联通融通变通，打造精准高效的复习课堂——以“因数和倍数”整理与复习为例

江苏省无锡市经开区东绛第二实验学校 赵 红

复习课是数学课堂教学的重要课型之一，而在日常教学活动中，教师往往更多地关注单元新授课的教学，对单元复习课或大单元的整理与复习课“敬而远之”，题海式、讲练式的复习课屡见不鲜，究其原因：复习课的教学设计对教师的教材把握能力和整合能力要求更高，教师需要引导学生将平时相互割裂的知识点再现、梳理、整合、归纳……使之系统化、体系化，并通过组织高效的教学活动，帮助学生加深对知识的理解与内化，积累解决问题的经验方法，实现学生思维品质与学习能力的提升。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性……”数学是一门具有严密知识结构和逻辑体系的学科，每一个知识点都不是孤立存在的，而是处于一个联通的整体体系之中。因此，教师在进行复习课教学时，首先，应对复习课进行整体的“顶层”设计，借助知识之间的整体脉络结构，引领学生将碎片化的知识点串联起来，构建知识体系；其次，以学生思维和能力的发展为统领，对复习内容进行全面系统设计，引导学生加强对数学方法的归纳总结，提炼学习策略，将数学思维进行融通；最后，通过具有针对性、综合性和开放性的习题设计，帮助学生举一反三，触类旁通，提高其分析问题、解决问题的能力，发展数学核心素养。

一、精选素材，唤醒复习初认知

“因数和倍数”单元涉及的知识点较多：因数和倍数，质数和合数，公因数和公倍数，质因数和分解质因数……并且这些知识点之间的联系比较隐蔽。而复习课的一大任务就是要将这些零散的知识点进行关联，使学生形成知识体系，加深对概念的理解与认识。因此，本课伊始，教师出示“1、4、5、9、12、23、36、45、51、60”这10个数，让学生用“因数和倍数”单元的相关知识来描述这些数。这10个数囊括了“因数和倍数”单元的相关知识点，学生可以多角度、灵活地选择数字进行表达。如：1、5、9是奇数，4、12是偶数；1既不是质数，也不是合数；4和9是合数，5和23是质数；5和9是45的因数，5也是45的质因数；36是4和9的公倍数……温故而知新，教师以10个数带领学生回忆“因数和倍数”单元的相关知识，一些“点状”的、熟悉的知识点逐渐在学生的脑海中一一浮现。

二、知识重组，梳理融通连体系

教学片段：

师：如果要把这10个数分一分类，同学们，你们想怎么分？

生：我想分成奇数和偶数。

师：按照这个同学的想法，我们一起来分一分，奇数有_____________ ，偶数有_____________ 。

师：把自然数分成奇数和偶数，分类的依据是什么？

生：按照是不是2的倍数来分，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数就是奇数。

师：你的思路很清晰。在研究了2的倍数以后，我们还研究了3、5的倍数特征。还记得它们的倍数特征吗？

生1：个位上是0或5的数，就是5的倍数。个位上如果是0的话，那么这个数既是2的倍数又是5的倍数。

生2：判断一个数是否是3的倍数，不可以只看个位上的数，要把各个数位上的数相加，看和是不是3的倍数。

师：同学们对于倍数的特征掌握得真不错！刚才我们按照是不是2的倍数把这10个数分成了奇数和偶数，还可以怎么分类？

生：按照因数的个数，我把它们分为了质数、合数和1。

师：为什么分为这三类？

生：因为质数的因数只有1和它本身两个因数；合数除了1和它本身以外还有其他的因数，至少有3个因数；而1最特殊，它的因数只有一个，就是1。

师：是呀，根据因数的个数也可以将自然数进行分类。这10个数中，哪些是质数，哪些是合数呢？和同桌比一比，看看谁找得又快又准确。

师：把这10个数进行分类，同学们从不同的角度进行联想，从因数的角度思考，想到了可以把它们分为质数、合数和1；从倍数的角度研究，又想到了奇数和偶数，继而联想到2、3、5的倍数特征。那么，关于因数和倍数，我们还要复习什么知识点呢？

生1：我觉得还要去找一个数的因数和倍数。

生2：还找公因数和公倍数、最大公因数和最小公倍数。

生3：还有质因数，把一个合数进行分解质因数。

师：是的！给一个自然数，就可以找到它的因数和倍数；给两个自然数，又可以找它们的公因数和公倍数。接下来，请同学们从这10个数中任意挑选一个数，列举出它的因数和倍数；再任意挑选两个数，用你喜欢的方法找一找它们的公因数和公倍数，以及最大公因数和最小公倍数。开始吧！

