系统把握：让习题教学更有逻辑

浙江省嘉兴市海盐县三毛小学 何月丰

例题与习题是数学教学最主要的载体。例题是数学教育教学专家根据知识本身的逻辑关系和学生自身的认知特点，结合教育学和心理学的原理，按照一定的序列进行编排的，经过不断优化，已经形成一套较为完备的系统。例如，在教学“平面图形的面积计算公式”时，学生一般会经历“长方形→正方形→平行四边形→三角形→梯形→圆形”这样的过程。根据这样的序列，以及学生的认知能力，教师将这些计算公式安排在不同的年级进行教学，让学生在学习每一个计算公式时，都不会觉得难，进而使学生能较好地理解其形成过程。

那么，学生通过例题学习理解了“平面图形面积计算公式”的形成过程，知道了平面图形面积的计算方法，计算公式的教学是不是就结束了呢？当然不是。接下来，学生还需要做习题，通过解答习题，巩固对计算公式形成过程的理解，熟练运用计算公式解决问题，还要在运用中进一步发现，等等。因此在数学教学中，例题常常仅为某一知识的教学起个头，学生对这一知识学习的真正深刻和深化，依赖于习题。

由此可见，习题与例题一样，在数学教学中同样承担着极其重要的使命。为了更好地实现这个使命，数学教学中的习题，同样具有自身的编排系统，处于这个系统中的每一道习题，有自己独特的功能。教师要系统把握数学中的习题，以使数学习题教学更具逻辑、更显实效。

一、数学中的习题系统

数学中习题的编排具有怎样的系统呢？下面，先以人教版数学五年级上册“平行四边形的面积”一课后编排的“练习十九”为例进行分析。

“练习十九”一共编排了11道习题。仔细分析这11道习题的内容和目标，我们可以清晰地看到这些习题的层次是不一样的。（见下表）

层次 题号 内容 目标1解决问题，已知平行四边形的底和高，求面积（与例1形式匹配）2抽象图形，已知平行四边形的底和高，求面积（3幅图均有变式）3 填表，已知平行四边形的底和高，求面积熟练根据平行四边形的底和高求面积的方法第一层次基础训练4 操作计算，自己测量平行四边形的底和高，求面积解决问题，涉及计算平行四边形面积、单位转化、根据面积计算重量 根据平行四边形的底和高求出面积后，问题跟进10 5在方格图上计算平行四边形的面积，并求三角形面积（平行四边形的一半）变式理解 9 根据平行四边形的面积和底，求高第二层次平行四边形面积计算公式的逆运用已知平行四边形的底和高，求面积，两个平行四边形同底等高 发现等底（同底）等高，面积相等（等积变形）7 6第三层次探索知新根据正方形周长计算平行四边形面积，正方形和平行四边形同底等高8 长方形框架拉成平行四边形，周长与面积的变化 运用推理、平移等知识创造性地解决问题11第四层次综合创新根据大平行四边形的面积，求小平行四边形的面积（一半）

在上表中，笔者将“练习十九”中的11道习题根据其内容和目标分成了四个层次。这种分法以及每个层次的名词当然是基于自己的理解而形成的。这也就是说，我们当然可以根据不同的理解将这11道习题分成三个层次或者五个层次，或者取不同的名词。不过，这都不是最重要的，关键是通过对这些习题进行分层，我们可以看到在一道例题学习之后习题编排的一般序列。

第一层次：基础训练。在一道例题教学之后，教师一定会先让学生做一些非常基础的习题。这些习题在要求上仅仅是将例题中习得的知识、技能进行简单运用，实现对知识、技能的巩固和熟练。例如，“练习十九”中的第1、第2、第3、第4题，都是单纯根据平行四边形的底和高计算面积，第5、第10题都是在计算出面积的基础上，再进行简单问题跟进。这6道习题虽然形式各不相同，但核心目标是一致的——实现对平行四边形面积计算公式的深刻理解和熟练运用。

第二层次：变式理解。在进行了一定量基础习题的训练之后，学生对最基本的运用已经比较熟练，技能得到一定的巩固，这个时候，教师就需要对运用的要求进行适当提升，以进一步实现深刻理解知识。提升的方式常常是“变式”，如正向运用变式为逆向运用、直接运用变式为间接运用等。例如，“练习十九”中的第9题，根据平行四边形的面积和底求高，就是公式的逆运用。虽然是逆运用计算公式，但本质还是在运用的过程中加深对计算公式的理解，是在变式中理解。有些教师认为这道题是蕴含新知识的，该在更高的层次。其实不然，首先，学生已经在三年级学习“长方形面积”的时候，经历过计算公式的逆运用。其次，学生在四年级的时候已经学习了乘除法的关系。因此，对于这样的公式逆运用，感觉不难。这是笔者将其放在“变式理解”的原因。

