数形结合思想在教学中的运用
2022-05-30张倩
张倩
【摘要】数形结合思想是初中数学的一种重要思想方法,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用该思想可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到化繁为简,化难为易,化抽象为直观的.数形结合思想不仅有数的严谨性,而且有形的直观性,是优化解题过程的重要途径.
【关键词】数形结合思想;优化解题;课堂教学
1引言
数形结合思想是初中数学的一种重要思想.数和形是数学的两个基本要素,数的特征是准确,形的特征是直观.数形结合思想就是把数量和图形结合起来分析、研究、解决问题的思想方法,是沟通代数学和几何学的桥梁.以数促形,将形融数,数形相辅,既能开阔学生的解题思路,又能优化解题途径,对于数学问题的解决起到事半功倍的效果.本文将对数形结合思想在初中数学解题中的应用做初步探讨.
2數形结合解题的类型及方法
2.1由形化数
借助于所给的图形,仔细观察研究,提取图形蕴含的数量关系,反映几何图形的内在属性.
2.2由数化形
根据题设条件画出相应的图形,使图形能充分反映出相应的数量关系,提取出数与式的本质特征.
2.3数形转换
根据数与形既对立,又统一的特征,观察图形的形状,分析数与式的结构,引发思考,适时将二者相互转换.
3数形结合思想在数学解题中的应用举例
3.1利用数形结合探究数字变化规律
点评此题考查图形的变化规律,找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论,利用规律解决问题.
3.2利用数形结合解决数与式的问题
点评根据数轴上点的位置,确定相关字母及代数式的符号,体现了数形结合思想的应用,提高了学生观察、分析、解决问题的能力.
3.3利用数形结合探究代数式的恒等变形问题
例3 一个大正方形和四个全等的小正方形按如、图2所示的两种方式摆放,则图大方形中未被小正方形覆盖部分的面积是(用含a,b的代数式表示).
解析
点评解题的关键是根据图形找出各量之间的关系,先将面积表示出来,再利用整式的运算列式计算,体现了数形结合的思想.
3.4利用数形结合探究最短路径问题
例4
分析本题的实质是在 AB的垂直平分线EF上求一点 M,使 MB+MD最短.
点评此题考察的是,已知一条直线及在直线同侧的两个定点,在该直线上求一点,使这点到所给两个定点之间的距离之和最短.其解法是作其中一个点关于这条直线的对称点,然后联接另一个点与所作的对称点,所得线段即为所求.解答这类题目的关键是结合图形来观察思考,是数形结合的应用所在.
3.5利用数形结合探究与函数有关问题
例6
解
例7
点评上述两题主要考察二次函数与一元二次方程的关系,二次函数图像与系数的关系,二次函数的性质,解答这类题目的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想来解答.
4结语
应用数形结合思想,在解决很多数学问题时,会达到事半功倍的效果.它直观形象,易于理解,能够帮助学生疏通知识脉络,构建知识体系,找到解决问题的最佳途径,同时能开阔学生的思维视野,开阔解题思路,使学生在学习过程中,通过数学思想方法的不断累积,逐步将他们转化为自己的经验,由知识型向能力型转化.总之,数形结合是知识向能力转化的"桥",能促进学生数学学习能力和思维能力的不断提升.