浅析高中数学数形结合思想在函数解题中的运用

王苑婷

摘  要：在高中数学函数解题过程中，借用数形结合的方式可以将抽象的问题具体化，有效提升学生的解题效率。数形结合指的是解决问题时，结合直观的图像以及抽象的代数关系，对实际问题进行研究，继而转化图形特点和代数关系。高中阶段数学的学习要求学生有扎实的基本功、对原理理解透彻、能够举一反三运用公式，还需要形成独立的数学思维。基于此，文章将对高中数学课堂中数形结合思想在函数解题中的运用进行分析。

关键词：高中函数学习；数形结合；数学思维

一、高中数学课堂中数形结合思想在函数解题中的重要性

数形结合的解题策略为解决高中函数中的复杂问题找到了新的突破口。高中学生遇到的函数问题，最常见的就是理解不透题目的含义，还有一类题目只是将数字告知了学生，学生需要根据题目给出的数据画出相应的函数图像，这样才能够快速找到解决问题的思路。另外，有的题目只是给了函数图像，需要学生将数据补充在图形中。在遇到以上问题时，学生会无从下笔。一旦见到题目中给出明确的数据，学生最好能够联想与此相关的几何图形，这样才能够准确把握含义并将题目中所给出来的数据添加到绘制的图形中。借助数形结合的理念可以实现数量概念和几何图形之间的灵活转化，这样可以通过两者之间的关系准确地分析题目，数形结合的解题方案既可以让老师在讲授复杂的函数题目时掌握简洁高效的教学方式，提升教学能力和效率。

二、运用数形结合解决函数问题的思路

（一）巧用直观图示，强化学生对函数的认知

数学概念是对事物本质的反映，在数学学习的过程中，通过推理分析和想象加深学生对数学概念的理解，在高中函数知识中，数学概念能够明确地反映数量关系，所以学生在学习高中函数时一定重视符号以及文字，但是由于函数学习非常考验逻辑思维能力，所以学生会感到难度较大，而且学生的想象力也达不到理想的水平，不能将数形结合渗透在函数教学中，因此可以用直观真切的语言，将抽象的函数概念具体化，有效地加深学生对函数知识的理解，大大提升学生的学习效率。

（二）注重对函数的多语言表达，教会学生转化的方法

高中数学函数知识中主要包含符号语言、函数的图像语言以及函数的文字语言三种不同的表达形式，在一定程度上为学生学习函数知识提供了便利条件，学生可以通过不同语言的相互转化来加深对函数知识的理解。

（三）有效借助函数模型，深化学生的理解

教师除了用基本的函数形式和定义对学生进行讲授教学之外，还可以借助具体的函数模型加深学生对函数知识的理解，让学生能够从多维度分析函数的概念。函数模型的引入不仅可以帮助学生发展思维，还可以加固学生的记忆。在此基础上，教师可以引导学生观察函数图像的变化规律，在此基础上分析总结出函数图像的性质。

（四）借用多媒体技术，直观呈现函数图像

在高中函数教学过程中，教师一定要抓住多媒体技术这一重要的教学载体。多媒体教学可以借助图像甚至是动画的形式，为学生真切地呈现函数图像的变化以及特征，这样不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以活跃课堂教学氛围，最重要的是多媒体教学与传统的教学形式相比更加真切、更加直观，并且还可以重复多次呈现，大大节省了教学成本，提升了教学效率。

三、高中数学课堂中数形结合思想在函数解题中的运用

（一）以数解形

1. “解析几何”中的数形结合思想

（1）解析几何中的“圆”类问题

数形结合的解题思路可以快速解决圆类的函数问题。在传统的解题步骤中，解析几何原理问题时，主要通过圆之间的位置关系或者是圆与直线的位置关系、圆的标准方程等展开，在判断圆与直线位置关系时一般都要建构直角坐标系，这样能够帮助学生更清晰地观察到直线和圆之间的位置关系，但是这样的解题步骤很繁琐。以数解行的思路用于判断圆与直线的位置关系的话，可以通过计算圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，当直线与圆心之间的距离超过了圆的半径的话，那么直线就在圆外。

例1：当曲线y=1+与直线y=k（x-2）+4有两个相异的交点时，实数k的取值范围为什么？

分析：曲线y=1+即为x2+（y-1）2=4，（1≤y≤3），表示以A（0，1）为圆心，2为半径的上半圆，直线l：y=k（x-2）+4恒过定点B（2，4）。当直线l经过点M时，满足题意，将直线l绕点B按照顺时针方向转到切线PT时，也满足题意。而M（-2，1），又KMB=。由=2，解得kMT=，所以，k的取值范围为

分析：解决直线与圆的交点个数问题时，先根据题意画出合适的直线，然后将其旋转找出符合题意的活动范围。

（2）解决不等式之类的问题

运用数形结合的解题思路解决解析几何中的不等式问题，主要是化解原来的不等式，一般是将其转化为一个曲线方程，然后再在数轴上呈现曲线方程，在计算的过程中要注意值域与定义域，然后几个图形的交集就是不等式的解集。

