初中数学教科书函数内容设置的国际比较

2022-03-24李健甄祎明

中学数学杂志(初中版) 2022年1期

李健甄祎明

【摘要】函数是中学数学的核心内容.选取中国、日本、新加坡、英国和美国的代表性初中数学教科书为研究对象，以纵向与横向两个维度进行比较分析.研究发现，在函数内容的发展主线上，五版教科书存在函数概念的引入时机不同、具体函数的编排顺序不同的特点;在函数内容编排上，五版教科书既存在螺旋上升结构、现实应用导向的共性特征，也存在函数研究的基本路径、情境问题串、信息技术的使用、高观点下的图象分类、“对应说”式的函数概念等版本特色.立足函数内容的教科书编写与教学实施，提出有关学生、数学、教学以及技术的四方面建议.

【关键词】初中数学;函数;教科书;教材;国际比较

1 研究背景

函数是分析和研究事物运动变化规律的重要工具.F·克莱因将函数置于教学的中心位置，甚至认为函数概念在任何使用数学思想的地方都起着主导作用[1].函数既是初中学生数学学习的核心概念之一，也是培养学生抽象思维的重要内容，但学生对函数概念的认知却面临很多障碍[2].教科书作为学生数学学习的重要资源，其对函数内容的编排设置无疑将影响到学生的函数学习.

近年来，数学教育研究者们愈发关注数学教科书研究[3-4].本研究将国内外的多版初中数学教科书作为研究对象，通过对各版教科书函数章节内容设置的比较，以期更好地了解不同国家教科书中函数内容设置的共性与差异，为我国数学教科书编写与教学实施提供参考.

2 研究设计

2.1 文本选择

研究选取中国、日本、新加坡、英国和美国的代表性初中数学教科书为研究对象，见表1.

2.2 分析方法

按照Charalambos等人的分类方式：教科书的部分特征（如页数、主题、主题顺序等）可以让教科书使用者初步了解教科书的适用性，这称之为横向维度;但横向维度中的特征并未提供给教科书使用者内容设置方面的详尽信息（如定义、知识主题等），这种关于教科书具体内容设置方面的特征称为纵向维度[5].而结合横向维度与纵向维度的教科书分析框架，也获得了其他研究者的认同，如Hong等人就基于“横纵双向”的分析框架开展教科书研究[6];而在王嵘等人的研究中，也体现出“横纵双向”的分析模式，其横向分析聚焦于高中函数内容的发展主线，纵向分析则落脚于高中函数概念的定位、表征方式等多个方面[7].

综上，本研究确立了纵向与横向相结合的分析框架.其中，横向维度主要关注函数内容的发展主线，纵向维度主要关注函数内容的编写特点.

3 函数内容的发展主线

通过横向维度的比较，五版教科书中函数内容的发展主线见表2.

由表2可见，五版教科书中的函数内容普遍包括：函数概念、正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数.其中，在函数的发展主线上存在两处明显差异：函数概念的引入时机不同，具体函数的编排顺序不同.

在函数概念的引入时机方面，主要有两种编排方式：一是以函数概念为起始点引领函数体系的生发，即先介绍函数概念，再依次呈现正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数等具体函数;二是以函数概念为落脚点明确变量间的函数关系，即先呈现各部分方程内容，再给出函数概念明确函数关系.在具体函数的编排顺序中，差异主要体现在反比例函数和一次函数的先后顺序上.对于反比例函数，人教版教科书将其设置于二次函数之后，而其他教科书则将其与正比例函数联合呈现.在一次函数方面，主要表现为一次函数与正比例函数的引入先后顺序不同，这体现出不同编写者对于“由一次函数特殊化为正比例函数”和“由正比例函数一般化为一次函数”这两种编写思路间的差异.

五版教科书的函数发展主线不尽相同，其差异体现出教科书编者对函数内容的不同认识和定位，这将为我们理解教科书中的函数内容提供多角度的思考.4 函数内容编排的共性与特色

基于对五版教科书纵向维度的比较，发现了其中有关“呈现方式、编排结构以及概念内涵”的七个突出方面，根据它们在各版教科书中出现的普遍性大小，可将其分为函数内容编排的共性与特色.

