高中新增投影向量的合理性与可行性分析

何嘉颖

摘  要] 投影向量是课标新增的概念. 在新人教A版教材中，不仅新增了投影向量，而且投影的含义也发生了改变. 文章陈述了投影与投影向量含义的变化情况，对新增的投影向量的合理性进行了分析，为投影与投影向量概念的教学提供了建议.

[关键词] 投影;投影向量;数量积;正交分解;直角坐标系

[?]投影与投影向量含义的变化

《普通高中数学课程标准（2003年版）》对投影的要求是“体会平面向量的数量积与向量投影的关系”[1];《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对投影以及投影向量的要求是“通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义”“了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义”[2].

课本定义1（旧人教A版教材，简称“旧教材”）：设a，b是两个非零向量，θ是a与b的夹角，

a

cosθ叫做向量a在b方向上的投影，OA=

a

cosθ[3].

课本定义2（新人教A版教材，简称“新教材”）：设a，b是两个非零向量，=a，=b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到，称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量[4].

对比新旧课程标准以及人教A版教材，主要有两处变化：

一是课程标准的变化.《普通高中数学课程标准（2003年版）》对投影概念的理解本身没有具体要求，仅对投影与数量积的关系有要求，即对投影的要求更侧重投影与数量积的关系，而非投影本身. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》对投影以及投影向量本身有明确要求，其中包括对投影概念的要求以及对投影向量意义的要求，即学生除了要知道投影与投影向量的概念外，更需要知道它们的意义. 因此，新课程标准对投影以及投影向量的要求有所提高.

二是教材的变化.一是投影概念的变化，二是新增了投影向量的概念.投影概念的变化：在旧教材中投影指的是一个数量（如a在b方向上的投影是

a

cosθ），是一个有固定含义的名词;在新教材中投影指的是一个变换，是一个变化过程.对新增的投影向量，它本身是一个向量，同时也是一个有固定含义的名词. 即新教材把旧教材中仅作为名词存在的投影概念，分解为过程性的投影概念以及结果性的投影向量的概念，从而使得投影的产生过程以及投影向量的来龙去脉更为清晰，更能理清其意义所在.

[?]新增投影向量的合理性分析

1. 从教材逻辑性看新增投影向量的合理性

（1）旧教材中的投影

投影概念在旧教材中共出现在三处：

第一处是人教A版初中数学九年级下册第三十五章“投影与视图”的35.1节，其定义是“用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影”[5]，此时投影指的是有名词意义的“影子”，同时也是几何学中的概念. 此外，在该节中，还给出了平行投影、中心投影和正投影的概念，“由平行光线形成的投影叫做平行投影”“由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影”“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”[5].显然，这些与投影相关的概念都是几何学中的概念，与向量的投影概念相去甚远;而仅从正投影中的“垂直”，以及旧教材中向量投影的图示中的“垂直”来看，两者有些许联系.

第二处是旧教材必修二第一章“空间几何体”的“1.2.3 平行投影与中心投影”，在这一节中仅简单回顾了平行投影与中心投影的概念，同时与前一节的斜二测画法有所呼应. 但并未提及正投影的概念，也没有与向量投影有所联系.

第三处是旧教材必修四第二章“平面向量”的“2.4 平面向量的数量积”中给出的向量的投影概念.

从上述三处与投影概念相关的内容中可见，实际上旧教材把投影分为了几何含义上的投影以及向量含义上的投影. 两个投影在形成过程中具有联系，即都是通过一个物体（向量）垂直于另一个物体（向量）产生的，但旧教材并没有把它们明确地联系起来，而是简单地把向量投影定义为某个数值.

（2）新教材中的投影与投影向量

相对旧教材，新教材给出了新的投影概念以及相应的投影向量的概念. 在新教材中，投影是一个变化过程，在这个过程中涉及了几何中的点线垂直;投影向量则是一个向量起点和终点垂直于另一个向量上的产物;这与初中几何的正投影概念的联系更为紧密. 同时，较旧教材中作为数量的向量投影，投影向量是向量，这丰富了向量章节的内容.

