巧借数学错误 实现教学相长

刘雁冰

[摘  要] 错误往往是伴随着学习自然生成的，是无法避免的，因此师生要学会接受错误、利用错误，将其转化为学习的动力和成长的铺路石. 在面对错误时不要过于急躁，应给学生一定的时间进行总结和反思，引导学生自己发现并解决问题，从而培养学生良好的学习习惯和思维习惯，促进学习能力提升.

[关键词] 错误;反思;习惯;能力

随着知识容量和难度的不断增加，学习过程中出错的概率势必有所提升，因此面对错误时，师生应有秉持宽容、客观的态度，避免因过度焦虑而影响教学效果. 错误在学习过程中是必不可少的，是教学中宝贵的生成性资源，只有经历一些错误，才能顺利地走出思维误区，进而培养思维的深刻性[1]. 其实，在教学过程中，教师也会犯错，即使教学经验丰富的教师，面对动态生成的课堂时也会出现瑕疵和不足. 因此，面对“教”与“学”中的不足时不应急于全盘否定，而应进行深刻的反思，从而找到错误的根源，只有这样才能合理地进行开发和利用，将“不足”转化为优质的教学资源，使教学能力和教学素养得到优化和提升. 因此，教学中不仅要正视错误，而且要合理地应用错误，进而实现“教”与“学”的共同进步. 基于此，笔者结合“教”与“学”中的错误，浅谈几点应对策略，仅供参考！

[?]预设错误，鼓励质疑

教师也会犯错，有时可能是故意而为之，有时可能是受到了外界的干扰，有时可能是课前准备不充分，等等. 出现错误后不要急于改正，有时可以借题发挥，进而培养学生的质疑能力;也可以借助教师的错误让学生面对错误时能够更加自信和从容，从而将错误转化为学习的动力和学习的信心.

例1 已知函数f（x）=x2+1，x≥0，

1，x<0， 则满足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的范围是________.

在复习“函数与不等式”时，教师精选了一道高考真题作为例题，进而通过真题的渗透树立学生解题的信心. 在本題的求解过程中，教师故意“犯错”，引导学生去发现、去质疑，从而在激发学生学习热情的同时，培养思维的深刻性.

解：画出函数的图像，如图1所示. 由于函数f（x）是单调递增的，所以不等式f（1-x2）>f（2x）等价于1-x2>2x，解得-1-

问题求解后，学生都没有表示异议，并且认为应用了数形结合思想，解题思路清晰，运算简单，可见学生都掉入了教师预设的“陷阱”.

师：解题后，我们还需要做什么呢？

生齐声答：检查！

师：很好！现在把检查的任务交给大家来完成. （教师引导学生借助检查“回头望”，从而发现问题）

生1：上面的答案有问题. x=-2不是不等式f（1-x2）>f（2x）的解.

师：很好，生1检查时应用了特殊值法，是一个好办法. 那么问题到底出现在哪里呢？（教师引导学生一起探究）

生2：函数f（x）在R上不是单调递增的，其在区间[0，+∞）上才是单调递增的，因此不等式f（1-x2）>f（2x）和不等式1-x2>2x并不是等价的，应加上条件1-x2>0，即-1

师：说得非常好，看来是我做题时考虑不周.

在学生的潜意识里认为教师是不会犯错的，教材更不会有问题，于是很少对教材内容和教学过程产生疑问，即使有异议也是从自身寻找原因，即使不能说服自己也不会去质疑，而是用教师或教材的解题方法来替代原有的解题思路，然没有释疑地盲目套用可能会造成更多的错误，得不偿失. 因此，教师可以让学生多经历一些纠错的过程，打破学生对教师和课本的过度迷信，让学生敢于质疑，敢于提出新思路、新见解，从而将错误转化为学生不断前行的动力.

[?]自我发现，全面提升

教学中容易发现，同样的教学内容，同样的教师，其在不同班级讲授往往会得到不同的教学效果，这也就印证了课堂是动态的、是变化的. 教学中教师不能忽视学生，不能忽视课堂的生成性资源，这往往是高效课堂的最佳切入点. 对于同一问题若观察的角度不同，势必会出现不同的解法;对于同一知识点若出发点不同，势必会出现不同的结果;若师生对待问题的态度不同，其最终效果也会有所不同. 因此教学中不能搞“一刀切”，不能用一成不变的眼光去看待问题、看待学生，那样势必会影响学生的积极性. 教学中教师应鼓励学生积极思考，允许学生自由地表达，同时容许学生犯错，这样既能发现学生的闪光点，又能找到学习中存在的不足，从而通过思考、交流、争辩、纠错等学习过程，让学生对相关知识形成更加深入的、全面的、系统的认识，进而弥补学生认识的不足，促进学习能力提升[2].

