探析《九章算术》在初中数学中的渗透与教学建议

陈晶磊

【摘要】近年来，数学文化已成为教育关注的热点，数学文化融入中小学数学教材已经成为课程改革的重要标志.《义务教育数学课程标准2011版》中提出教材编写应体现整体性，注重突出核心内容以及内容之间的相互联系.数学文化作为教材的组成部分，通过适时介绍有关背景知识，包括数学在与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美.

【关键词】九章算术;初中数学;课程改革

本文笔者主要以中国的著名的数学著作《九章算术》为例，谈谈数学文化在初中数学中的渗透与教学建议.《九章算术》总结了秦汉以前我国在数学领域上的重要成就，是以解决生产实践中的实际问题为目的、以算法为中心的实用数学体系，一共九个章节，以问题集的形式呈现，包含246个数学问题及解决方法与答案，内容涉及算术，数与代数，几何等诸多领域[2].《九章算术》与《义务教育数学课程标准2011版》的指导思想高度一致，都是要求学生会在具体情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识、提高实践能力.下面我们具体阐述.

1初中教材中的《九章算术》

就福建省在用的三个主要版本的教材中在不同的学段都有渗透有关《九章算术》的内容，主要分布在有理数、方程、直角三角形应用章节，特别是《九章算术》中勾股章的问题，在三个版本的教材中均以问题的形式提出，而且出现的频率较高，在华师版和人教版同时出现了"葭生池中"和"折竹抵地"两个问题，在北师版中出现了"葭生池中""竹竿进门""行程问题"和"圆材埋壁"4道勾股章中的问题.具体分布如表1[4]：

从这分布可以看出，教材编写者研究了初中生的学情和教学目标，根据初中生思维具有片面性和表面性的特征，在这个阶段的数学学习重在培养学生的数感、符号感和选择方法的敏捷感，提高学生的阅读和分析能力，提出问题、解决问题的能力，建模的能力等.所以《九章算术》中的选例都和以上方面密切相关，在让学生感受数学文化的同时培养数学感觉，提高数学能力.

2中考试题中的《九章算术》

近两年中考数学中的《九章算术》考察点主要以数与代数、图形与几何为主，主要选自第七章盈不足、第八章方程和第九章勾股[5]，而且应用性逐年提升，下面我们一起通过几道今年的中考题感受一下.

例1

例2

分析本题出自《九章算术》第九章勾股第，是一道典型的垂径定理应用的综合题，在考察方程思想的同时，还考察了勾股定理、垂径定理.解题的关键点在于从实际问题中抽象出圆的数学模型，再运用垂径定理和勾股定理列方程解决问题.难度较例1类型题略有提升.简要解答过程如下：

解

例3我国传统数学名著《九章算术》记载："今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？，译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数5个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

（1）笼中雞、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元2021黄石）

分析"鸡兔同笼"问题是一道非常经典的数学问题，今年黄石用了一种创新的方式考察，通过变式结合了不等式和一次函数的考点，而且以解答题的形式呈现，是这些年来综合性最强的一类数学文化题，考察学生的综合能力，难度比前两道例题类型都大.从本题的出题方式和意图，提醒我们老师在教学中更多地要教会学生各个数学工具的作用，培养解决问题的能力，让学生会懂得选择适当的数学工具解决问题.

具体解答过程如下：

解

3《九章算术》第九章详细解读

《九章算术》在教材中的分布以及中考题中考察内容，可以看出第九章，勾股章在教材中渗透比例较大，综合性较强.因此笔者特别去学习分析了一下《九章算术》第九章.实际上《九章算术》每个章节的编写有异曲同工之处.