（学生自主活动。）

在本单元，“因数”和“倍数”是两个关键概念，由它们可以衍生出一系列子概念和方法。教师以“点”带“面”，以问题驱动引领学生自主梳理，通过让学生将这10个自然数分一分类，由不同的分类依据，引出奇数和偶数、质数、合数和1。接着，从奇数与偶数的分类回溯到2的倍数特征，接着联想到3和5的倍数特征，补充完善倍数这一分支的相关知识点。从质数、合数出发，学生又可以联想到质因数与分解质因数，实现小型知识体系的构建，至此，学生脑海中的“因数和倍数”单元知识点的脉络结构已初具雏形。接着，教师启发学生：“关于因数和倍数，我们还要复习什么知识点呢？”从而回归到本单元的关键概念——因数和倍数，引发学生深入挖掘知识点之间的内在关联：因数与倍数有什么联系？一个数的因数和倍数有什么特征？什么是公因数和公倍数？怎样找到两个数的公因数和公倍数，以及最大公因数和最小公倍数……在这样的教学过程中，教师引导学生主动将零散的知识点穿成串、结成网，从而打破各个概念间的孤立性，在纵横关联、联通融通中把握数学概念，理清概念之间的关系脉络，深化理解，形成对“因数和倍数”单元的整体把握。（如下图）

三、梯度练习，问题解决拓思维

教学片段：

出示对比练习题组：

（1）如果把25块水果糖和30块奶糖分别平均分给一个组的同学，可以正好分完，那么这个小组最多有多少人？

（2）有一包糖果，如果7块7块地数正好数完，5块5块地数也正好数完，这包糖果有多少块？

师：这样两道藏在糖果情境中的数学题目，你能解决吗？先和同桌说一说，一起分析分析。

生1：第（1）小题把两种糖果平均分给一个组的同学，如果正好分完，说明这个组的人数应该既能被25整除，也能被30整除，既是25的因数又是30的因数，也就是25和30的公因数。

生2：我要补充，问题中有“最多”两个字，那么应该是要求这个数是25和30的最大公因数。

师：第一个同学说得很有条理，如果能思考全面就更好了！第（2）小题，你们知道这包糖有多少块吗？

生1：第（2）小题这个糖果的个数，应该既是7的倍数又是5的倍数，就是找7和5的公倍数，7和5是互质关系，这包糖果有35块。

生2：我不同意，35是最小公倍数，但题目中没有说最少有多少块，答案不唯一，只要是7和5的公倍数都可以。

师：你真棒！思考得非常全面，正确分析问题才能有效解决问题。糖果店老板友情提示：这包糖果分给我们班同学的话，每人一块肯定是够的，但如果每人两块就不够了。现在你们知道这包糖有多少块了吗？

生1：我们班42个人，每人一块就是42块糖，应该要大于42。每人两块糖的话一共要84块，但比84块少才行，那就是在42和84之间的一个数。

生2：7和5的最小公倍数是35，每人一块都不够。下一个公倍数是70，每人一块够了，每人两块还不够，这包糖可能有70块。

师：你们的推理能力让老师惊叹，为你们点赞！那如果不够正好分完呢，有没有信心继续挑战？在小组内交流，互相说说想法。

出示变式练习题：有一包糖果，7块7块地数还多4块，5块5块地数又少3块，这包糖果至少有多少块？

生1：我们组是通过画图来表示的，第一幅图是7个正方形为一组圈一圈，最后一组只有4个正方形。第二幅图是5个正方形为一组，最后一组只画了2个正方形。发现两幅图的最后一组和前面相比，都少了3个正方形。

生2：我们组是直接写数字，777……4，555……2，最后的数字都是比前面数字少3。

生3：如果能够正好分完就是7和5的最小公倍数35，但是最后一组都是少了3块，所以只有32块糖。

上面几道练习题的设计，从学生熟悉的生活场景出发，以学生的整体发展为目标，具有层次性、综合性、探索性，满足了不同层次学生的学习需求，使学生的思维得到不同程度的拓展与延伸。在解决实际问题中，题中要求的是公因数还是公倍数，对于概念不清晰的同学来说难以分辨，通过第一组对比题，帮助学生加深对两个概念的理解与辨析。在第（2）小题中又对公倍数和最小公倍数进行辨析，深化理解概念。在练习中加强变式，由糖果数量的不确定性到唯一性，由正好分完到有剩余或缺少，引导学生对比辨析、主动推理，思维含量逐渐加深，但仍处于学生的最近发展区，这样具有挑战性的练习题更能激发学生的探究热情。在练习环节，通过加强变式融通，使学生能够更加全面、深刻地理解最大公因数和最小公倍数，在厘清概念本质的基础上进行实际运用，学生分析问题和解决问题的能力得到提升，体会到了数学的应用价值，催生了高阶思维。

在“因数和倍数”的整理与复习课中，教师紧紧围绕10个数展开复习教学，使学生对因数、倍数的相关知识进行回顾再现、巩固深化，学生头脑中的知识从零散走向系统，从点状走向结构，提高了复习实效。通过层层递进的练习设计，学生在掌握知识技能与方法的同时，学会了用数学的眼光看待问题、用数学的思维思考问题，提高了思维的灵活性和变通性，提升了数学核心素养。