借助函数思想 指导初中数学解题研究

摘 要：近年来，教育体制改革日益完善，素质教育成为重要的教育目标.在初中数学教学中，不能单方面追求卷面成绩，更要格外关注学生解决问题的思维和能力的培养.函数思想是初中数学解题中非常常用的模块，对于解决初中数学问题具有较强的功能作用.鉴于此，本文主要针对借助函数思想，指导初中数学解题进行相关浅析，通过结合函数思想的相关含义，以及在初中教学过程当中如何提炼函数思想的关键要素，并对于当前数学问题当中的主要经典问题与函数思想进行充分结合，不断地将函数思想在初中数学解题过程当中的流程具象化，价值更加细节化，以期进一步提升教学质量，仅供参考.

关键词：函数思想;初中教学;初中数学;数学教学;数学解题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）08-0056-03

收稿日期：2021-12-15

作者简介：张海涛（1989.12-），女，江苏省灌云人，硕士，中学一级教师，从事数学教学研究.

随着知识要素在社会发展中的日益渗透，教育更加关注对于学生综合能力和素质的提升.初中数学是学生后期学习知识的重要基础和工具，然而初中数学涉及的方法和知识点较多，单纯的理论学习和知识点的硬性记忆很难满足学生后期对于数学解题思维的培养，要通过思维方面的训练来强化其解题思维、解题逻辑，相关人员应该对此给予足够重视.

1 函数思想的相关含义介绍

1.1 函数思想

众所周知，函数是对一种映射关系的反映，其通过相应的符号表示物之间的基本数量特征关系以及制约因素.在初中整个三年的数学学习之中，函数思想始终与各个知识模块存在着较大的互动和紧密联系，将诸多独立的知识模块进行系统的串联，从而形成系统性的知识网络.

1.2 借助函数思想指导初中数学解题的含义

应用函数思想来对问题进行解决的主要含义在于运用函数的性质理论来解决函数问题，通过动点和变化的角度对问题之间的數量关系进行分析和研究，实现对问题的有效解决.整体而言，函数的思想方法就是能够综合运动和变化的观点，运用集合和对应的关系分析问题，并通过类比、联想和转化等多种方式来构造函数，这样就能够充分地运用函数的图像和相关性质，获得对问题的有效解决办法.

1.3 在初中阶段的主要数学思想

在初中阶段的教学中，通过函数思想解决问题，强调的是不仅要用其来解决函数问题，也可以通过构建函数关系式的方法来解决非函数的问题，这是函数思想的核心要素和价值所在.例如：中学的数学中，涉及到代数式、方程、数列、不等式等问题都可以将其中介入的函数思想一一表现，由此可见，函数思想的应用范围非常广泛.

2 应用函数思想解决初中数学问题探究的重要意义  从以上的阐述之中，我们能够意识到函数思想不仅能够有助于对相关数学知识体系的建立，也有助于对于学生解题问题能力的提升，对整体的学习目标的实现具有重要意义.同时，函数思想能够体现在以下几方面的显著价值意义：

2.1 函数思想方法符合新的教学理念

在实际的初中教学过程当中，越来越强调教学理念与教学实践方法的充分融合，注重对于学生思维和素质能力的培养，不再仅仅局限于对于知识的简单认识.因此，将函数思想运用到初中数学的解题过程当中，是符合新的形势需要，也符合课程改革和课程理念的深化.因此，其可以为相关教学工作的开展提供更多的视角.

2.2 进一步激发学生的学习兴趣.

在传统的教学过程当中，仅仅是针对于不同的模块而采取单独的教学方法，很容易让学生忽略知识之间的联系，而且长此以往，学生也很容易觉得知识比较枯燥.然而，通过函数思想方法的运用，能够让学生在另一角度认识到数学知识当中存在的巧妙联系，而且用不同的方法来对于同一问题进行解决的过程当中，能够发现更多的乐趣和奇妙之处，将活力元素渗透到课堂氛围之中，促使学生在数学知识的学习中产生更多的积极热情.

2.3 强化学生的逻辑思维和综合能力

将函数思想方法运用到解题过程当中，能够让学生加强其自身的自主探究能力，认识和体认学习过程当中存在的发展空间，而且在分析问题时也能够更加深入强化自身的逻辑能力，实现对于问题良好的分析归纳和总结，这对于其后期学习能力和生活能力的提升都具有重要的价值和作用.3 在初中数学中函数思想对于问题解决的工具要素3.1 函数的定义域、值域思想

在函数的学习中，常常会涉及到“给定定义域，求函数值的取值范围”的问题.对于这种类型，我们首先需要对于题目进行分析，通常题目会指定函数的定义域作为设定条件，然后让我们通过函数解析式的代入、分析和计算来考量自变量的取值范围，在分析完题目之后，我们可以根据题目的设立，来对问题进行相关讨论，实际上我们可以分段讨论，假设对任何一段数值都是有意义的，然后对此前提进行分类讨论，即当其处于什么阶段时，满足哪些要求.当处于另一条件判断时，又满足哪些要求，从而对于以上结果进行总结.从给定的定义域内容进行取值，通过函数关系进行数值的演变，从而能够对函数的取值范围进行最终的整合.

