数学教学，需要慢的艺术

刘一萍

[摘  要] 教育是慢的艺术. 文章以“探索直角三角形全等的条件”的教学为例，探寻初中数学慢的教学艺术路径，即创设情境，引入主题;合作交流，获得新知;变式应用，拓展延伸，以拓展学生思维空间，发展学生数学能力，促进学生核心素养的生成.

[关键词] 慢教育;艺术;初中数学

教育就是慢的艺术，所谓“慢”就是平静和平和，就是细致和细腻，需要数学教师的耐心与耐性[1]. 数学本质的获取需要经过内在加工与提炼的过程，需要缓慢的时间与一定空间. 因此，在慢教育的过程中，教师要引导学生经历数学知识的形成发展过程，在知识的深度与广度方面有所保障，才能拓展学生思维空间，发展学生数学能力，促进学生核心素养的生成. 笔者以“探索直角三角形全等条件”的教学为例，展现教育的慢理念.

创设情境，引入主题

师：关于判定两个一般的三角形全等，我们已经学习了哪些方法？

生：判定两个一般的三角形全等，我们已学习了四种方法，一是边角边，二是角边角，三是角角边，四是边边边.

师：由此可见，要判定两个三角形全等，至少需要三个条件，其中一个至少是边相等.

多媒体呈现：如图1所示，新蕾幼儿园刚进了一个滑梯，左右两个滑梯长度相等，左边滑梯的高度与右边滑梯水平长度相等. △ABC与△DEF全等吗？两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE有什么关系？

生：根据已知条件，可得在△ABC与△DEF中，只有两组边相等的条件，即BC=EF，AC=DF，而判定两个三角形全等至少需要三个条件，因此，无法判定这两个三角形全等.

生：还有一个隐含条件，即∠BAC=∠EDF=90°，但是这样构成的全等条件是“边边角”，“边边角”不能判定两个三角形全等.

师：两位同学分析得很到位，根据目前的条件无法判定这两个直角三角形全等，但是幼儿园的工作人员认为，这两个三角形全等，你认可他们的结论吗？

学生感到困惑……

设计意图  引入生活模型，创设问题情境，让学生慢慢地体悟与思考，对生活实际问题进行提炼，发展学生抽象数学模型的能力;学生是教学活动的主体，让学生参与到新知识的获取当中，发现生活实际与数学的关系，认识与领悟到学习数学的意义. 知识生长的过程被拉长，学生通过慢慢地领悟，实现了知识的衔接与生长，在慢思维的参与下，引出教学主题，即直角三角形全等的条件[2].

合作交流，获得新知

师：请同学们尝试画出下面的图形. （1）任意画一个直角，∠QCP=90°;（2）在射线CP上截取一条长为2 cm的线段CB;（3）以点B为圆心，以4 cm的长为半径画弧，与射线CQ交于点A，连接AB. 大家尝试把各自画的图叠合在一起，看是否能重合，能得出什么样的结论.

生：我们组的几个同学画的直角三角形（如图2所示）叠合在一起，发现这些直角三角形能互相重合，认为这些直角三角形全等.

师：请学生尝试画出下面的图形：（1）任意画两条互相垂直的直线，垂足为D;（2）在其中一条垂线上任取一点A，以这一点为圆心，以大于AD的长为半径画弧，这个弧与另一条垂线有两个交点B，C;（3）连接AB，AC，得到△ABD与△ACD，那么这两个三角形全等吗？

生：我们组画出了如图3所示的图形.

师：请同学们用折纸的方法验证一下△ABD与△ACD是否全等？为什么？

生：△ABD与△ACD全等.因为这两个三角形折合在一起能互相重合.

师：请同学们画一画三角形ABC，使∠B=40°，AB=4 cm，AC=3 cm，然后把所画图形放在一起，看它们是否重合？

生：老师，我画出如图4所示的图形，我同桌画出了如图5所示的图形. 这两个图形，一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，它们不重合.

师：图3的△ABD与△ACD具备什么相等的条件？图4与图5的两个三角形具备什么相等的条件？为什么图3的两个三角形全等，而图4与图5的两个三角形却不全等？

生：图3的△ABD与△ACD具备两边一角相等的条件，图4与图5的两个三角形也具备两边一角相等的条件. 图3的两个三角形全等，是因为这两个三角形都是直角三角形.

