思·辨·悟：初中数学命题课教学策略

杨国华

[摘  要] 数学命题是表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称. 数学中的公理、定理、公式、性质和法则等都是数学命题，命题课是数学教学中最为重要的一种类型. 文章以“平方差公式”的教学设计为例，对命题课展开“思·辨·悟”式教学. 运用“思·辨·悟”式教学方式进行命题课教学，教师不是将现成的结论直接灌输给学生，而是通过层层引导，让学生对命题的条件、结论进行尝试探究，并在教师的引导下学会甄别命题的真伪，从而掌握和运用命题.

[关键词] 思·辨·悟;数学命题课;教学策略

数学是一门具有严密逻辑思维的学科. 一方面，数学命题是由一些定义、概念或一些更简单的命题替换、组合或复合而成的，因此命题的学习比概念的学习更加复杂和困难. 我们不能仅仅将命题看成数学概念的拓展和延伸，还要清晰命题的学习属于较高认知层次的基础知识，是培养和发展学生逻辑推理能力的重要学习路径. 另一方面，数学命题是数学公理、定理、法则、公式等内容的统称. 而公理、定理、公式和法则的最大作用是简化运算过程和推理过程，使人们形成很强的直觉思维，这是人类思维发展所追求的目标，也是人比动物具有更高级理性精神的表现形式之一.

当前初中数学命题课教学存在

的问题

1. 缺乏兴趣引导

命题课的教学是枯燥乏味的，教学过程中常常出现学生“走思”的现象，“走思”后学生便理解不了命题的内在含义. 学生无法理解命题的内在含义，便盲目地猜测，且不进行论证，在寻找命题存在的隐含条件的过程中，他们不能静下心来思考其中考查的知识点，对学习缺乏激情. 数学学习需要兴趣的指引，脱离兴趣的数学教学只是空洞的教学，不能真正激发学生学习的积极性和主动性，会导致整体学习效率低下.

2. 忽略溯本求源

在数学命题的学习中，我们发现很多教师常常忽视命题产生的背景、来源、研究对象和相关要素，往往只重视命题的直接应用和简单应用，忽视对命题条件和结论的理解、对前提条件的说明、条件的转换和命题证明过程，从而导致学生只会生搬硬套、机械地解决简单问题，无法举一反三，更无法将其灵活地运用到复杂的情境中.

3. 脱离学生主体

受过去应试教育理念的影响，还有一部分教师在命题课教学中采用“教师单方面讲，学生被动听”的教学方式. 这种教学方式过分地强调了教师的作用，而忽略了学生在教学过程中的主体地位，学生不能很好地参与到课堂之中，学习能力低下，也就慢慢产生了畏难心理，逐渐排斥、抵触数学学习. 因此，对数学命题课教学进行研究有着非常重要的现实意义.

例析初中数学命题课“思·辨·

悟”教学策略

基于以上问题，在“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”理念的引导下，笔者尝试从“思·辨·悟”的角度设计数学命题课教学. 下面以“平方差公式”的教学设计为例，对命题课中“思·辨·悟”的具体展开进行讨论和分析.

1. 自主导“思”

数学命题课应有一个导入的过程，且导入的着重点应放在命题的发现过程上. 如果采用“一开始就直截了当地给出命题，然后证明命題”的教学方式，教学过程会显得生硬呆板，且不利于学生理解和掌握命题. 教师通过合理的引导，创造问题情境，能让学生经历命题发生、发现和发展的过程，学生则通过动口、动手、动脑自主学习，自己发现、自己推导，这样能使他们对命题有更深入的理解.

（1）导情境，激思意

情境导入：熊二租了光头强一块正方形土地. 一天，光头强对熊二说“熊二啊，我家的土地重新规划了，原来租给你的那块土地，我准备把它向东增加2 m，向北减少2 m，变成一个长方形. 反正面积没变，你就种这块新地吧！如果听不懂，你就看图好了，如图1所示”. 熊二听完一阵茫然，你觉得熊二吃亏了吗？

（学生读题后自发地列出计算长方形面积的算式，并尝试用多项式乘多项式的法则进行计算，然后与正方形的面积进行比较，最后根据自己的解答做出判断）

设计意图以“光头强和熊二的土地租赁事件”这个小故事作为学习情境，符合七年级学生的心理特点，同时能让他们带着疑问进入课堂，达到一种愤悱的状态. 学生会主动链接相关知识，自主运用所学知识帮助熊二做出正确的判断. 这样的学习情境能激发学生的学习兴趣，能提高他们主动参与学习的积极性.

（2）变条件，思特征

①如果向东增加3 m、向北减少3 m呢（如图2所示）？

②如果向东增加5 m、向北减少5 m呢（如图2所示）？

这些式子有什么共同特征？

设计意图通过激励学生进行合情推理，让他们对平方差公式的结构特征形成一个初步的认识，从而将问题由特殊推广到一般.

2. 合作寻“辨”

（1）寻规律，辨表达

①观察结果的项数，并寻找各项的特征;

②思考具有怎样特征的两个多项式相乘才会有这样的结果;

③请尝试用字母表达式来表示你发现的规律.

设计意图让学生通过观察等式的结构特征，经历用字母表达式表示其规律，从而发现平方差公式的过程. 这既培养了学生的观察能力、概括能力，又为学生后续学习平方差公式时准确利用公式的结构进行深层次建构与剖析做好准备.