第三层次：探索知新。例题中蕴含的知识或技能一般是最基础的，一些与例题相关的新知识，常常蕴含在习题中，需要学生通过进一步解题探索发现，以完善认识，实现对知识理解的深化。因此，通过“基础训练”和“变式理解”两个层次进行习题教学之后，接下来，教师就需要通过习题来引导学生进一步探索而知新。例如，“练习十九”中的第6、第7题，表面上依旧是在计算平行四边形的面积，但其中蕴含着等底（同底）等高这一面积计算中非常重要的知识点。

第四层次：综合创新。数学中的知识往往不是孤立存在的，与其他知识之间具有一定的联系。也就是说，一道数学习题，可以关联很多数学知识。学生解答一道这样的数学习题，需要综合运用学过的相关知识，创造性地解决问题。苏联数学家弗里德曼等著的《怎样学会解数学题》一书中指出，解题是一种创新性的活动。波利亚、罗增儒、单墫等解题教学专家都在自己的著作中有过这样的论述，可见这个观点是站得住脚的。例如，“练习十九”中的第11题，就是一道这样的习题。解答这道习题，我们可以将两边的空白三角形平移到一起，就能直观看到阴影部分是整个图形面积的一半；可以连接A、B两点，构成4个完全一样的三角形，进而通过平均分计算得到阴影部分的面积；还可以根据平行四边形的面积计算公式进行推理，阴影部分这个小平行四边形的高和大平行四边形的高是一样的，底是大平行四边形的一半，所以，面积也是大平行四边形的一半；当然也可以运用等底等高（等积变形）的方法，移动小平行四边形的下底至大平行四边形的最左边，也可直观看到阴影部分是整个图形面积的一半。这些方法都不是直接运用平行四边形面积的计算公式，因此，学生想到其中任意一种方法，都是创造性综合运用所学知识的体现。

通过以上分析，我们可以看到，“练习十九”中习题的编排，具有一个从单一到综合、从简单到复杂、从基础到拓展的序列。“练习十九”是一个相对比较典型的例子，它所反映的习题编排序列自然有一定普适性，因此，这个序列便可理解为是数学习题编排的一般序列。接下来，我们就将这样的习题编排序列进行更为一般化的表示，进行更一般化的解读。

如果我们把平行四边形面积计算公式的教学看成例1，把三角形面积计算公式的教学看成例2，把“练习十九”中11道习题的四个层次看成习题1、习题2、习题3、习题4，数学中的习题系统则可这样表示。（见图1）

图1

从图中我们可以看出，习题1到习题4呈现明显的梯级上升趋势。这种上升趋势主要体现在习题对学生认知能力的要求上，即越上层级的习题对学生认知能力的要求也会越高。同时，以例1对学生认知能力的要求为标准，则在例1之后编排的习题中，对学生认知能力的要求有一个从低于例1到逐步高于例1的过程。这是因为，例1教学之后一开始的习题是基础型的，只是重复训练，因此对学生认知能力的要求是低于例1的，后续的习题逐步走向综合，需要学生探索、创造等，因此对学生认知能力的要求自然会不断提高，并逐渐高于例1。

从图1我们还可以看出，例1之后的习题教学完成后，例2对学生认知能力的要求又回到和例1差不多的程度。即从例1到例2的教学，对学生认知能力的要求并没有呈现出明显的上升趋势。这是因为例1和例2之间一般会存在着一定的逻辑关系，学生在学习例2时已经有了例1作为认知基础，且进行了系统的例1之后的习题学习，在学习例2时，难度与例1相差自然不大。

仔细观察图1，我们还可以发现，在这个习题系统中，在习题4上方，笔者还设置了一个“？”，表示只要我们愿意，围绕例1编排的习题的“难度系数”还可进一步上升，出现习题5这个层次也是可行的。既然如此，我们自然也可以反过来思考，习题5这个层次是可以没有的，那么，习题4这个层次自然也是可以没有的。而这就要依据例1知识本身的特点而定了。倘若例1蕴含的知识、技能非常简单，那么，习题编排只有习题1、习题2这样两个层次也是客观存在的。

以上习题系统的分析是基于一道例题的教学而言的。我们很容易推想，例2教学之后的习题系统，也会呈现这样的梯级上升趋势。当然，如上述考虑到例1和例2本身蕴含知识的难易不一，各例题之后习题系统中的梯级上升层次数也会不一。关于这一点，可如图2表示。

图2

从图2我们可以看出，例1教学后的习题只有两个上升层级，而例2教学后的习题则有四个上升层级。我们不难理解，在例2后的习题3、习题4中，极有可能综合了例1的知识。从这个层面讲，例1之后的习题并不是只有两个层级，只是将更高的层级后移了而已。当然，例2中的习题3、习题4，就更具综合性了。

