二次型理论在因式分解中的应用初探

马小然

【摘要】文章由一个具体的多项式可否因式分解的判断及如何分解的问题入手，联系二次型的理论，通过论证后，得出了对于所有n元二次多项式可否进行分解判断及对能分解的多项式进行因式分解的一般方法.

【关键词】多项式；因式分解；二次型

一、因式分解的意义及研究状况

多项式的因式分解是数学中代数式恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中，在方程、分式、不等式、三角、解析几何、积分等方面都有着广泛的应用.其重要性在于通过多项式的因式分解可以让我们从整除性的角度掌握一个多项式的各个因式，从而可以把一个比较复杂的问题化简成为若干个比较简单的问题.一般说来，因式分解的方法多种多样，没有一个固定的方法，在某种特殊情况下，即使有确定的方法，也往往由于它的烦琐而放弃使用它，这就迫使人们不得不对问题进行深入的分析和周密的思考，并采取各种机智、巧妙的方法.文章利用高等代数中所学到的二次型理论来研究多元二次多项式的因式分解问题，并试图给出可否分解的判别方法及可分解时如何求分解式的方法.

二、实际问题探究

在学习因式分解过程中，会遇到如下多项式的分解：

x2+2xy-8y2+2zx+14yz-3z2（1）

通常做法：考虑能否用提公因式法、公式法、十字相乘法、配方法、求根公式法等方法分解，结果发现采用这些方法去分解上述多项式都是比较困难的，那么这个多项式能否分解呢？怎么分解呢？

下面，我们来分析一下这个多项式，发现这个多项式实际是高等代数中的一个三元二次型，而在二次型的理论中有如下定理：

定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1.

证明 设这个二次型为f（x1，x2，…，xn）.

必要性：

设f（x1，x2，…，xn）=（a1x1+a2x2+…+anxn）（b1x1+b2x2+…+bnxn）.

①若Α=a1a2…anb1b2…bn的秩等于1，

不妨设a1≠0，则bi=kai，i=1，2，…，n，k≠0.

做非退化线性变换y1=a1x1+…+anxny2=x2yn=xn

可得f（x1，x2，…，xn）=ky21，即f的秩等于1.

②若Α=a1a2…anb1b2…bn的秩等于2，

不妨设 a1a2b1b2≠0.

令y1=a1x1+…+anxny2=b1x1+…+bnxny3=x3yn=xn

C1=a1a2a3…anb1b2b3…bn001…0000…1

则C1可逆，Y=C1X.

f经非退化线形替换X=C-11Y化为f=y1y2.

令y1=z1+z2y2=z1-z2y3=z3yn=zn

C2=110…01-10…0001…0000…1

取C=C-11C2，f经非退化线性替换X=CZ后化为f（x1，x2，…，xn）=z21-z22.

因此f的秩等于2，符号差为0.

综上所述，如果一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘

积，则它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1.

充分性：

①如果f的秩等于1，假定f（x1，x2，…，xn）=ky21，k≠0，

显然f可以分解为两个一次多项式之积.

②如果f的秩等于2，符号差为0，假定f（x1，x2，…，xn）=z21-z22，

显然f=（z1+z2）（z1-z2），则f可以分解为两个一次多项式之积.

综上所述，一个实二次型的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1，则该

多项式可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积.

通过这个定理我们可以判定（1）式能否分解，并且在定理的证明中就可以找到分解（1）式的方法，即在合同变换的同时得到一个可逆的线性变换X=CY，只要求出C的逆，将Y表示出来后代入规范型即可得到其分解式.下面以（1）式为例来说明这一方法的应用.

解 （1）式的矩阵A=1111-8717-3.

对矩阵A做合同变换：

AE=1111-8717-3100010001→1000-9606-41-1-1010001→1000-100001-13-5301323001.

取C=1-13-5301323001，

做非退化线性变换X=CY，可以使原二次型化为规范形：y21-y22.

∴ 该三元二次型的秩等于2，符号差为0，因此可以分解.