（2）抓关键，辨内容

数学公式因其结果的简单化、符号化而具有较强的概括性. 一般地，教材为了帮助学生理解公式，通常会用语言文字表达公式的内容，而在将公式转化成文字语言时，要抓住表达式的关键点：①表达式中有哪些运算？②表达式中的字母分别表示什么？③表达式的条件和结论各是什么？

（教师可让学生先根据自己的理解说清楚表达式的意思，然后学生之间互相补充，让文字语言简练）

设计意图将公式转化成文字语言，需要学生对公式中的字母和结构特征进行辨析，这个过程能培养学生的观察能力和表达能力.

（3）依照原理，辨别证法

平方差公式的获得只是从规律中发现和得到的，至于该公式是否成立，还需要进行严密的逻辑证明. 命题的证明是指用定义、公理或已经证明过正确的命题去推导、验证新命题的正确性. 要证明平方差公式正确，学生需要充分输出自己已有的关于此命题的相关知识，主动与该命题有关的条件、结论建立联系，用数学语言、文字、符号等进行严密的推导，结合有效的数学思考，应用恰当的数学思想方法进行数学表达. 在证明命题的过程中，如何展现证明的路径是教学的关键点，学生在此过程中将习得学习方法，体会数学思想，积累数学经验. 对于平方差公式的证明，教师教学时可采用下面两种方法：①让学生运用上节课所学的多项式乘多项式法则检验平方差公式是否正确，这是从代数的角度进行思考的;②出示教材第74页的“做一做”，引导学生从公式的几何背景去思考，由圖形面积的不同计算方法去检验这个公式是否正确.

设计意图引导学生从代数和几何两个角度推理验证，能让学生明白该公式的原理. 用图形语言表达平方差公式，建立图形语言与符号语言、文字语言之间的联系，不仅能培养学生的观察能力和表达能力，还能向学生渗透数形结合思想.

（4）练变式，辨结构

运用平方差公式计算：

①（a+4）（a-4）;

②（5a+4）（5a-4）;

③（-5a+4）（-5a-4）;

④（4-5a）（-5a-4）;

⑤（4-5a2）（-5a2-4）;

⑥（a+4+c）（a+4-c）.

设计意图从第①题这个基本题切入，改变系数得到第②题;在第②题的基础上改变符号，得到第③题;改变第③题第一个括号里前、后项的位置，得到第④题;改变第④题字母的次数，得到第⑤题;在前面解决问题的基础上，增加一项得到第⑥题. 上述试题由浅入深，目的有两个：一个是促进学生辨析公式的结构，认清公式中的a和b，能准确地运用公式进行计算;另一个是让学生了解代数中变式的基本策略，并让他们从变化中认清变化的规律，从而抓住不变的本质.

（5）读教材，辨巧用

阅读教材第75页的例2（如图3所示），然后思考如下问题：

①第（1）题中的100是怎样找到的？

②103和97、100之间各有怎样的联系？

③第（1）题解答过程的第一步为什么不写成（110-7）×（90+7）？

④结合（1）（2）两题的计算过程，你认为如何运用平方差公式进行简便计算？

设计意图让学生边阅读教材边思考问题，通过对问题的解答让他们明晰运用平方差公式进行简便计算的思路，从而正确确定计算中的关键数字.

3. 提炼得“悟”

（1）观公式，悟本质

公式中的“a”与“b”可以是确定的数，也可以分别代表任意的实数、单项式、多项式.

（2）理证法，悟思想

如图4所示.

设计意图给学生留出梳理一节课所学内容的时间，有利于学生自主构建知识体系，领悟数学思想方法. 同时，能为学生提供表达的机会，锻炼他们的组织能力和表达能力，长此以往，有利于提高学生的综合素养.

对初中数学命题课开展“思·

辨·悟”教学的思考

1. 能激发学生的学习兴趣

上述教学过程，在教学的初始阶段，教师通过创设问题情境，把命题发现的主动权交给学生，让学生真正置身于这一情境之中，从而提高学生学习数学的兴趣. 在教学的中间阶段，教师采用的是“辨”的教学方式，引导学生在辨析某一特定命题时展开讨论，让他们融入自己对数学命题的看法，从而大幅度提高学生学习的积极性和主动性.

2. 能提高学生的分析能力

教师引导学生通过对命题表达式的辨析、内容的辨析，探究命题的条件和结论;教师引导学生通过对命题证明的辨析，寻找命题的来源，使学生领悟数学思想方法. 在教学过程中，教师融入很多科学性认知，让学生在命题的应用中更快地剖析所考查的知识点，从而提高分析数学问题的能力.

3. 采用以学生为主体的教学方式

新课改要求教师在教学中逐步将学生置于主体地位，教师则成为课堂教学中的引导者和组织者. 因此，在教学过程中，教师应格外重视学生的发展，应从学生的认知角度出发，探究如何提高学生的认知能力，如何将数学知识进一步转化为学生自己的知识. “思·辨·悟”教学方式作为一种新型的教学方式，旨在提高学生参与课堂的积极性和主动性. 利用这一教学方式去冲击传统应试教育带来的负面影响，有利于学生思维体系的建构，能降低教学难度.

初中命题课教学非常重要，应用“思·辨·悟”教学方式进行教学，能提高学生的数学学习效率. 让学生自主参与到命题的学习之中，悟出其中蕴含的知识点，主动地接受知识，可以有效地避免学生盲目地学习. 这一教学方式的初步探索，会为学生今后的数学学习打下坚实的基础. 通过命题的学习，学生能掌握数学命题的内容和表达形式，会判断命题的真假，能加深对数学知识和数学方法的理解与应用，能有效提高自己的数学表达能力、逻辑推理能力、数学运算能力等.