综合上述分析，数学中的习题系统就比较清晰地展现在我们眼前了。

首先，根据习题本身所含的知识结构具有从单一到综合的序列，根据习题本身的难易程度具有从简单到复杂的序列，根据习题教学的具体目标具有从基础到拓展的序列。

其次，这些习题按一定序列穿插编排在各年级的各例题之间，不同的习题对学生的认知能力提出了不同的要求，总体上呈现出波浪式的发展趋势（如图3）。

图3

二、数学习题系统对习题教学的启示

对数学中习题系统的分析，旨在从中进一步看清习题的价值，发现一些客观存在的规律，进而启示我们的教学。

（一）习题教学要有节奏推进

学习是有客观规律的。遵循学习的客观规律开展教学，能让学生更好地学习。习题系统反映出习题编排是有一定序列的，这个序列便是遵循学习规律的体现。这就告诉我们，习题教学应遵循这样的序列，有节奏推进，梯级上升，这样才能真正帮助学生实现对例题知识学习的深刻和深化，为学生后续进一步学习新知识奠定扎实的基础。

在这里，深刻就是指通过习题教学，将知识深深地刻在学生的脑海中，实现这个目标主要依赖于“基础训练”和“变式理解”这两个层级的习题，这些习题所处的位置可以称为“深刻区域”；深化就是指通过习题教学，将知识进行完善、关联、拓展，使其向更高阶段发展，实现这个目标主要依赖于“探索知新”和“综合创新”这两个层级的习题，这些习题所处的位置可以称为“深化区域”。不难看出，使学生的学习从深刻逐步走向深化，不仅是习题教学的重要使命，还是习题教学有节推进的重要体现。这样的节奏，可如图4表示。

图4

从图4中我们可以看出，“深刻→深化”是大节奏，“基础训练→变式理解→探索知新→综合创新”是小节奏。按这样的节奏开展数学习题教学，便是遵循学习客观规律的体现。

也许，我们能在一些公开课上看到例题教学之后很快就呈现综合性很强的习题。对于这样的设计，我们自然是认可的。因为，当轮到自己要执教一节公开课时，我们也会设想在课的结束阶段设置一道有“亮点”的习题，以增加课的内涵。不过，我们心里是清楚的，公开课更多是教学理念的展现，因此，像公开课这样的做法，其实在日常教学中并不常见。平时的教学，更多的是一步一个脚印踏实向前走，尽可能顾及每个学生的理解能力和掌握情况。因此，“深化区域”的习题，更多时候放在练习课中更为合适，新授课一般安排“深刻区域”的习题。也就是说，只有先深刻了，学生才能更好地深化。

（二）习题教学要多形式丰富

教学例题时，我们往往会创设生动有趣的情境，引导学生通过独立思考、动手实践、小组交流等，经历知识的形成过程，实现知识的“再创造”。这样的学习过程是极其丰富和厚实的。但是，到了习题教学时，这个过程需要被简化。如习题的呈现会变得更加直接，条件是什么、问题是什么，常常整体出示，一目了然，学生独立解答之后，常常也只要教师分析即可。这就产生了习题教学的一般模式：教师出题→学生解题→教师分析。这样的一般模式，简化了每一道习题教学的过程（相对于例题教学而言），为能进行更多量和更多形式的习题教学赢得了时间。

但是，通过分析习题系统，我们看到，例题后的习题教学并不是一直处在一个层级，而是呈梯级上升的趋势。在不断上升的层级中所设置的习题，对学生的认知能力具有不同的要求。由此，我们不难理解，“综合创新”的习题如果也像“基础训练”的习题一样教学，往往只能是流于形式，难以真正实现其内在的教学价值。因此，“教师出题→学生解题→教师分析”这样的习题教学一般模式，虽然是极其重要且需要广泛采用的，但不是绝对唯一的习题教学模式。根据习题所处的层级以及教学实际，教师需要对这种一般模式进行必要的丰富与厚实。

1.细节丰富

所谓细节丰富，即对“教师出题→学生解题→教师分析”中的某一个步骤进行丰富，从而更好地实现习题内在的教学价值。细节丰富主要体现在“基础训练”和“变式理解”这两个层级的习题上。

处于“基础训练”这个层级的习题，总体上可按照“教师出题→学生解题→教师分析”三个步骤简化执行。需要注意的是，这个层级的习题紧跟着例题，因此，对例题后的第1道（组）习题，在“教师分析”这个步骤上，教师需要请学生自己来讲一讲这样做的道理，对于后期的一些习题，对原理的回顾可淡化，只要分析对错即可。处于“变式理解”这个层级的习题，其外在形式已经发生了变化，但本质是不变的，所以，教学过程也只要在“教师分析”环节进行适当丰富，具体就是需要学生讲明白“为什么”——找到本质，当然，教师要在学生解释的基础上适当跟进，进一步明确。

