识图—析图—研图 彰显思维品质

【摘 要】 课堂教学中正确引导学生识图、析图、研图，可以帮助充分理解图形的本质，使问题得到不断分解和转化.启发学生从不同角度观察、思考、探索解决问题的途径，让学生参与到问题的探索中，感受在变化中不变的规律，以达到梳理知识结构，完善知识体系，培养学生思维品质和促进教学的目的.

【关键词】 课堂教学;图形构建;方法策略

习题讲评课是一线教师较为头疼的一类课型，课堂上教师往往会采取一讲到底的形式，而学生也只是一味地接受教师的讲授.久而久之，班级中学习能力较为薄弱的学生对习题讲评课越来越不感兴趣，对学生数学能力的发展极其不利.笔者在八年级平行四边形这一章后的一次习题讲评课中，对一道四边形习题进行深入挖掘，对平行四边形的判定及中位线的性质进行了回顾.以下就这一题的分析进行总结梳理，与大家共同分享.

1 原题呈现

如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）.DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE.

（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形;

（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.

2 教学片段

师：你想通过哪个判定定理来判定这一四边形是平行四边形？

生1：一组对边分别平行且相等.

师：为什么用这一判定方法？

生1：因为已经知道了AB∥DE，只要再让AB与DE相等即可.

师：那么，要证明两条线段相等，常用的方法是什么？

生1：三角形全等.

师：非常好，请你说一说具体的证明过程.

生1：因为DE∥AB，所以∠EDC=∠ABM，因为CE∥AM，所以∠ECD=∠ADB，

又因为AM是△ABC的中线，且D与M重合，所以BD=DC，所以△ABD≌△EDC，

所以AB=ED，又因为AB∥ED，所以四边形ABDE为平行四边形.

评析 第（1）小题的教学采用师生对话的形式，在提问时突出对平行四边形判定的引导，根据题目中已有的条件，选择合适的判定定理解决问题，进一步转化成三角形全等来证明两条线段长度相等.在教学中，对于解题方法的引导至关重要，教师在课堂上可以进一步追问：已经知道了一组对边平行，除了证这一组对边相等之外，还可以有什么方法？从而达到对数学核心知识挖掘的目的.

师：请大家观察第（1）小题与第（2）小题的联系和区别，请组内交流解决问题的方法.

生2：（解法一）结论成立，理由如下：

如图3，过点M作MG∥DE交EC于点G，因为CE∥AM，所以四边形DMGE为平行四边形，所以ED=GM且ED∥GM，由（1）可得AB=GM且AB∥GM，所以AB=ED且AB∥ED.所以四边形ABDE为平行四边形.

师：你是如何想到添加这一辅助线的？

生2：我发现了这一小题D点在动，但是始终有平行，所以想把这个问题转化成第（1）小题.

师：非常好，这位同学通过构造一组平行线发现了依旧有三角形全等，同时根据平行四边形的对边相等进行等线段的转化.那么，大家还有不同的构造平行四边形的方法吗？

生3：（解法二）如图3，在EC上截取EG=MD，构造出DMGE，可得DE=MG，再由（1）可得AB=MG，则AB=DE，所以四边形ABDE为平行四边形.

师：这两位同学虽然辅助线添加的方法不一样，但都是想通过构造平行四边形解决问题.其实，我们也可以看作相当于把这个动点D“拉回到”起始点.这种“回到原点”的想法，在解题过程中非常重要.那么，大家想一想，是否还有不同的构造方法？

生4：（解法三）如图4，过点D作DN∥BC交EC于点N，因为CE∥AM，所以四边形DMCN为平行四边形，所以DN=CM且ND∥CM，则由M是BC的中点得MB=MC，所以MB=DN.从而可证△ABM≌△EDN.

所以AB=ED，AB∥ED.所以四边形ABDE为平行四边形.

师：这种做法非常巧妙，刚才我们把D点“拉回来”，而现在我们是把M“移上去”.同样也出现了三角形全等和平行四边形，其问题解决的本质是一致的.

生5：（解法四）如图4，在EC上取点N使CN=DM，连接DN，则四边形DMCN是平行四边形，同样可证△ABM≌△EDN，所以AB=ED且AB∥ED.所以四边形ABDE为平行四边形.

评析 方法一与方法二都是构造出DMGE，方法三与方法四都是构造出DMCN，他们分别在已知一组对边平行的情况下，根据平行四边形的判定定理，再使得这组对边相等或另一组对边平行来实现构造.其目的是通过等线段的转化，实现AB与DE相等.虽然构造的方法略有不同，但其本质是一致的，都转化为了第（1）小题中“双平行、等线段证全等”的问题（如图5所示）.通过学生的回答，让学生进一步明确了在已知一组边平行的基础上，要得到平行四边形可以通过这组边相等或另一组边平行来证明.教学中应突出对问题本质的挖掘，让学生体会不同辅助线的添法背后所蕴含的解决问题的方法——得到一对全等三角形和一个平行四边形，故也可以通过如下辅助线的添法：过点E作EQ∥BC交MA的延长线于点Q，则得QMCE和△ABM≌△DEQ（如图6），具体证明过程就不再赘述.

