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三角形中巧求值

2022-07-24胡芳举

数理天地(高中版) 2022年9期
关键词:易知共圆平分

胡芳举

題目 已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD=BE=1,CE平分∠BCD,求CE的长度.

解法1 平面几何方法

先作相似旋转变换

△CBE∽△CAF,

连接FD交AC于G、交CE于N,如图1,

则∠FCN=90°,∠DAF=90°,

因为BE=AD=1,

所以CBCA=BEAF=ADAF,

于是有Rt△CBA∽Rt△ADF,

所以∠1=∠2,FN∥CB,∠3=∠4=∠5,

即CD=DN=DF,

易知A,E,C,F四点共圆,

所以∠6=∠7,

又∠DAF=90°,且FD⊥AG,

所以∠6=∠8,∠7=∠8,

Rt△CFE∽Rt△AFD,

即CECF=ADAF,CE2=CF2AF2=FG·FNFG·FD=2,

所以CE=2.

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