4.1 函数内容编排的国际共性

通过对五版教科书函数内容编排的比较，发现它们之间有许多共通之处，体现出了函数内容编排的国际共性.

4.1.1 函数内容编排的螺旋上升结构

螺旋上升作为课程内容组织的重要形式，意指课程内容要在不同学习阶段重复出现，并逐渐扩大范围和加深程度，相对于直线式编排，它更加关注学生的认识特点，有助加深学生对内容的理解[8].各版教科书考虑到初中生对抽象函数概念理解的困难，将函数相关内容分散设置，如图1展示了五版教科书对函数内容的编排情况.

函数作为代数体系中的重要内容，与方程、不等式等内容紧密联系.各版教科书均分散设置各类具体函数，并将其与方程、不等式内容穿插安排，呈现出螺旋上升的编排結构，这样的处理方式可以帮助学生分阶段不断深化其对函数的理解[9].例如，新NSM教科书中以“二次方程→二次函数的概念、图象与性质→利用图象求解二次方程→其他形式二次函数的图象”的顺序编排此部分代数内容，将函数内容适度拆分，以螺旋上升的结构使方程与函数有机结合，层层深入，环环相扣，这有助于学生对函数内容的高效学习.

4.1.2 函数内容编排的现实应用导向

函数关系是客观世界中各种现象演变过程的数学反映[10]，学习函数是一个建构的过程，对函数知识的理解与运用，离不开函数的现实应用问题.因此，关于函数内容的现实应用导向，也成为五版教科书的共识.五版教科书利用多种具有现实背景的问题，在函数引入、函数概念、函数性质以及函数的应用一系列环节中贯穿始终.

各版教科书均注重“函数在实际问题中的应用”.例如，人教版教科书在函数的章引言中列举大量变化现象中的变量依赖关系，并在章小结中的知识结构图中呈现出知识在实际问题解决过程中的运用（见图2）;日教版教科书设置大量真实问题情境以激发学生的学习主动性，从而启发学生思考函数的实际意义.这种现实应用导向的设置方式，极大地加强了函数内容的实践性，从实践角度深化学生对函数知识的理解，使抽象的函数知识具体化、生活化，并且能够激发学生的学习兴趣，使学生获得对数学实用价值的认同感，从而增强其学习主动性.

4.2 函数内容编排的版本特色

除以上共性外，各版教科书对函数内容的呈现、概念内涵等也有不同的关注，这些不同关注点体现出函数编排的版本特色.

4.2.1 人教版与日教版教科书体现函数研究的基本路径

各具体函数的学习之间有相似性，使用函数研究的基本路径，可以降低学生函数学习的难度，也能够帮助其探索函数学习的一般模式.通过比较发现，人教版与日教版教科书在各类函数研究的过程中表现出一定的相似性，在此称之为函数研究的基本路径，这一基本路径具体表现为：

①按照由一般到特殊的线索呈现函数体系：两版教科书均先通过对多个实例的讨论归纳出函数概念，从宏观上对函数概念做一般性的描述，再依次介绍各具体函数，让学习者感受函数模型的建立过程，体现出从一般到特殊的研究思路;

②在具体函数的研究中體现出相同模式：两版教科书均以“实际问题引入→函数概念形成→函数概念表示→函数的性质→函数的巩固与实际应用”的模式展开各具体函数的教学，以实际问题出发，再回到实际问题中去，让学生经历从问题中抽象出数学知识的过程，并通过知识的学习、方法的掌握来解决实际问题;

③以图象研究具体函数的性质：两版教科书并非将函数性质直接呈现给学生，而是通过分析函数图象，先以自然语言描述图象的特点，再通过设置问题引导学生思考函数性质，最后利用数学语言刻画函数性质，以加深学生对函数性质的认识和理解.