生6：（解法五）如图7所示，已知M是BC的中点，则可取相邻一边EC的中点N，连接MN，BE，则MN是△BCE的中位线，记AM与BE交于点O，则MN∥BE，故图中又出现“双平行，等线段”图形（如图2），故△OBM≌△NMC，所以得BO=MN，又因为MN∥BE，MA∥EC，则四邊形OMNE是平行四边形，所以MN=OE，所以OB=OE，故可以证△OBA≌△OED，得AO=DO，则四边形ABDE为平行四边形.

师：你是怎么想到这一做法的？

生6：我看到题目中有一个中点，那就想到是否可以通过中位线来证明.发现题目中只有一个中点，便想再找一个中点，来构造出一条三角形的中位线，就可以证明了.

评析 上述证法看似有些繁琐，但是学生借助条件中的中点构造出中位线，再借助第（1）小题中所出现的全等三角形来解决问题，抓住了问题的本质，抓住了核心图形——“双平行、等线段证全等”（如图8）.在教学的过程中，通过对中点的引导，可以帮助学生解决问题.但本题对中点的探究不

止于此，学生又提出可以用“倍长中线法”来解决这一问题，经过讨论，便得到了以下证法.

生7：（解法六）如图9所示，延长AM至点P，使得AM=MP，连接PC，易证△ABM≌△PCM，所以AB∥PC且AB=PC，由AP∥EC，DE∥PC得四边形DPCE是平行四边形，所以DE=PC，所以AB∥DE且AB=DE，所以四边形ABDE是平行四边形.

师：同学们都非常善于思考问题，都对题目中给出的条件进行了深入挖掘，能抓住问题的本质，对平行四边形的各种判定方法融会贯通，并有很多解题经验的积累和应用.那么，让我们进一步思考：若点D在直线AM上运动，四边形ABDE始终是平行四边形吗？请同学们自主画图探究.

评析 以上问题的提出是基于对这一问题本质的进一步挖掘，其目的是检测学生是否能在变化的过程中，抓住核心问题，找到基本图形来解决问题.同时通過画图，让学生感受在变化中不变的规律，从而激发学生探寻知识的激情.通过学生自主探索，再加以几何画板的演示（如图10、图11），实现对这一问题的升华.

3 教学启示

习题讲评课是初中数学课堂中的常见课型，通过习题教学可以帮助学生解决问题、消化某些困惑，纠正问题，同时也能达到梳理知识结构、完善知识系统，培养学生思维能力和促进教学的目的.当下的数学课堂注重对学生素养能力的培养，在教学中正确引导学生“识图、析图、研图”至关重要，因此在教学中应注重以下几点.

3.1 选少题，选好题

教师在筹划选题时，应根据学情，结合教学重点，有侧重地讲题.对于综合性较强的题，通过对问题的层层深入，在符合学生认知规律的基础上，对不同层次的学生提出不同的要求，这样才能收到实效.在本节课的教学中，选择这一中考题是因为其考察的知识是平行四边形的判定，对于学生目前所学内容有较强的针对性.本题虽有一定的难度，但在教学的设计上，通过教师的层层引导，对平行四边形的几种判定方法均进行了合理有效的使用，让学习在一题的研究中达到对基础知识的梳理和总结的效果.

3.2 重启发，讲透题

教学中教师应注重启发的层次和角度.对于一道题，教师要善于通过层层启发，使问题得到不断分解和转化.启发学生从不同角度观察、思考、探索解决问题的途径，让更多的学生参与到问题的探究中，从而拓宽学生的思路，达到培养学生高阶思维的目的.在本节课的教学中，教师在每个方法得出后都能进行方法的提炼，对问题的本质进行深入挖掘，并在学生遇到困难时给予一定的启发，让多种思维在课堂上碰撞，激发学生的求知欲，对各种解题方法的得出也有理有据，明确了思考的方向，对问题的探索也逐渐明朗.

3.3 勤提炼，留遐想

课堂的精彩源于学生，源于对本质的挖掘.若教师能在习题讲解后通过提炼得出解决此类问题的一般方法，或者帮助学生突破题意解决问题，这对学生的帮助是巨大的.本习题课的教学中，教师最后对学生如何合理使用中点提出自己的想法，让学生感受中点的价值.同时，为了能让学生更好地理解变化中不变的基本图形，教师提出若点D在直线AM上运动时，是否还有一样的结论.通过几何画板的演示，让学生充分理解了这一图形的本质，留给学生充分想象的空间.

世人常说世事应遵从“合情合理”，笔者以为，我们的课堂教学，也应该追求一种“合情合理”的境界.当我们看到，每一个教学环节都是那样的顺畅、每一个问题都是那样的自然、每一个学生都是那样的心领神会时，细细品味，你会感觉到一切已尽在情理之中[1].参考文献[1]刘金英.一切尽在情理之中——对“平行四边形”概念教学的认识[J].中国数学教育，2010（05）：12-13.

作者简介 贺彦斌（1987—），男，浙江普陀人，中学一级教师;浙江省教坛新秀，曾获浙江省初中数学优质课评比一等奖，第九届全国初中数学青年教师优秀课评比一等奖;主要研究课堂教学方法与实践.