第九章勾股章专门讨论有关直角三角形的问题，一共有24问.虽然有24问，但归类一下可只分为四类问题.其中1-3问是勾股定理a2+b2=c2的三个变式公式的简单应用，也就是勾、股、弦知二求一问题.4-14问都是利用勾股定理解决实际生活中的实例，其中4、5两题是勾股定理的直接应用，6-14是要通过设元，利用勾股定理建立方程来解决问题，被三个版本教材引用的5个问题中都选自6-14问，就是这里的第"葭生池中，，第13问"折竹抵地，，第"圆材埋壁，，第12问"竹竿进门，，第14问"行程问题，;接下来的第15 -24都是有关直角三角形内接或内切图形问题，其中15、16是特殊型的内接正方形和内切圆问题，17 -24是内接矩形问题.这里每一分类问题的解决方法大致相同，通一题会一类，在教学中我们要引导学生真正掌握每一类的解题思路和方法.下面笔者选择被各个版本教材选取最多的6-14问中15问具体分析.

15问今有勾五步，股十二步.问勾中容方几何？

白话译文如图2，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长.

法1

分析这题法一带有很浓厚的中华文化的色彩，可以通过介绍黄方，朱幂，青幂，带学生了解中国文化，

提高学生的学习兴趣，也让学生的思维得到拓展，割补法也是数学几何问题常用的解决问题的方法;方法二的解答相对常规，在教学中让学生学会抓住几何结构特征解决问题，提高解题速度.

4讨论与建议

根据上述对教材、中考题和《九章算术》的探析，笔者得到以下的思考并提出教学建议：

（一）核心素养是今年教育重点培养的能力.我们在实际教学中，重在引导学生学会分析题目，建立数学模型，掌握解决同类问题的解题方法，不仅要让学生能够理解和掌握知识，更要培养学生分析能力和实际解决问题的能力，增强学生的核心素养，有效提高学生的

学习能力，能够真正学到有用的数学.

（二）教学中教师要引导学生将代数运算与勾股定理相结合.这种代数运算与勾股定理的结合，不仅能够有效培养学生分析问题以及解决问题的能力，更重要地是能培养学生的数学学习的思维能力，为学生代数运算能力的发展打下良好的基础.

（三）在教学中宜采用分层次教学.《九章算术》的渗透也告诉我们用同一工具来解决的数学问题也有难易之分，根据学生的不同认知水平，因材施教，让每一位学生感受到数学对生活的重要作用，并理解所学知识的真正含义，就会激发起每个学生学习数学的热情、兴趣和潜能，学自己能学好的数学.

（四）在教学中要渗透几何模型的认知，不论多复杂的数学问题离不开简单模型的构建，因此从复杂模型中抽取出常见的几何模型，化繁为简，这是解决复杂数学问题的重要方法.这需要教师在教学中不断帮助学生分析、分解、练习，才能达到的.

【本文系全国教育信息技术研究2018年度专项课题《基于学习分析的数学测评研究》（课题立项编号：183530004），2020福建省电化教育馆教育信息技术研究课题《中学数学"36"混合式教学的实践研究》（课题立项编号：闽教电馆 KT2070），福州市教育科研基地校专项课题《混合式教学在初中数学单元教学设计中的应用研究》（课题立项编号：FZ2020JZx004）的过程性成果;2020年度福建省中青年教师教育科研项目课题《混合式教学模式在中学数学大单元教学中的实践研究》（课题立项编号：JSZJ20015）】

参考文献：

[1]洪秀华，周九诗，王尚志，鲍建生.《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询—访谈张奠宙先生[J].数学教育学报，2015，24（03）：35-39.

[2]曾海龙译.九章算术[M].重庆.重庆大学出版社，206.10.

[3]全日制义务教育数学课程标准（修改稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]陈梦瑶，王宝红，郭甜甜，薛华.融入初中数学教材中的数学史内容比较——以源于《九章算术》和《几何原本》的内容为例[J].初中数学教育学，2019（5）：7-10.

[5]于波.《九章算術》在数学中考试题中的呈现[J].初中数学教育学，2018（9）：39-41.

[6]梁秀华.《九章算术》在初中教材及中考中的呈现研究[J].中学数学杂志，2019（8）：14-15.