浅析数学观察能力的作用与培养措施

王婷婷

[摘  要] 敏锐的观察能力能避免人们被事物的表象所迷惑，并获得透过表面现象看到事物内在本质或演变趋势的能力. 形成良好的数学观察能力，具有顺利达成教学目标、提高课堂教学效率、提升学生综合素养等作用，具体的培养措施有：观察式子结构特征，探寻解题捷径;观察试题条件结论，搭建解题桥梁;观察函数对应图像，探索问题本质;观察命题整体结构，实现灵活变通.

[关键词] 观察能力;作用;解题;能力;培养措施

大千世界，博大精深. 洞察问题的本质是学生永恒的追求，外观于问、内识于心，是学生认识问题并不断超越自我的过程，观察能力是联系学生与问题本质的桥梁. 数学观察是指在教学中，学生有意识地对数学事物的数形特征进行感知、分析、抽象，并用对应的数字、字母、符号或文字进行表达，其本质是一个心理活动的过程.

[?]数学观察能力的作用

1. 顺利达成教学目标

心理学家哈根说过，“教学中，儿童具有注意一些线索而又无视另一些线索的心理倾向.”教学活动是建立在明确的教学目标的基础上进行的，学生一旦明确了学习任务，在实际观察中，则会不由自主地支配自身的感知觉，将感知方向指向于特定对象，为目标的达成奠定基础. 新课标提出：“数学教育承载着引导学生用数学的眼光看待世界，用数学的思维思考世界，把握事物规律，形成正向世界观等责任.”可见，学会从数学的视角观察生活事物，增强社会责任感，是社会赋予学生的责任，也是重要的教学目标之一.

2. 提高课堂教学效率

同一节课，不同学生会产生不同程度的认知，这是课堂教学效率的体现. 不得不承认，学生与学生之间，的确存在着显著的个体差异，有些学生因观察能力滞后，对数学现象及教学活动缺乏洞察力，而有些学生则能灵敏地发现问题的本质，学习效率自然很高. 显然，缺乏观察能力的学生，无法及时发现数据与图形之间的内在联系，在知识的建构上呈现出了慢半拍的节奏. 因此，提高学生的观察能力，是提高教学效率的重要突破口之一.

3. 提升数学核心素养

当前，在新课改的推进下，每门学科都以培养学生的核心素养为教学宗旨. 观察能力的提升对学生运算、逻辑思维、想象、数据处理以及交流等能力的提升，都具有显著的促进作用. 不论是数据关系的处理，还是图形的识别，都离不开观察能力的支撑. 当然，这种观察能力并非单纯地用眼睛去观察，更重要的是用大脑进行思考与分析;观察对象也不一定是直观的形象，还可能是抽象的文字等. 因此，观察能力的培养是促进数学核心素养形成与发展的基础.

[?]培养措施

1. 观察式子结构特征，探寻解题捷径

罗丹说：“能在被人司空见惯的事物上发现美的人，就是所谓的大师. ”当学生面对相同的式子时，因个体差异会看到不一样的内涵. 為了训练学生的观察能力，教师可以引导学生从式子的结构特征出发，进行细致、全面、入微的观察，以发现解决问题的最佳途径;也可以根据式子的结构，确立明确的观察点，再由表及里、由点到面地进行研究，从而获得准确的判断，为解题服务.

例1 已知集合P={1，2，3，…，2015}，集合A为集合P的子集，在集合A的三个元素中，总有两个元素存在a是b的整数倍，若

A

代表集合A的元素个数，求

A

的最大值.

解析：集合A={1，2，22，23，…，210，3， 3×2，3×22，…，3×29}符合本题要求，此时

A

=21.

设A={a1，a2，a3，…，ak}?P，且a1

A

的最大值是21.

解决本题主要存在猜想与证明两个环节，从式子结构进行观察的要领是：①如果能发现式子的所有解，也就说明本题除此无他;②如果能发现式子的部分解，就要用一定的手段找出看不到的解. 解题时，除了以知识基础为依托外，还要引导学生勇于大胆猜想，在猜想的基础上进行论证. 猜想虽不能直接解决问题，却能为解题提供帮助，而观察过程则涵盖了猜想与论证的过程.