此外，在新教材中删除了旧教材必修二中平行投影與中心投影的内容，但在选择性必修第一册第一章“空间向量与立体几何”中的“1.1.2 空间向量的数量积运算”，进一步给出了空间中投影向量的概念，以及向量在直线上的投影、向量在平面上的投影的变换方式. 投影含义的改变以及新增投影向量的概念，使得初高中内容衔接以及整个向量体系更紧密.

2. 从数学知识结构看新增投影向量的合理性

（1）投影向量与数量积

根据投影向量的定义，设a，b是两个非零向量，θ是a与b的夹角，则a在向量b上的投影向量为

a

cosθ，此时该投影向量与b共线，且

a

cosθ为该投影向量的模;a与b的数量积为a·b=

a

b

cosθ.

在平面内任取一点O，设=a，=b，a与b的夹角为θ，过A作直线OB的垂线，垂足为A′，则为a在向量b上的投影向量，即=

a

cosθ.

若=0，则与的数量积为0;若θ∈

0，

，则与同向，根据数量积的定义，与的数量积为

a

cosθ

b

=

a

b

cosθ;若θ∈

，π

，则与反向，根据数量积的定义，与的数量积为-

a

cosθ·

b

=

a

b

cosθ.

综上，a·b=·，即a与b的数量积可理解为a在b上的投影向量与b的数量积.

（2）投影向量与距离公式

根据投影和投影向量的定义，a在向量b上的投影向量的模长

可理解为O到AA′的距离，即投影向量与点到直线的距离存在联系.

不妨从投影向量的角度来看点到直线的距离公式的向量形式：

设直线AB，O是直线AB外一点，n⊥，θ是n与的夹角，则在n上的投影向量为

cosθ=

··=·，它的模长为

·cosθ

=. 由于n⊥，因此在n上的投影向量也垂直于，所以是O到直线AB的距离.

投影向量除了与点到直线的距离存在联系外，也与点到平面的距离存在联系. 不妨也从投影向量的角度来看点到平面的距离公式的向量形式：

首先需要明确空间中向量在平面上的投影向量的概念.

课本定义3（新教材）[6]：在空间中，设向量a=，平面β，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.

设平面α，A是平面α内一点，P是平面α外一点，n⊥α，θ是n与的夹角，则在n上的投影向量为

cosθ=

·=·，它的模长为

cosθ

=. 由于n⊥α，因此在n上的投影向量也垂直于α，所以是P到平面α的距离.

（3）投影向量与正交分解和直角坐标系

不妨分别在平面内和空间中看投影向量与正交分解和直角坐标系的联系.

定义：平面内，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解[4].

设平面内的两个互相垂直的向量e1，e2组成一个基底{e1，e2}，任一向量a可以分解为a=xe1+ye2，则a在e1，e2上的投影向量分別为

a

cos〈a，e1〉=e1= e1= xe1，

a

cos〈a，e2〉=e2=e2=ye2，即a在e1，e2上进行正交分解所得的分向量就是a分别在e1，e2上的投影向量.

更进一步，设平面内的两个互相垂直的单位向量i，j组成一个基底{i，j}，任一向量a可以分解为a=xi+yj，则a在i，j上的投影向量分别为

a

cos〈a，i〉=i=i=xi，

a

cos〈a，j〉=j=j=yj. 由于a由（x，y）唯一确定，（x，y）为a的坐标，因此a的坐标分别对应它在i，j上的投影向量的模长.

定义：空间中，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解[6].

设空间中的三个两两垂直的向量e1，e2，e3组成一个基底{e1，e2，e3}，任一向量a可以分解为a=xe1+ye2+ze3，则a在e1，e2，e3上的投影向量分别为

a

cos〈a，e1〉·=e1=e1=xe1，

a

cos〈a，e2〉=e2=·e2=ye2，

a

cos〈a，e3〉·=e3=e3=ze3，即a在e1，e2，e3上进行正交分解所得的分向量就是a分别在e1，e2，e3上的投影向量.

更进一步，设空间中的三个两两垂直的单位向量i，j，k组成一个基底{i，j，k}，任一向量a可以分解为a=xi+yj+zk，则a在i，j，k上的投影向量分别为

a

cos〈a，i〉=i=i=xi，

a

cos〈a，j〉=j=·j=yj，

a

cos〈a，k〉=k=k=zk. 因为a由（x，y，z）唯一确定，（x，y，z）为a的坐标，所以a的坐标分别对应它在i，j，k上的投影向量的模长.