3.2 要充分利用函数当中的单调性思想

在函数学习过程当中，单调性是后期集结实际的函数问题以及将后期其他问题进行转化的重要工具，尤其是对于求值范围的确定是非常有效的.例如，在研究二次函数时要充分结合二次函数图像的开口方向和对称轴以及给定区间相应的关键要素和前提，对相关的知识进行总结，充分认识到对称轴和端点这些关键点对于数值确定的价值作用，从而在解题的过程当中，精准锁定相关取值范围.当然，还可以用函数的单调性来解决幂函数等相应问题，对问题进行精准的探讨.

3.3 掌握函数的奇偶性性质

当函数是偶函数时，可以结合其对称的性质，准确找到其对称轴，从而将题干所给的信息进行相关知识的转换，然后再结合图像在实际的方向位置，进行平移，从而得出相应的对称轴.当然，还可以从反面来进行分析，当其为偶函数时，推证其对称轴有什么特征，以及其对称轴两面的数值有哪些特征，从而进一步推理，为整个逻辑推理的数学思想的转换奠定基础.gzslib202204031247

3.4 掌握函数的周期性的思想

在实际的解题过程当中，可以发现，当函数为周期函数时，需要对于函数的周期性进行分析，从而在探索的过程当中，加深学生对函数性质的深入学习，为后期问题的分析和解决提供思路.

3.5 利用函数图像来解决问题的思想

函数的图像能够凭借其较强的具象化的特征，使问题变得更加明朗.例如，在给定条件当中设定某些条件，然后再对于实数的取值范围进行求解，将该问题进行化简，具体而言，根据题干条件，然后由谁能得到谁不断地进行推理，并且结合相应的区间和其取值范围、单调关系来做出相应的图像，这样能够进一步分析其整体的变化关系，从而有助于学生有针对性地实现对于問题的解决.

4 借助函数思想转换数学问题的案例分析

4.1 运用函数思想解决方程问题

函数和方程是初中数学中尤为关键的两个模块知识，二者之中存在着较为密切的联系和关系架构.从某种程度来说，方程与函数呈现的是局部和整体的关系，因此，在遇到方程问题时，就可以及时联想到函数的思想方法.例如：在解方程时，如果不确定答案是否唯一时，就可以将方程转换，充分利用函数的单调性知识，对方程解的个数实现初步的探索.

4.2 运用函数思想解决不等式问题

函数是反映变量之间关系的，利用此关系可以对不等式问题给予进一步的探析，即运用函数思想来对不等式问题进行有效解决.例如：在锐角三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.通常在面对此问题时，常规的思路是通过比较复杂的三角式变形的方式来对该不等式加以证明，但是这种途径的复杂程度以及准确性都值得商榷，然而，如果我们能够利用三角形的函数关系加以分析，就可以很快得到答案.因为，A、B、C在锐角三角形中，所以三个角都是小于90度的，并可以结合正弦函数的周期单调性进行验证，进而可得sinC>cosA，sinA>cosB，sinB>cosC，从而左右各自相加，可以得到最终的结论.

4.3 运用函数思想解决数列问题

数列从定义的角度来看，是一种建立在一定正整数集的子集范围内的特殊函数，因此可利用函数思想分析数列问题.函数思想介入，可以实现对数列的概念、通项、等差数列、等比数列的单调性和最值问题深入的理解，有效实现对问题的解决.例如：在等差数列{an}中，公差d的几何意义可以从数列在坐标平面中的映射关系进行理解，其就是等差数列各点所在直线的斜率.

综上所述，可以发现，初中数学学习中函数思想尤为关键，其不仅能够帮助学生直观解决函数的基本问题，同时也有助于对函数思想进行更好地理解，在其他题目当中进行广泛的联系与能力的迁移，进一步为问题的解决找到更为合理的流程和路径.当然，在结合的过程当中要充分识别这些函数思想的重要解题思路和思想要素，这样在解题的过程当中才能够将这些关键的函数特征和价值工具进行有效的迁移，从而在一定程度上为整个初中数学教学质量的提升创造更多有利的条件.

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