转换思维，解决初中数学题中的最值问题

陈炜炜

【摘要】几何图形的最值问题是初中数学中常见的问题，旨在考查学生综合运用数学的能力以及如何转化数学思维的能力.教学中，教师要注重分类，让他们转化思维，进而提升解决问题的能力.

【关键词】初中数学;解决问题;最值问题

最值问题是初中数学教学的部分内容，教师要通过这一专题的训练，让学生形成一定的数学思想，掌握一定的解题思路，进而促成数学素养的生成.最值问题涉及的内容比较多，需要运用的认知也多，大多时候题目在表面上就呈现出很复杂的样子.教师要引导学生学会转换，以促进问题的解决.

1要让学生掌握基本的原理与图形

一般来说，初中几何涉及到的最值问题它最基本的原理就两个，一个是两点之间，线段最短：另外一个是点线之间，垂线段最短.所以教学中教师要引导学生从这两个原理出发，再一步步地漫溯.万变不离其中，所有复杂的问题都会转到这两个原理上来.基于这两个原理，学生要掌握两个对应的基本图形.如图1、图2示.

当然就两个原理而言，可以派生出多种情况来，比如说，由两点之间，线段最短可以派生出三角形两边之和大于第三边：点圆之间，点心线截距最短.由点线之间，垂线段最短可以派生出平行线之间，垂线段最短：线圆之间，心垂线截距最短等.除了对原理进行转化之外也要对题目的问题进行转化，比如在中，圆的半径为6，，AC是的切线，则 CD的最小值是多少.

学生是这样转化题目问题的，由就知道弧AD是一定的，也就是说 D是定点.同时学生由题目的意思知道 C是直线AC上的动点，他们这样转化着，题目要求的就是定点 D到定线 AC的最短路径，换言之就是要求 CD⊥AC.可以这样说，抓住图与基本原理就是解决最值问题的核心.学生首先要能对原理有理性的认识，再将其转化为图，形成一定的感性认知.

2学生可通过平移的方法解题

在求最值时，学生有时候会运用到几何中平移的概念.也就是说，他们在计算具体题目时，可将平移的认知运用到题目的解决中，进而促成问题的化解.例如：如图4所示，的半径为1，AB=1，若点 A，B都在直线上，AB=1，记线段 AB到的"平移距离，为d1，求d1的最小值.

学生首先要理解平移的概念，接着要将最小值转化为求具体的线段，再接着要将平移之后相应的线段求出来，进而推出要求的结果.也就是说，学生可先作等边△OEF，由点 E 在 x 轴上，求得：OE=EF=OF=1.再接着学生创造性使用条件，设直线交x轴于 M，交 y轴于 N.得出 M（ -2，0），当学生过点 E作EH⊥MN于 H时，他们就知道 EH 就是要求的最短距离.他们先是得出 OM=2，，进而得出，最终得出 EH=EM . .对于平移方法来说，学生首先要能理清其基本的含义，其次要能将平移的性质运用起来，以让他们将平移前移后的数据融合起来，相互求证，促成问题的转化.

3学生可通过创设假想圆解题

在求几何图形中的最小值时，教师可引导学生将相关的条件放到圆中去.因为放置圆中，就能在点圆之间得出，点心线截距最短的结论;在线圆之间就能得出垂线截距最短的结论;在圆与圆之间就能观察到连心线截距最短.换言之，如果学生就着原图假想出圆，相关的结论就更容易发现.

例如：

对于第一问，学生先是猜测可能相等，接着如图5所示，他们过点A作AMLFD交FD的延长线于点M ，进而证明四边形AEFM是矩形.再接着学生由“AAS”就可以证明△AEB AAMD，进而推出BE-DM，AE=AM.进一步地，学生可推出矩形AEFM是正方形﹐因此EF= MF，MF=DF+ DM，EF一DF+BE.教师创设第一问也是减轻第二问的难度，给最值问题以铺垫.

对于第二问，他们先是如图6所示，取AB中点O，连接OC，由勾股定理可求OC=5.接着他们就假想出一个圆来，即，点E在以О为圆心，OB为半径的圆上，进而可以推断当点E在OC上时，CE有最小值.具体地说，由，推出，再进一步推出.同时由二AEB一90°，能假想出点E在以О为圆心，OB为半径的上.因为有这样的假想，所以当点E在OC上时，CE有最小值.对于最值问题，学生在心中首先要有一个盘算，即一般有哪些问题，需要运用到哪些认知，进而再对着具体的題目，进行充分地想象，要将最值问题放到最适合的图像中去.

4学生可通过转换线段解题

在求某某线段最值的时候，学生会发现直接求解是很困难的，教师可指导学生将相关的线段进行转换，以使问题变得简单，以使结论昭然而来.

5小结

本文从四个方面对初中几何中的最值问题进行了粗浅的研究.学生要掌握一些常见的思维转化的方法，要将复杂的问题简单化;要将间接的结论直接化;要将孤立的图形关联化.总而言之，就是通过最值这一系列的题目实现学生思维的转换，进而促进他们能力的提升.