两版东亚教科书并非通过平铺直叙地罗列结论来呈现函数内容，而是循序渐进地引导学生体验知识的形成过程，通过逐层递进地讨论来呈现函数内容的全貌，也即函数研究的基本路径.这种函数研究的基本路径将有助学生深刻理解函数内涵，体会不同函数之间的共性，并从中领会函数的本质，也为学生指明函数学习的一般方法.

4.2.2 日教版教科书利用情境问题串贯穿相关知识

问题情境是发展学生核心素养的重要媒介[11]，高质量的问题情境既能激发学生的学习动机，又有助其更好地认识情境外衣下的数学知识[12]，还可以为学生提供应用数学的机会[13].各版教科书均注重函数的情境问题引入，其中日教版教科书中函数情境问题的编排最具特色.日教版教科书选择学生熟悉的情境作为函数的实际问题背景，并将一个情境贯穿于同一内容的不同学习阶段，以情境问题串的形式在问题引入、分析问题、解决问题、回顾问题的过程中将知识串联.

例如，在函数概念的引入过程中，日教版教科书以“拉开窗户”这一学生熟悉的情境为基础，提出一系列与情境紧密相关的问题：首先，在“尝试（lets try）”栏目中进行初步探索：拉开一扇窗户，试调查窗户随打开部分长度变化而变化的数量，进而提出两个问题并以此初步探索变量关系.其次，在函数概念引入中再次启发学生思考，发现在打开部分的长度与打开部分的面积中，二者只需确定其一，另一项就随之确定，由此引出函数概念.最后，以窗户的长度为例介绍函数的定义域，从而完整呈现出函数概念.这样以同一情境引发多个问题，有利于为学生提供系列性的问题探讨，培养其层层深入的探索精神[14].

情境问题串指在同一情境的基础上，设置一系列在情境关系或问题因果上有关联性的问题.日教版教科书中的问题情境串设置，避免了多个情境问题对学生思维的负担，同时贴近了生活实际，能够使学生多方面理解函数内涵.

4.2.3 新NSM教科书注重信息技术的多方位使用

函数是刻画事物变化规律的模型，函数图象则是从整体把握函数模型特征的重要载体.数和形是数学的两大支柱，用信息技术勾勒图形、研究图形，可以把代数原理形象地表达出来[15].新NSM教科书在函数章节中注重信息技术的多方位使用，运用绘图软件辅助学生学习，并在教科书中提供电子资源网址，以服务学生探索函数图象特点，主要体现在以下三处：

①借助图象探索函数与方程的关系：在线性图象与联立线性方程一节中，新NSM教科书利用软件绘制函数y=-2x+3与方程2x+y=3的图象，并通过一系列具体问题的引导，引导学生探讨函数y=mx+c与方程ax+by=k之间的关系;

②利用图象求解方程组：在求解线性方程组时，新NSM教科书利用软件绘制一组方程的图象，进而通过所绘图象中的交点坐标求解方程组;

③根据图象研究二次函数的性质：在二次函数的讲解中，新NSM教科书利用绘图软件绘制二次函数的图象，学生可登录随书提供的电子资源链接，通过操作调整参数值以观察图象变化，进而归纳出二次函数的性质.

信息技术助学生理解数学研究对象的本质.新NSM教科书注重信息技术与数学知识的整合，利用软件绘制函数图象，以此研究函数形成和变化的过程，将信息技术充分融入函数教学的多个方面，从而帮助学生从多方位认识函数特点、把握函数本质.

4.2.4 英MCEC教科书进行高观点下的图象分类

图象是对函数的直观刻画，可以清晰地展示出函数的特点，帮助学生把握函数的变化规律.各版教科书均关注函数的图象，其中英MCEC教科书将图象分为直、曲两类，具有一定的独特性.

