在抛物线背景下直角三角形存在问题的解题技巧

石平

【摘要】在抛物线背景下，直角三角形存在问题是动点坐标确定的基本方法在特殊背景下的运用.图形重组和重建能灵活的展现数学题解题方法美感少机械的数学推理和运算比例.通过分析绘图找到符合条件的点然后再在"互余三角形"或者"三垂直模型"中利用相似或者勾股定理得到相应的分式方程或者一元二次方程去进行模型构建.分类讨论思想和待定系数法是基本方法，运用尺规画图寻找符合条件的点是解题关键.

【關键词】解题技巧;直角三角形;抛物线型问题呈现

类型1 动点在坐标轴或平行于坐标轴的确定直线上，且直线穿过已知定点所连线段.

如图1，已知抛物线，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C.点 P 为抛物线的对称轴x=上的动点，求使坐标.

类型2 动点在坐标轴或平行于坐标轴的确定直线上，且直线不穿过已知定点所连线段.

如图1，已知抛物线，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点 D是点C关于对称轴的对称点.点 P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标.

类型3 动点在抛物线上，且直线不穿过已知定点所连线段.

如图1，已知抛物线，与x轴交于点A，B两点，与 y轴交于点C.点 P为抛物线上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标.

2 解题思路点拨

求交点坐标的基本思路是一样的，设动点横坐标，表示出纵坐标，建立方程或方程组求解.在初等数学中表达垂直关系的方式决定了建立的方程或方程组的形式.或者说，对直角三角形的不同诠释，决定了你列的是哪种方程.

以上三个类型中，前两个可以用三种思路，但是第三个类型若用一，二思路所列方程非常复杂难解，所以，第三种思路应当作为基本思路和方法教会学生.所以，研究相似三角形的图形构建就显得非常的重要.本文将通过类型1的求解，谈谈第三种方法的构图方法和解题技巧.

3 构图技巧例析

这两个基本图形是相似三角形模型中的最典型的，图"K"形图，图"三垂直模型"，这两个图是来源于同一个基本图形（图4）.

我个人看法，干脆叫"互余三角形".这类方法也就可以叫"互余三角形法".构图思路分两步完成，以类型1为例.

第一步，用尺规作图方法找到符合条件的点的可能位置.

分别以过 B，C两点，作直线 BC的两条垂线，交对称轴于 P1，P2.以 BC为直径画圆交对称轴于P3，P4.则符合条件的点有四处.

第二步，运用"互余三角形"构建相似的直角三角形模型.

第三步，利用相似三角形对应边相等列出分式方程写出解答过程.

解

分别以过 B，C两点，作直线 BC的两条垂线，交对称轴于 P1，P2.以 BC为直径画圆交对称轴于P3，P4.则符合条件的点有四个.

4 中考真题赏析

例1 二次函数 y=ax2ax+3的图像过点 A（6，0），且与y轴交于点B，点 M在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB为直角边的直角三角形，则点 M的坐标

（2020年江苏省无锡市）

解

参考文献：

[1]常胜彪.浅析中考试题中抛物线与等腰（等边）三角形的问题[J].学周刊，20142]李汉兵.抛物线中的三角形问题[J].中国培训，2016（4）：205-206.

[3]孙浩.走进"特殊"图形，探究突破策略——以抛物线与特殊三角形问题为例[J].中学数学"初中版，2020（6）：3.