3. 从物理学科看新增投影向量的合理性

已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，把数量

a

b

cosθ叫做向量a与b的数量积，即a·b=

a

b

cosθ[4]. 这是新旧教材中均给出的数量积的定义. 物理中，质点在力F作用下产生位移s，则对质点所做的功就是F·s. 即物理对功的定义与数学向量的数量积相关.

物理中，并非所有作用于质点的力F均会做功，而是在位移方向上的力才会做功，即力F在位移s上的分力才会做功. 因此，与位移s共线的F的分力才是关注的重点.

实际上，由投影向量的定义可见，a在b上的投影向量是与b共线的a的分向量. 这与物理中的与位移s共线的F的分力相呼应，并且与物理的正交分解以及数学的平面向量基本定理和向量的正交分解相联系. a与b的数量积等于a在b上的投影向量与b的数量积，也与物理中只有力F在位移s上的分力才会做功、力F与位移s垂直的分力不做功相对应.

[?]投影向量教学的可行性分析

结合前文对投影以及投影向量的合理性分析，投影与投影向量与学生已有的认知基础相关，与学生其他学科的学习相关，与后续形成新的数学认知结构相关. 接下来就投影与投影向量的引入，概念内涵的揭示，公式与变形以及应用等方面提供教学建议.

（1）投影与投影向量的引入：投影与投影向量和物理中力的正交分解以及力的做功有着密切联系，教学中可以用力的正交分解或力的做功進行引入，同时要强调投影与投影向量这两者的联系，从而加强学科间的联系，使得学生能体会到数学在物理中的应用.

（2）投影与投影向量概念内涵的揭示，教学中需要注意以下几点：

一是强调a在b上的投影向量与b的联系，即它是b的共线向量.

二是着重投影向量计算公式的推导，并让学生理解投影向量由两部分组成（

a

cos〈a，b〉与），这要求教学该内容前学生能充分理解与b同向的单位向量与b的关系，教学中理解投影向量与b的共线关系以及投影向量的本质是一个向量.

三是深入投影向量计算公式的相关变式，如揭示投影向量的模长计算公式

a

cos〈a，b〉

=

a

cos〈a，b〉

=

a

cos〈a，b〉

，以及不限于求a在b上的投影向量，而是求向量在不同方向上的投影向量，如a+b在2a+3b上的投影向量为

a+b

cos〈a+b，2a+3b〉.

（3）投影与投影向量的应用，教学中需要注意以下几点：

一是强调投影向量与数量积的联系，包括强调投影向量计算公式的变形，

a

cos〈a，b〉=

a

··=b，强调用投影向量理解数量积以及解释力做功，如a与b的数量积可理解为a在b上的投影向量与b的数量积，教学中用投影向量的特性证明数量积的分配律.

二是强调投影向量与正交分解以及直角坐标系的联系. 教学中可与学生探究向量分别在两个互相垂直的向量上的投影向量的联系，以及在两个互相垂直的单位向量上的投影向量的联系，以此初步渗透坐标表示向量的概念. 由此，可加强学生对投影向量本身性质的理解，同时可给后续正交分解以及向量的坐标表示做铺垫，并且构建起投影向量与向量坐标的联系.

三是渗透点到直线的距离公式及其向量表示. 教学中需要引导学生转换角度观察a在b上的投影向量与a和b的起点、终点以及投影本身暗含的垂直条件的联系，以此丰富学生的思维能力，渗透点到直线的距离公式及其向量表示，为后续求空间中点到直线、点到平面的距离公式与其向量表示做铺垫.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验版）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2021.

[3]  人民教育出版社. 普通高中课程标准实验教科书数学必修4[M]. 北京：人民教育出版社，2007.

[4]  章建跃，李增沪. 普通高中教科书数学必修第二册（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2021.

[5]  林群. 义务教育教科书数学九年级下册[M]. 北京：人民教育出版社，2014.

[6]  章建跃，李增沪. 普通高中教科书数学选择性第一册（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2021.