英MCEC教科书在章引言中提出将函数图象分为直线与曲线两类，见图3.在研究直线相关内容时，英MCEC教科书以绘制具体方程的图象为起点，引出直线方程的一般形式，并引导学生观察分析其图象特征.在研究曲线相关内容时，英MCEC教科书专设“曲线的图象”一章，以此介绍相关曲线方程（函数）的图象，这些曲线包括抛物线、双曲线、三次曲线、组合曲线（形如y=ax3+bx2+cx+dx+e，其中a，b，c，d，e均为整数）和指数曲线等.各曲线的图象均以“列表→描点→绘制图象→观察图象特征”的模式进行，由数绘形，以形释数，帮助学生加强出代数与几何之间的联系.

如英MCEC教科书“曲线的图象”章引言所述，英MCEC教科书基于线性与非线性的划分对函数图象进行分类，对于初中阶段的数学学习而言，这是一种高观点下的图象分类方式.线性方程与非线性方程有一定的差异，在初等数学中主要体现在其解析式对应的图象上.英MCEC教科书以图象作为解析式中变量关系的表示，帮助学生从线性与非线性关系的视角系统解读两类图象，将解析式的符号表达与其对应的几何表示相关联，能够引导学生认识解析式中未知量的幂与其图象间的对应关系.在初中阶段渗透线性与非线性关系，有助学生未来进行更高水平的数学学习，例如为学生理解线性与非线性回归、线性与非线性微分方程等内容打下基础，更为学生学习线性与非线性关系在多元函数中的推广等提供前期经验.

4.2.5 美MF教科书采用“对应说”式的函数概念

历史上，函数概念先后经历了“几何说”“变量说”“对应说”“集合说”的发展[16]，函数概念的这一发展过程也是数学学科由常量数学过渡到变量数学的标志.五版教科书大多采用“变量说”表述函数概念，而美MF教科书则采用“对应说”式的函数概念.

美MF教科书以不同例子辅助学生理解自变量与因变量之间的关系，渗透函数的“一一对应”思想.例如在线性方程的引入中，教科书给出方程对应的图象，并给出提示：“图象所包含的全部数对使得方程成立，举例说明数对与方程之间的关系”，以此渗透“一一对应”关系.此外，美MF教科书还通过映射图介绍“一对一、一对多、多对一、多对多”四种对应关系（见图4），以铺垫函数需要满足的“一一对应”关系.在此基础上，美MF教科书将目光由一般到特殊地从四种映射关系聚焦到“一對一”关系中，并将函数定义为：一种为每个自变量指派一个确切的因变量的关系.此种定义恰凸显了函数的“对应说”概念，有助加强学生对函数概念的深入理解.

相较于“变量说”式的函数概念定义方式，美MF教科书采用具有更高抽象水平的函数定义方式，以“对应说”形成函数概念.先向学生整体介绍四种映射关系，引导学生归纳其中的对应共性，获得其中的数学思想;再通过类比，带领学生从具体到抽象地带领学生归纳出函数概念，凸显函数的对应关系，强调函数的一一对应.此种编排让学生经历从映射到函数的特殊化过程，有助学生对函数内涵的深度把握.5 讨论与建议5.1 讨论

通过对五版教科书的比较，分析出各版教科书函数内容设置的共性与特色.这些共性与特色的产生原因，可以从各版教科书所处的不同社会文化，以及各国数学课程的发展变革中寻觅端倪.

从各版教科书的共性之处来看，主要表现为不同文化影响下函数课程设置的整体一致性，即五版教科书均将函数作为初中数学课程设置的一条重要线索.这种整体一致性与20世纪初期F·克莱因主张中学数学课程应以函数为主线的思想密切相关，该思想已经成为世界各国中学数学课程设置的主流形态.主线思想的另一表达形式即为大观念（Big Idea），将函数视为中学数学课程的一个大观念，有助将数学内容连贯成一个有机的整体，这是近年来国际课程发展的共性认识.