例2 已知函数f（x）=（a，b是常数，a≠0）满足f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解，求函数f（x）的解析式.

解：由f（x）=x，即=x，得（ax+b）x=x，整理得ax2+（b-1）x=0（a≠0）. 又方程f（x）=x有唯一解，所以Δ=（b-1）2=0，即b=1. 又f（2）==1，解得a=. 所以函数f（x）的解析式为f（x）=.

师：请大家分析一下，以上求解过程是否存在问题呢？（在本题的评讲过程中，教师“以生为主”，让学生自主纠错）

生3：问题应该出现在去分母的过程中，由=x得到（ax+b）x=x，在分式中ax+b≠0，然解题中忽略了这一点，因此不是等价转化.

生4：表达不够严谨，需要说明当b=1时，方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）才有唯一解x=0，这个解满足ax+b≠0. 加上这个说明，应该就没有问题了.

师：经过生3和生4的补充，这样是不是就没有问题了呢？（教师给学生充足的时间再探究）

生5：由方程f（x）=x有唯一解，Δ=（b-1）2=0不一定成立，还可能是Δ=（b-1）2>0，此时b≠1，方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）有两个解，x=0，x=≠0. 其中x=一定是方程的解，说明x=0不是方程的解，是增根，这时ax+b=b=0;又f（2）==1，所以a=1，此时f（x）==1（x≠0）. 所以函数的解析式应该是两个，即f（x）=或f（x）=1（x≠0）.

这样学生经历思考、补充、再探究，对问题又有了更深层的理解. 在该教学环节中，教师将问题交给学生进行自主探究，学生获得了更多展示的机会，学生学习的积极性被迅速激发了出来，有利于课堂效率提升. 因此，当学生犯错时，教师不要急于指正，应该给学生一定的时间进行自我反思、自我纠错，即使不能顺利订正，然因其经历了反思的过程，同样可以达到深层理解的目的，这样就将错误转化为了学生成长路上的铺路石.

[?]治好病根，避免再错

在学习过程中容易发现，很多学生对错误的认识不够充分，常笼统地将错误归结为“马虎”或“不会”，并未对错误追根溯源，从而使得学生解题时常出现“一错再错”的现象. 其实，产生错误的原因是各种各样的，有可能是基础知识掌握不牢，有可能是运算出现了问题，有可能是知识出现了负迁移，也有可能是解题时过度依赖直觉思维，忽视了严谨的逻辑推理，从而使解题思路出现了偏差，等等. 因此，教学中要引导学生正确地认识自己的错误，这样才能及时地查漏补缺，从而培养学生严谨的思维习惯.

例如，在计算中误认为lg（x+y）=lgx+lgy，=a+b等，表面上看是马虎所致，然实质上是受思维定式的影响，出现了知识的负迁移. 对待类似的错误，绝不能一点带过，应重点进行剖析，通过特例进行重点说明，让学生留下深刻印象，避免再错. 又如，学生判断函数的奇偶性时，常因忽视定义域而造成错解，出现这一错误的根源大多是学生对函数奇偶性的概念理解不清.

总之，在纠错过程中，只有找到真正的错因，才能有针对性地查漏补缺，从而通过知识的梳理和强化避免再错.

[?]实时诊断，实时评价

教学中，部分教师为了赶进度，常对学生的错误置之不理，这样因矫正不及时而出现了理解偏差，久而久之让学生形成了错误意识，后期进行“回炉改造”往往需要更多的时间，得不偿失. 其实，对于学生的错误应该越早纠正效果会越好，这样可以有效避免出现“夹生饭”的现象. 因此，教学中当学生的理解出现偏差时，教师要及时进行引导;当学生的作业出现错误时，也要及时做出评价. 当然，因为学生的学习能力不同，作业中出现错解的情况也会有所不同，对于典型问题教师要集中进行讲解，对于个别问题教师可以通过“互评互助”的方式进行评价，这样不仅可以有效保证课堂时间不被浪费，而且通过合作可以实现优势互补，有助于学生的共同进步. 总之，对于错误的诊断和评讲要保证实时性，避免积少成多而让学生产生厌学情绪，影响学生学习的信心.

总之，教师要合理地利用好这些宝贵的错误资源，结合学生反馈及时调整教学方案，以此提高教学质量，提升学习能力，实现教学相长.

参考文献：

[1] 孙四周. “错误”是一种重要的教学资源[J]. 中国教育学刊，2012（03）：79-81.

[2] 李允. 教学错误资源：理性認识与有效开发[J]. 中国教育学刊，2011（04）：40-42.