2. 观察试题条件结论，搭建解题桥梁

对于试题来说，观察是沟通条件与结论的桥梁. 想要获得结论，必须从问题的条件中寻找相应的依据，条件为结论服务，而结论又是条件的归宿. 想要从已知条件中获得未知的结论，就必须有一双善于观察的眼睛，将问题的条件与结论结合在一起进行分析、探究，这也是解题最常用的方法.

例2 已知α∈-

，，β∈-

，0，sinα-cos2β=

-

，求sin

-β

的值.

解析：根据题设条件可得sinα-

=cos2β-

，也就是cos

α-

-

=cos2β-

，再结合条件构造函数f（x）=cosx-

，x∈[-π，0]. 因为y=cosx于[-π，0]内是递增函数，y= -

于[-π，0]内也是递增函数，因此函数f（x）=cosx-

在[-π，0]内是递增函数. 根据cos

α-

-

=cos2β-

，得f

α-

=f（2β），因此sin

-β

=.

通过对条件的观察与分析，构造出函数，再从单调性着手解题. 这种方法不仅将问题的条件与结论联系了起来，还凸显了观察在解题中的重要作用. 如果学生之前有过类似的解题经验，遇到本题就会很自然地想到这种解题方法，也就是说，学生的认知经验能促进观察的有效性，为解决问题提供帮助，也为思维的发展奠定基础.

3. 观察函数对应的图像，探索问题本质

众所周知，数为形的基础，而形又是数的表达形式，数与形之间是“你中有我，我中有你”的关系. 数形结合思想贯穿数学教学的始末，有很多问题需要依赖数与形的互相转化来解决. 因此，既要学会观察数量关系中存在的形，也要洞察图形中蕴藏的数量关系. 高中数学解题中，我们常遇到的是通过函数图像的观察，揭示问题的本质，达到解题的目的.

例3 若将函数f（x）=-（x∈[0，2]）的图像，绕着坐标原点O旋转θ（θ是锐角），此时得到的曲线仍然为函数图像，求θ的最大值.

解析：从二次函数的单调性出发，观察f（x）=-（x∈[0，2]）的图像，可知其在[0，1]内是增函数，在[1，2]内是减函数. 假设函数f（x）位于x=0处的切线斜率是k，则k=f′（0）. 因为f′（x）==，所以k=f′（0）==tan30°，由此可确定切线的倾斜角是30°.

如图1所示，要使旋转θ后的图像仍是函数图像，那么旋转后的图像切线的倾斜角最大为90°，若超过90°，旋转后的图像与y轴会出现两个交点，此时的曲线不是函数图像. 因此本题最大的旋转角度为90°-30°=60°.

类似问题还有很多，当我们遇到此类问题时，应先明确函数图像是基于函数解析式而来的，它们之间不仅是对应的关系，还是相辅相成的关系. 解题时，我们可以从数形结合思想着手进行观察，探索问题的本质.

4. 观察命题整体结构，实现灵活变通

随着新课改的推进，当前的命题越来越新颖、丰富，这对学生的思维灵活性提出了更高的要求. 其实，所有的命題都是从基本概念、定义与性质衍生而来的，具有万变不离其宗的规律. 当学生解题时出现了思维上的障碍，可以考虑从命题的整体结构上进行观察与分析，有可能会有新的发现与突破.

例4 如图2所示，正方体ABCD-ABCD中的点M，E分别是棱BC，BB的中点，点N是正方形CBBC的中心点，直线l是平面AMN和平面BED的交线，求直线l和正方体的底面ABCD所成角的度数.

解析：从正方体的性质着手进行观察与分析，可知MN，BE都与平面ABCD垂直，因此平面AMN，DBE均垂直于平面ABCD，所以l与平面ABCD也是垂直的关系，所成角为90°.

从常规思路出发，一般都是先找出平面AMN和BED的交线l，再求所成角的度数，但这种方式很烦琐. 根据“两个相交平面与第三平面垂直，那么交线与第三平面也为垂直的关系”的性质，能将本题化繁为简. 由此可见，观察命题整体结构，具有灵活变通解题方法的重要作用.

实践证明，良好的观察能力能让一个人变得更加严谨、睿智. 学生数学观察能力水平的高低，对解题能力具有直接影响. 作为教师，应在教学中不断地提升学生的观察能力，为学生数学核心素养的形成与发展奠定基础.