数a、b双向不等式，而待求的f（-2）=4a-2b也是与系数a、b相关，所以整体地处理a、b的关系是合理的思考.由1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4得：1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，且f（-2）=4a-2b，于是可设4a-2b=m（a-b）+n（a+b），则m+n=4-m+n=-2m=3n=1，即f（-2）=4a-2b=3（a-b）+（a+b），将上述两个关于a-b、a+b的不等式整体代入并相加可得5≤f（-2） ≤10.

评注 此解法灵活地运用了待定系数法，成功地使用f（1）和f（-1）整体地表示出f（-2），这样就避免了用不等式相加导致范围扩大的错误.

4 求数列的通项公式

例4 设数列{an}满足a1=1，an=12an-1+2n-1 （n≥2），求通项公式an.

解析 设bn=an+An+B，则an=bn-An-B，an-1=bn-1-A（n-1）-B，代入已知式得bn-An-B=12[bn-1-A（n-1）-B]+2n-1，即bn=12bn-1+（12A+2）n+（12A+12B-1），令12A+2=0且12A+12B-1=0，得A=-4，B=6，所以bn=12bn-1且bn=an-4n+6，当n=1时，b1=a1-4×1+6=3，故{bn}是首项为3，公比为12的等比数列，即bn=3·（12）n-1，由此得an=3·（12）n-1+4n-6.

评注 通过有目标的构造新的数列，引入待定字母系数，然后经过变形与对比建立起含待定字母的方程组，再求出相应字母系数的值，使问题迎刃而解.

5 确定复数的表达式

例5 已知x，y为共轭复数，且有（x+y）2-3xy=4-6i，试求满足条件的复数x，y.

解析 设x=a+bi（a，b∈R），依题意有y=a-bi，则x+y =2a，xy=a2+b2，代入已知式得，4a2-3（a2+b2）i=4-6i，根据复数相等的充要条件得4a2=4-3（a2+b2）=-6，解方程组得a=1b=1，或a=1b=1或a=1b=-1或a=-1b=1或a=-1b=-1，所以满足条件的复数x，y为：x=1+iy=1-i或x=1-iy=1+i或x=-1+iy=-1-i或x=-1-iy=-1+i.

点评 在复数问题中，若含有等式的条件，并且未知数是复数，必须通过设复数的代数式并代入，再分离出等式中的实部和虚部，利用复数相等的充要条件建立等式求解.

6 求导数题中的参数范围

例6 已知函数f（x）=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点.若当x∈[1，3]时，f（x）-a2>23恒成立，求a的取值范围.

解析 （Ⅰ）由于f′（x）=x2-2bx+2.因为x=2是f（x）的一个极值点，所以x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得b=32.所以f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2），当x∈（1，2）时f′（x）<0，x∈（2，3）时f′（x）<0，所以f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增.所以f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 （-1，3）.若当x∈[1，3]时，要使f（x）-a>23恒成立，只需f（2）>a2+23， 即23+a>a2+23，解得 0

评注 本题解决的关键是求出所给函数的最小值，而题中给出的函数的单调性、函数的极值点和极值、函数的最值等条件就是建立含参数方程，求出参数的重要依据.

上面各例介绍了待定系数法在解决几个数学分支中的应用，只是抛砖引玉.运用待定系数法解题的基本步骤是：首先，通过设未知参数确定所求问题的解析式;然后，根据其他条件建立方程或方程组;最后，解方程或方程组求出系数，或利用其关系整体运算直接消去系数，从而使问题得到解决.