总体而言，在上述两个层级上的习题教学，重在使学生“深刻”，因为习题的解题方法一般是唯一的、常规的，教师可以采取“短、平、快”的一般模式进行推进。

2.整体丰富

所谓整体丰富，即对“教师出题→学生解题→教师分析”中的多个步骤进行丰富，从而更好地实现习题内在的教学价值。整体丰富主要体现在“探索知新”和“综合创新”这两个层级的习题上。

处于“探索知新”这个层级的习题，对于“教师出题→学生解题→教师分析”这三个步骤，常常需要在“教师出题”和“教师分析”这两个步骤上进行适当丰富。这是因为，这个时候的习题蕴含新知或新方法，且习题的外在形式有可能会发生比较大的变化，如结构开始复杂、问题开始具有挑战性等。所以，对于此时的习题呈现，教师可以考虑分步出示，而不是整体呈现，甚至可以创设简单的情境。对学生解题之后的反馈，教师更需要重视，不能简单分析，而是要充分展现学生的方法和想法，在对比分析中，实现“再发现”。处于“综合创新”这个层级的习题，一般需要在每一个步骤上进行适当地丰富。特别是在“学生解题”和“教师分析”这两个环节上，教师要予以足够的重视。对于学生解题，除了独立思考，教师还可安排小组交流活动，反馈时与“探索新知”一样，要充分且到位，特别是对于一些具有“创造性”的方法，不仅要呈现，还要想办法引导所有学生理解。

总体而言，这两个层级上的习题教学，每一道习题的教学时间明显比前面层级上习题的教学时间长，学生思考、反馈需要更加充分，以实现“深化”。对于一些特别重要的习题，教师像例题一样教学也是不为过的。

（三）重视“深化区域”习题的设计与教学

数学被誉为“思维的体操”，这说明数学是发展人思维最好的载体。在学科教学价值层面，“数学教学的最终目标是发展学生的思维”这样的观点已经被广泛认可。那么，是不是只要学数学，就一定能很好地发展思维呢？当然不是。这一方面涉及数学教学的方法，另一方面涉及数学教学的载体。笔者相信，倘若一直是教师讲解式的教学，一直做“基础训练”的习题，哪怕最终学生每次都能做到全对，也不见得就能很好地发展学生的思维。这就告诉我们，通过数学教学发展学生的思维，一方面需要教师丰富教学方法，另一方面需要教师提升数学教学的“难度系数”。

通过数学中的习题系统，我们可以清楚地看到，提升数学教学“难度系数”的最佳载体是习题。更具体地讲，就是要重视“深化区域”习题的设计与教学。确实，据相关研究表明，就当前我们的数学习题教学而言，在“基础训练”上是扎实有余，但在探索创新上却明显不足。因此，重视数学习题系统中“深化区域”习题的设计与教学，就显得尤为重要。

关于这个方面，首先，教师要做好教材上、作业本上现成的“深化区域”习题的教学工作，充分发挥这些习题在学生思维能力培养上的作用。这一点，在“启示”的第二方面已经有过交代，此处不再赘述。

其次，教师要重视对“深刻区域”习题的改编，提升其思维含量。教材上、作业本上的一些习题，如果仅就现有的样子进行解答，可能思维含量不高。此时，我们如果能适当在此基础上跟进一个更具挑战性的问题，或者将原来的条件、问题进行适当改编，使习题更具挑战性，就能进一步提升这些习题的思维含量。这可能是当前更为重要的一个策略，因为这样的做法，既顾及了这些习题的“深刻”功能，也使这些习题具备了一定的“深化”功能。

最后，教师要重视对“深化区域”习题的自主创编。在教学中，以对学生思维能力的培养为核心价值取向，教师在深入分析知识本质和学生认知能力的基础上，结合教学的实际，适当增加一些具有一定思维含量的习题，以细水长流的方法融入自己的日常教学，就是一个好的策略。如一些学校开展的“聪明题每日学”活动，便是一种好的方法。

以上对于数学中习题系统的分析，以及由此产生的对于教学的启示，仅是笔者在习题教学中不断学习、实践和反思中形成的个人观点。这些观点想要表达的核心思想是对于数学习题教学，我们需要有“一题研究”的意识，更要有系统把握的能力。因为，我们只有更清楚地把握了整个习题系统，才能真正看清系统中每一道习题的价值，这有助于我们的习题教学更有逻辑地开展，更显实效。