例2：+>4。

解析：把原式变形，可得>4-。y1=，y2=，将这两个式子再次变形，可得x2+y=16（y1≥0）和（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）。观察可知这两个式子都是半圆，可以在直角坐标系中呈现出来。所以，直角坐标系中两个半圆的重合部分就是不等式的解集。综合分析可得原不等式的解集为0

（3）求函数的奇偶性问题

借助图形的直观性将函数奇偶性的数学概念形象化、简单化，可以充分感知，在已知的条件下理解奇偶性的内涵，解决数学问题，形成数学思想的目的。

例3：已知函数f（x）是在R上的奇函数，在x≥0时，  f（x）=x（1+x）。试求在x<0时，函数f（x）的解析式。

解析：若求x<0时的解析式，则-x>0，从而满足所给的条件，所以f（-x）=（-x）［1+（-x）］=x（x-1），又函数f（x）为R上的奇函数，从而有f（-x）=-f（x），所以有f（x）=-x（x-1）。

此方法运用奇函数的定义，根据解析式求出。

2. “立体几何”中的数形结合思想

例4：已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为根号3，那么P到平面ABC的距离为（ ）。

分析：如图2，过P点做平面ABC的垂线段PO，再做PE⊥CB，PF⊥CA可得OE⊥CB，OF⊥CA，在Rt△PCF中，由PC=2，PF=，可得出CF=1，同理在Rt△PCF中可得出CE=1，结合∠ACB=90°，可得出OE=OF=1，OC=，PO==，立体几何能充分反映以数解形的思想，如角度、长度、面积、体积等，这些问题的考查与解答都离不开数形结合。

（二）数形结合

“数形结合”指利用函数解析式，作出函数的图像，然后根据函数图像的“图像特征”得到具体的“代数关系”来解决数学问题。如题：已知a是常数，函数f（x）=x3+（1-a）x2-ax+2的导函数y=f′（x）的图像如图3所示，则函数g（x）=ax-2的图像可能是（    ）

本题应当先对参数a的取值范围进行确认，主要通过函数解析式以及二次函数性质进行确定，根据取值将g（x）图像画出。画图像时，要跟指数函数性质联系起来，按照参数的取值对它的加减性进行判断，最后通过绝对值性质转换图像。本题通过“代数关系”与“图像特征”的互相转换可以快速解决问题。

（三）以数辅形

“以数辅形”指依据函数所包含的代数关系，理解或得出函数的具体图像特征。代数关系是解决问题的工具，通过对数的分析，来对形进行研究，达到“形”的目的。形的模糊往往使用精确的数表达，如题：

例如图4，在边长为2的等边三角形ABC中，一条和ab呈90度角关系的直线L由a点出发从左往右移动，把三角形ABC分为两部分，假如线段AD=x。

（1）把直线L左边图形面积的函数解析式写出来。

（2）在直角坐标系中把函数图像画出来。

本题从平面图形的面积出发，让学生探究直线L左边图形的面积和线段AD的代数关系。通过图形的形状和平面图形的面积公式得出相应的代数关系即函数解析式，并根据解析式画出函数图像。正确解题思路是当0

（四）数形结合思想渗透教学的启发

1. 循序渐进。数学思想方法一般以数学问题为载体，蕴含在知识的形成过程中。如函数，从函数的概念到函数的应用，都离不开数形结合思想。学生对思想方法的认知从了解到应用需要经历一个漫长的教学过程，只有循序渐进地渗透，才能使学生真正地在学习数学知识过程中掌握数学思想方法。

2. 注重变式教学。在教学实际中，不少教师为巩固练习而时常缩短讲解新课的时间，这样容易导致学生建立题型与解题方法之间的联系，很难发现数学思想的本质。要想从中剥离出所蕴含的数学思想，变式教学就尤为重要。

3. 明确目标。在数学教学过程中，教师和学生容易忽略数学思想是否掌握。如函数性质的教学，多数学生会将重点放在掌握函数的性质上，却没有意识到数形结合方法的重要性。通过数形结合画出图像，能够更直观有效地研究性质。因此，在教学过程中，不断强调掌握数学思想方法也是重要的教学目标。

数形结合与高中函数的有机融合不仅帮助学生将抽象复杂的题目变为直观真切的图像，还帮助学生迅速整理思路、确定解题方案，缩短解题时间。通过以数解形、以数辅形等方式，也能够将图形信息转化为数量信息。以数解形、以形助数，将图形的直观与数据的精确巧妙融合，既提升了教师的课堂教学质量，也优化了学生的解题思路和方式，为学生更好地掌握函数相关知识以及提升学生的数学学科素养都起到了积极的推进作用。

参考文献：

［1］靳国宝，许雪艳，吕家云，等. 高校《塑料成型工艺与模具设计》课程教学中的问题与对策［J］. 广东化工，2016（03）：205-206.

［2］邵洪旭. 高职模具专业《塑料成型工艺与模具设计》课程教学研究［J］. 现代职业教育，2018（04）：43.

（责任编辑：淳  洁）