一道莫斯科数学奥林匹克问题的解法探究

2022-04-26宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇东台学校邮编755000

中学数学教学 2022年2期

关键词：补角易知直角坐标

宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇东台学校张宁（邮编：755000）

问题（第82 届莫斯科数学奥林匹克（八年级）第5 题）已知在等腰△ABC内有一点K，使得AB=BC=CK，∠KAC=30°，试求∠AKB.

解法1（构造等腰三角形）如图2，过点B作BD⊥AC，垂足为D.延长AK，交BD于点I，连接IC.因为BC=CK，所以将△ICK绕点C沿顺时针方向旋转∠BCK，则点K落在点B处.

图1

图2

设点I落在点E处，连接BE、CE、IE.

因为∠KAC=30°，所以∠AID=60°，∠AIB=120°.由等腰三角形的性质，易知∠AIC=120°，所以∠BIC=120°.由旋转的性质，易知∠BEC=∠AIC=120°，IC=CE，IK=BE.由IC=CE，可知∠CIE=∠CEI，所以∠BIE=∠BEI，即IB=BE，所以IK=IB，即∠IBK=∠IKB=30°，所以∠AKB=180°－∠IKB=150°.

点评欲求∠AKB，只需求得其邻补角即可.利用已知条件∠KAC=30°，构造Rt△AID，易知∠AID=60°，∠AIB=120°.在△BIK中，只需证明IK=IB，即可求得∠IKB.在△ICB和△ICK中，BC=CK，IC是公共边，∠AIB=∠AIC=120°，是钝角三角形中的“边边角”问题，不能利用这三个条件直接证明△ICB≌△ICK，无法得知IK=IB.为此借助图形旋转变换证明IK=IB.这种解法通俗易懂，是一种较为简洁的求解方法.

解法2（构造辅助圆）如图3，以点B为圆心，以AB为半径作圆，延长AK，交⊙B于点E，连接BE、CE.

图3

因为AB=BC，所以点C在⊙B上.

因为∠KAC=30°，所以∠CBE=60°，即△BCE是等边三角形.

由CK=BC=CE，可知点B、E、K在以点C为圆心，CK为半径的圆上.

由圆的性质，易知∠BKE=∠BCE=30°，所以∠AKB=180°－∠BKE=150°.

点评根据已知条件AB=BC=CK，易知点A和点C在以点B为圆心，AB长为半径的⊙B上.点B和点K在以点C为圆心，BC长为半径的⊙C上，显然⊙B和⊙C是等圆.由圆的性质，易知∠CBE=2∠KAC=60°，∠BKE=∠BCE=30°.从而可知∠AKB=180°－∠BKE=150°.这种解法通俗易懂，求解过程简洁明了，是一种非常精妙的求解方法，令人拍案叫绝！

解法3（解析法）如图4，以AC边所在直线为x轴，以过点B且垂直于AC的直线为y轴，建立平面直角坐标系.作点K关于x轴的对称点D，连接AD、DK、BD、CD.

又因为AB=BC=CK=CD，所以AB=BD.

易知∠KAD=60°，AK=AD，所以△ADK是等边三角形，即AK=DK.从而易知△ABK≌△DBK，所以∠AKB=∠DKB，故∠AKB=(360°-∠AKD)=150°.

点评由∠KAC=30°，易想到构造等边△ADK，只需证明AB=BD，即可求得∠AKB.因为AB=BC=CK=CD，所以只需证明BD=CD，这里采用解析法证明.这种解法通俗易懂，但计算量较大，容易出现计算失误.解析法是将几何问题代数化的一种解题方法，利用这种方法解决几何问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，将已知条件转化为某些关键点的坐标，然后利用解析几何相关知识解决问题.

解法4（解析法）如图5，以AC边所在直线为x轴，以过点B且垂直于AC的直线为y轴，建立平面直角坐标系.延长BK，交x轴于点D.