溯源——利用点差法深究圆锥曲线中点弦的存在性问题

余隆兰

[摘  要] 文章通过类比、对比，利用点差法深度挖掘圆锥曲线中点弦的存在性问题.

[关键词] 中点弦;圆锥曲线;点差法

圆锥曲线与中点弦有关的问题是高考的热点之一，就椭圆而言，弦的中点必在椭圆内，那么椭圆内的点是否都存在中点弦呢？对于双曲线、抛物线这类“开放”的曲线是否有类似的结论？对此鲜有文章利用中学生容易掌握的方法给出一般结论及其证明，本文通过类比、对比，利用点差法深度挖掘圆锥曲线中点弦的存在性问题，帮助学生构建一个完备的知识体系，抓住问题的本质，理解题目设计的本源.

定理1：设椭圆C：+=1（a>b>0），点P（x，y）为平面内异于原点的一个点，当且仅当点P在椭圆内（如图1所示的阴影区域，不含边界），即+<1时，存在过点P的直线l，使得l交C于A，B两点，且点P为AB的中点，直线l的方程为x=x或y-y=-（x-x）.

证明：（1）必要性：①当点P（x，y）在椭圆C内，且点P在x轴上时，存在直线l满足题意，直线l的方程为x=x.

②当点P（x，y）在椭圆C内，且点P不在x轴上时.设A（x，y），B（x，y），点P为AB的中点，则=x，=y.

因为A，B两点都在椭圆C上，所以+=1，+=1.两式相减得+=0，整理得=-= -，故k=-，其中x≠x，y≠0.所以直线l的方程为y-y=-（x-x）.

因为点差法的使用前提是直线与曲线有两个交点，所以需要检验直线l与椭圆C是否有两个交点. 此处可以用联立方程组来证明，但计算烦琐，此时可以结合图像来处理这个问题.

检验：因为直线l过椭圆C内的点P，所以直线l与椭圆C必有两个交点.

综上所述，直线l的方程为x=x或y-y=-（x-x）.

（2）充分性：设在椭圆C上存在两点A（x，y），B（x，y），使得点P（x，y）为AB的中点，结合图像知，点P在椭圆C内，满足+<1.

事实上，当点P为原点时，存在无数条过P的直线l，使得l交椭圆C于A，B两点，且点P为AB的中点.

若椭圆的方程为其他形式，也有类似的结论.

定理2：设双曲线C：-=1（a>0，b>0），点P（x，y）为平面内异于原点的一个点，当且仅当点P在如图2所示的阴影区域内（不含边界），即->1或-<0时，存在过点P的直线l，使得l交C于A，B两点，且点P为AB的中点，直线l的方程为x=x或y-y=（x-x）.

证明：（1）必要性：①当点P（x，y）在如图2所示的阴影区域内，且在x轴上时，存在直线l满足题意，直线l的方程为x=x.

②当点P（x，y）在如图2所示的阴影区域内，且点P不在x轴上时，设点A（x，y），B（x，y），点P（x，y）为AB的中点，则=x，=y.

因为A，B两点都在双曲线C上，所以-=1，-=1. 两式相减得-=0，整理得==，故k=，其中x≠x，y≠0. 所以直线l的方程为y-y=（x-x）.

因为点差法的使用前提是直线与曲线有两个交点，所以需要检验直线l与双曲线C是否有两个交点. 此处可以结合图像处理这个问题：

当点P在阴影区域①或②内时，因为->1，所以>，即

>，所以

k=

>，即k>或k< -.所以，当点P在阴影区域①或②内时，结合图像可知，直线l与双曲线C的某一支必有两个交点.

当点P在阴影区域③或④内时，因为-<0，即

<，所以

k=

<，即-

所以，直线l与双曲线C必有两个交点.

综上所述，直线l的方程为x=x或y-y=（x-x）.

（2）充分性：假设在双曲线上存在两点A（x，y），B（x，y），使得点P（x，y）为AB的中点.

当A，B两点在双曲线C的同一支上时，显然点P在阴影区域①或②内，满足->1.

当A，B两点分别在双曲线C的左、右两支上时，x≠x，-=1且-=1，两式相减得-=0（?）.

当y=-y时，x=-x，A，B两点关于原点对称，故点P在原点处.

当y≠-y时，x≠-x，y≠0，（?）式可整理成==，故k=.

因为A，B两点分别在双曲线C的左、右两支上，所以

k=

<，即-<0.

综上所述，->1或-<0.

事實上，当点P为原点时，存在无数条过P的直线l，使得l交双曲线C于A，B两点，且点P为AB的中点.

若双曲线的方程为其他形式，也有类似的结论，读者可以自行证明.

定理3：设抛物线C：y2=2px（p>0），点P（x，y）为平面内一点，当且仅当点P在抛物线C内（如图3所示的阴影区域，不含边界），即y<2px时，存在过点P的直线l，使得l交C于A，B两点，且点P为AB的中点，直线l的方程为x=x或y-y=（x-x）.

证明：（1）必要性：①当点P（x，y）在抛物线C内，且点P在x轴上时，存在直线l满足题意，直线l的方程为x=x.

②当点P（x，y）在抛物线C内，且点P不在x轴上时，即y<2px，且y≠0. 设A（x，y），B（x，y），点P为AB的中点，则=x，=y.

因为A，B两点都在抛物线C上，所以y=2px，y=2px. 两式相减得y-y=2p（x-x），整理得==，故k=，其中x≠x，y≠0.

故直线l的方程为y-y=（x-x）.

检验：因为直线l过抛物线C内一点P，所以直线l与抛物线C必有两个交点.

综上所述，直线l的方程为x=x或y-y=（x-x）.

（2）充分性：设在抛物线C上存在两点A（x，y），B（x，y），使得点P（x，y）为AB的中点，结合图像，显然点P在抛物线C内，满足y<2px.

利用点差法解决圆锥曲线中点弦的存在性问题，运算简洁，结构紧凑，操作性强，但是它的使用前提是直线与曲线有两个交点，这也是点差法的局限性. 此外还可以用联立方程组法进行证明，但是计算烦琐，学生不易掌握，可以作为课外自主探索.