谈及不同教科书函数内容设置的特色之处，则离不开社会文化、数学课程的改革等相关因素的影响.张奠宙指出，儒家文化是一个演绎体系[17].人教版、日教版两版教科书无论在函数体系还是具体函数的呈现上，均体现出相似的逻辑严谨的研究路径，与强调整个文化发展体现严谨演绎体系的儒家文化十分契合，这极可能与两版教科书所处的外部儒家文化体系有关.此外，西方国家的数学课程改革对当下教科书中的函数课程也有一定影响.过去的百余年间，西方国家是多次数学课程改革的引领者，体现出将现代数学融入基础教育阶段的课程设置倾向，其表现是“新数运动”的实施.研究发现，英MCEC教科书重视高观点下的图象分类，美MF教科书呈现“对应说”式的函数概念，两者均体现出将现代数学融入基础教育的倾向，或许这与欧美国家骨子里的数学课程改革倾向有关.

5.2 建议

以上共识与特色凸显出各版教科书在函数内容编排中关注的四方面要素：学生、数学、教学以及技术.由此，研究立足于函数内容的教科书编写与教学实施，提出如下建议.

5.2.1 面向学生：形成函数呈现的基本模式，体现数学学习的两个“重视”

函数是研究事物运动变化的重要数学模型，它源于实际又服务于实际.五版教科书从实际中抽象出函数相关概念，并运用函数解决实际问题，形成贯穿学生初中代数学习的主线.这条函数主线与方程、不等式密切交织，由此形成了函数呈现的基本模式——实际问题背景下的螺旋上升.函数编排的螺旋上升结构有助学生体会函数与新旧知识的联结，加强与已有经验的联系，从而构建代数知识网络系统.这种基本模式还可以生发出以关注学生为出发点的数学课程设置要求，即体现学生数学学习的两个“重视”：重视学生数学学习的现实意义需求、重视学生数学学习的心理认知规律.两者分别反映出学生数学学习的外部和内部的心理特征.

5.2.2 专注数学：加强高观点下的函数认识，以更高站位把握数学内容

20世纪初，“克莱因·贝利运动”的爆发使人们意识到使用高观点下的数学思想方法改造中学数学内容的重要性.从“高观点”看待初等数学问题，是指运用高等数学的知识、思想和方法，分析、解决初等数学问题[18].例如美MF教科书的函数“对应说”、英MCEC教科书基于线性与非线性的图象分类方式，均属于高观点下的函数认识.这种高观点下的函数认识，有助于教师带领学有余力的学生深入把握函数内涵;对于理解水平一般的学生，教师则可以根据高观点的理解将抽象的函数知识简单化，深入浅出地为学生呈现函数知识.上述因材施的达成，均需要加强教师高观点下的数学认识，以更高站位把握数学内容的本质.

5.2.3 关注教学：掌握函数教学的基本路径，探索数学教学的通性通法

对函数基本研究方法的掌握，有助教师比较不同函数的共性与差异、归纳函数的性质、体会不同函数间的逻辑连贯性.人教生版、日教版两版教科书呈现出的基本路径：由一般到特殊地应用“实际问题→函数概念形成→函数概念表示→函数性质→函数实际应用”的模式，为教师的函数教学提供了方法示范.教师在函数教学中遵循基本路径，将有助学生形成函数学习的一般思路，随着函数教学过程中基本路径的多次实践，有助提升学生对数学对象认识、研究、再认识的思维.教师以基本路径指引教学，为学生搭建数学知识的整体学习框架，在此过程中，研究对象在不断变化，而基本路径不会改变，这体现了数学教学的通性通法.

5.2.4 利用技术：突破函数学习的抽象壁垒，打造技术融合的课程资源

函数内容所反映出来的运动变化、相互联系的辩证观点，对于培养学生的辩证思想以及用这样的观点去处理一些数学内容有很大帮助[19]，但函数的抽象性使其成为初中阶段数学学习的一大难点.基于此，合理地使用信息技术非常必要.例如，新NSM教科书将信息技术作为学生主动探索函数图象的工具，并在教科书中嵌入相应的电子资源，利用直观、动态的教学资源辅助学生对抽象的函数知识的理解，以此突破函数学习的抽象壁垒.这样将信息技术与课程内容融合，有助打造技术融合的课程资源，从而能够构建数字化的学习环境，以此激发学生探究学习的主动性，使抽象的函数内容直观形象化，进而深化学生对抽象数学知识的理解.

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