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巧求最大公因数

2019-11-04黄旭军

数学大王·中高年级 2019年10期
关键词:方砖短绳公因数

黄旭军

老师走进教室门口,听到教室里吵成一团。

原来同学们都在指着黑板上的例题议论纷纷。

例题:求6和8的最大公因数。

写出6的因数:1,2,3,6。

写出8的因数:1,2,4,8。

所以6和8的最大公因数是2。

老师说:“很好呀,没错呀!”数学课代表说:“老师,有很大的问题,我发现数字要是大一点,这个方法做起来就太复杂了!”

“对,太复杂了!”很多同学应和道。

老师说:“求最大公因数除了上面这种方法,还有短除法和辗转相除法(更相减损术,这两种方法原理相同)!既然大家这么好学,今天就告诉大家一些“独家秘方”吧!”

例1 一个房间地面长450厘米,宽330厘米,现在计划用正方形的方砖铺房间的地面,请问方砖的边长最长为多少厘米,才能正好将房间的地面无空隙地铺满?

方砖边长的值需要既是450的因数,又是330的因数。所以方砖边长的值需要是450和330的公因数。求方砖的最长边长也就转化成求450和330的最大公因数。

写出450的因数:1,2,6,9,10,15,18,25,30,45,60,225,450。

写出330的因数:1,2,3,5,6,10,11,15,22,30,33,55,66,110,165,330。

找出二者所有的公因数:1,2,6,10,15,30。由此可见,450和330的最大公因数是30。

答:方砖的边长最长为30厘米,才能正好将房间地面无空隙地铺满。

求450和330的最大公因数,可以用短除法。短除法就是先找出两个数的公因数,再用原数分别除以这个因数,把商写下来之后,再继续找这两个商的因数,以此类推。直到最后所剩数的公因数为1。再将左侧一列的数相乘,所得结果便是我们要求的最大公因数。

用短除法求450和330的最大公因数的具体计算过程如右图,所以450和330的最大公因数是5×3×2=30。

答:方砖的边长最长为30厘米,才能正好将房间地面无空隙地铺满。

例2 两根绳子的长度分别是8251厘米和8177厘米,把它们尽可能剪成一些同样长度的短绳。那么这些短绳每根的长度最长是多少?

剪成同样长度的短绳,也可以看成是求出8251和8177的公因数。而求这些短绳最长的长度,也就是求8251和8177的最大公因数。

我们知道8251和8177各自的因数有很多,而8251和8177两个数本身也比较大,求二者的公因数并不适合用短除法,因为计算起来会十分复杂。那么8251和8177的公因数要怎么求呢?

我们试着用辗转相除法的原理来解决这个问题。

根据辗转相除法原理,设两个数的最大公因数是x,则有8251=ax,8177=bx,8251-8177=74=ax-bx=(a-b)x,也就是74=(a-b)x。

将74分解质因数,74=37×2。而8251和8177都是奇数,二者的最大公因數不可能是2,所以8251和8177的最大公因数是37。这些短绳每根的长度最长是37厘米。

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