巧解一道代数求值题

徐令芝 胡芳举

题目已知实数a，b，c，k满足k=2（a+1a）=3（b+1b）=4（c+1c），且ab+bc+ca=1，求k的值.

该题题干简洁、优美，引起了老师们的热议，受大家的启发，本文结出了该题的三个简解.

解法一：设∑a=x（其中∑表示对a，b，c循环求和），1abc=y，则∑1a=∑ababc=1abc=y∑a2=（∑a）2－2∑ab=x2－2，∑1ab=∑aabc=xy，∑1a2=（∑1a）2－2∑1ab=y2－2xy，∑abc=∑abcc2=abc∑1c2=1y·（y2－2xy）=y－2x，∑abc=∑a2abc=1abc∑a2=（x2－2）y.

由题设得a+1a=k2 ①， b+1b=k3 ②，c+1c=k4 ③.

由①+②+③得∑a+∑1a=1312k，∴x+y=1312k ④.

∵∑（a+1a）2=∑a2+∑1a2+6=（x2－2）+（y2－2xy）+6=x2－2xy+y2+4，∴由①2+②2+③2得∑（a+1a）2=k24+k29+k216=61144k2，∴x2－2xy+y2+4=61144k2 ⑤，又∵（a+1a）（b+1b）（c+1c）=abc+∑abc+∑abc+1abc=1y+（y－2x）+（x2－2）y+y=x2y－2x+1y=（xy－1）2y，∴由①×②×③得（xy－1）2y=k324，∴（xy－1）2=k3y24 ⑥.

由④2-⑤得xy－1=3k216⑦，代入⑥得y=27k32，再代入④得x=23k96，将x，y代入⑦得k=±321515.

解法二：易知a，b，c，k同号，当a，b，c>0时，令a=tanA2，b=tanB2，c=tanC2，A，B，C∈（0，π），∵ab+bc+ca=1，∴c=1－aba+b，∴tanC2=1－tanA2tanB2tanA2+tanB2，∴tanC2=cotA+B2，cotπ－C2=cotA+B2.∴A+B2=kπ+π－C2，k∈Z，∴A+B+C=（2k+1）π，又A+B+C∈（0，3π），∴A+B+C=π.

又a+1a=tanA2+1tanA2=sinA2cosA2+cosA2sinA2=2sinA，同理b+1b=2sinB，c+1c=2sinC，代入k=2（a+1a）=3（b+1b）=4（c+1c）得4sinA=6sinB=8sinC=k，作ΔABC，使AB=8，BC=4，CA=6，則cosC=42+62－822×4×6=－14， ∴sinC=154， ∴k=8sinC=321515.

易知当a，b，c<0时，∴k=－321515，∴k=±321515.

解法三：∵ab+bc+ca=1，∴a+1a=a2+1a=a2+ab+bc+caa=（a+b）（a+c）a，同理b+1b=（b+a）（b+c）b，c+1c=（c+a）（c+b）c，∴k=2（a+b）（a+c）a=3（b+a）（b+c）b=4（c+a）（c+b）c，∴k（a+b）（b+c）（c+a）=2a（b+c）=3b（c+a）=4c（a+b）=2+3+4a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）=92（ab+bc+ca）=92，∴a（b+c）=49，b（c+a）=69，c（a+b）=89，又ab+bc+ca=1 ，∴1－bc=49，1－ca=69，1－ab=89，∴bc=59，ca=39，ab=19，∴（abc）2=1593，∴abc=±1527.

又a（b+c）·b（c+a）·c（a+b）=49·69·89=64243，∴（b+c）（c+a）（a+b）=64243abc=±6415135，又k（a+b）（b+c）（c+a）=92 ，∴k=92（a+b）（b+c）（c+a）=±321515.