求C-1：C-1=11103-2001，Y=C-1X.

∴ y1=x+y+zy2=3y-2zy1+y2=x+4y-zy1-y2=x-2y-3z

所以（1）式可以分解为x+4y-zx-2y-3z.

三、问题的研究

对于（1）式可否分解的判断及分解至此都解决了，并且所有n元二次型

f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj，都可以用此方法进行可否分解的判断，并对可分解的求其分解式.但是如果（1）式中含有常数项和一次项时，如何判断其可否分解，可分解时又如何分解呢？

对于n元二次多项式f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixi+bn+1，其二次部分为g（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj.

如果多项式f可以分解，那么必然可以分解为

f（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn+s）（d1x1+d2x2+…+dnxn+t），

则显然g（x1，x2，…，xn）也一定可以分解并且可以分解为

g（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn）（d1x1+d2x2+…+dnxn）.

所以多项式f可以分解的必要条件就是其二次部分g（x1，x2，…，xn）可以分解，于是我们可以先解决其二次部分的分解问题.

通过采用对（1）式的方法，可以对g（x1，x2，…，xn）进行可否分解的判断，并对可分解的求其分解式.如果g（x1，x2，…，xn）不可以分解，则f不可以分解；如果g（x1，x2，…，xn）可以分解，通过采用对（1）式的方法即可求出其分解式，并且分解式可表示为：（c1x1+c2x2+…+cnxn）（d1x1+d2x2+…+dnxn），那么只要设

f（x1，x2，…，xn）=（c1x1+c2x2+…+cnxn+s）（d1x1+d2x2+…+dnxn+t）（2）

将（2）式展开与原来的f比较得到一个关于s和t的二元二次方程组，解出s和t就可以得到f的分解式，同时，如果所得的二元二次方程组无解，那么f就不能分解.

在以上关于s和t的二元二次方程组的求解中，一般情况，对于二次方程组的求解是比较困难的，但是像这种类型的二次方程组的求解并不困难，因为在这类二次方程组当中包含着二元一次方程组，我们只要解出一次方程组后，将解代入二次部分检验是否是其解即可.但是在问题的研究过程中，我们将多项式分成了两种类型来研究，并且对这两种类型的多项式的研究过程有大部分是一样的，因此我们会问：能否找到一种统一的方法呢？

其实，在对于不是二次型的二次多项式的讨论过程中，我们只考虑到其二次部分g（x1，x2…，xn），如果从整体上来看，可以将一次部分和常数部分b1x1+b2x2+…+bnxn+bn+1看成b1x1z+b2x2z+…+bnxnz+bn+1z2，其中z=1，那么f此时就可以看成一个“n+1元二次型”，采用对（1）式的方法即可对f进行可否分解的判断，并且对可分解的求其分解式.

四、结 论

至此，对于所有n元二次多项式f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixi+bn+1

可否分解的判断及分解方法都解决了，其方法为：

①如果f（x1，x2，…，xn）中没有一次项及常数项，那么该多项式本身就是一个n元二次型f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj；如果f（x1，x2，…，xn）中含有一次项及常数项，那么将该多项式看成一个“n+1元二次型”：

f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj+∑ni=1bixiz+bn+1z2，其中z=1.

②对上述二次型的矩阵A做合同变换，通过合同变换后可以得到一个可逆矩阵C，做非退化线性变换X=CY，使原二次型化为规范型，通过规范型判断出二次型的秩及符号差，从而可以判断该多项式可否进行分解.

③如果可以分解，先求C-1，然后根据Y=C-1X，将Y表示出来后代入规范型就可以得到其分解式：如果f的秩等于1，由规范形f（x1，x2，…，xn）=y21，即可得到分解式；如果f的秩等于2，符号差为0，由规范型

f（x1，x2，…，xn）=y21-y22=（y1+y2）（y1-y2），将y1+y2及y1-y2表示出来即可得到分解式.

【参考文献】

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