师：从这里可以看出，使用“边边角”判定两个三角形全等，必须是两个直角三角形. 也就是说，只有当两个直角三角形，有一条斜边和一条直角边分别相等时，这两个直角三角形才全等. 这就是今天学习的判定两个直角三角形全等的方法，简记为“斜边直角边”或“HL”，请同学们用图形语言与符号语言表示这个定理.

生：如图6所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，因为BC=EF，AC=DF，所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.

设计意图  在慢慢地操作与教学流程中，引导学生突破重点知识，把学生教活、教深，发展学生的口头表达、动手操作、演绎推理等能力. 画图是归纳结论的有力抓手，也是进一步總结的依据. 本环节学生经历了三次画图，第一次画图旨在让学生通过斜边直角边可以确定一个直角三角形，通过学生之间所画直角三角形的叠合，感受通过斜边直角边可以判定两个直角三角形全等. 第二次画图从具体到一般，让学生再次经历利用斜边直角边可以判定两个直角三角形全等. 第三次画图，虽然也具有两边及一角相等，但是它们并不全等，与第二次画图对照，突出强调斜边直角边定理成立的前提条件是两个直角三角形. 缓慢的操作为学生提供了充足的思考空间，在学生静静地思考与徐徐地交流中，学生体验了知识的来龙去脉，不仅知其然，也知其所以然，认识由感性上升为理性，实现了思维的突破.

变式应用，拓展延伸

如图7所示，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，B，C在DE的同侧，且AD=CE. 求证：AB⊥AC.

生：因为BD⊥DE，CE⊥DE，根据垂直的定义，得∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，因为AB=AC，AD=CE，根据斜边直角边定理，得Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）. 根据全等三角形对应角相等，得∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC. 根据直角三角形两锐角互余，得∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，所以∠DAB+∠EAC=90°. 所以∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°，即AB⊥AC.

师：这位同学能很快抓住题中两个垂直，及两组相等的线段，利用斜边直角边定理获证，很好！如果过点A的直线DE与BC相交时，结论还成立吗？

变式1   在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，B，C在DE的两侧（如图8所示），且AD=CE，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明;若不是，请说明理由.

生：AB⊥AC. 理由如下：因为BD⊥DE，CE⊥DE，根据垂直的定义，得∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△CAE中，因为AB=AC，AD=CE，根据斜边直角边定理，可以得到Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）. 所以∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC. 因为∠CAE+∠ECA=90°，所以∠CAE+∠BAD=90°. 所以∠BAC=90°，即AB⊥AC.

变式2  如图8所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，求证：BD=CE-DE. 這道试题还能否用斜边直角边定理解答呢？为什么？

生：这道题不能用斜边直角边定理解答，因为△ABD与△CAE只有一组边相等.证明如下：因为∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠BDA=∠AEC=90°. 因为∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°，根据同角的余角相等，得∠ABD=∠CAE，因为AB=AC，在△ABD和△CAE中，因为∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=AC，根据角角边定理，得△ABD≌△CAE，所以BD=AE，AD=CE，因为AE=AD-DE，所以BD=CE-DE.

设计意图  问题是培养学生思维的有效载体. 问题的呈现，能让学生在慢交流与慢讨论中，凸显思维过程，实现精确思考，能使学生的思维能力得到培养. 变式训练，拉长了实践与应用的过程，缓慢的进程有利于学生体会思维的严谨性与数学的缜密性，有些教师认为变式训练耗时耗力，扰乱了正常的教学预设，但不可否认的是，它有利于学生思维的慢性回归，能让学生的思维不断地向深处漫溯.

慢不是一种重复，而是一种艺术. 只有在慢下脚步后，学生学习才更加充实丰盈[3]. 慢课堂是长效的课堂，是深度教学的课堂.

参考文献：

[1]杨勇. 初中数学慢教育策略[J]. 中小学班主任，2020（08）：52-53.

[2]黄燕红. 慢教育视阈下的初中数学概念教学研究[D]. 福建师范大学，2018.

[3]孙朝仁，朱桂凤. 具身认知：数学“慢教育”复习的范式[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2017（10）：68-71.