基于四个理解的“弧度制”教学设计

林伟芬

摘  要：在三角函数的整体结构下，本教学设计利用圆周运动现象引入弧度制，并说明其必要性和价值，借助信息技术与弧长公式探究1弧度的意义，让学生体验一个新的单位制的研究路径及其应用价值，体会其中蕴涵的数学思想方法，以达到四个理解：理解数学，明确课堂研究路径;理解学生，立足学生思维发展;理解技术，为高效课堂助力;理解教学，以问题串引领课堂.

关键词：弧度制;研究路径;思维发展;问题串;四个理解

本节课力求体现新课程和新教材的理念，构建高效课堂，真正让学生理解概念、学会思维，提升数学学科核心素养.

一、内容及内容解析

本节课为人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册第五章“三角函数”第一节“任意角与弧度制”第2课时的内容.

1. 内容

弧度制的概念及弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.

2. 内容解析

（1）弧度制的本质.

弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，即定义长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小为1弧度，将弧长与半径的度量单位统一为十进制. 高中函数的概念中要求函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性. 三角函数是刻画现实世界中周期现象的函数模型，但有些现象中的自变量不是角度，如钟摆、潮汐现象等的自变量是时间，因此必须建立弧度制，将角与实数之间建立一一对应关系，从而为建立三角函数的概念做铺垫.

（2）蕴涵的数学思想和数学方法.

在如何合理用十进制实数定义弧度制这一新概念的探究过程中，让学生体会从特殊到一般的探究过程及推理思想方法;通过类比角度制的1度角，定义弧度制中的“1个单位”角，渗透类比的数学思想方法.

（3）知识的上下位关系.

小学和初中学习的[0°]～[360°]角是任意角中的一部分内容. 弧度制是角度制外另一种度量角大小的单位制度，两者属于并列关系. 角的推广及弧度制的引入建立了角的集合与实数集之间的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定了基础.

（4）育人价值.

弧度制的引入是在已有知识经验的基础上对知识的发现与再创造，让学生体验一个新的单位制的研究路径及其应用价值，落实“用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界”的核心素养理念. 融入数学史，让学生追溯弧度制的来源和价值，经历数学知识产生、发展和深化的过程，体会其中蕴涵的人文精神.

3. 教学重点

1弧度的意义，角度与弧度的互化.

二、目标及目标解析

1. 目标

（1）理解1弧度角的意义，建立弧度制的概念，知道弧度制的本质是用线段长度来度量角的大小. 掌握角度制与弧度制的互化，知道一些特殊角的弧度;能够通过弧度制的定义推导出弧长公式和扇形面积公式.

（2）在探究如何科学、合理地定义弧度制这一新概念的过程中，体会从特殊到一般、类比的探究过程，以及数学思想方法.

（3）通过弧度概念的生成过程，培养学生的数学抽象素养，体会引入弧度制的必要性及其价值，感受数学发展的曲折性，体会数学知识中蕴涵的人文精神.

2. 目标解析

（1）能用自己的语言解释弧度制的本质，并能说明其合理性.

（2）能够利用弧度制的定义推导弧长公式和扇形面积公式.

（3）能进行角度制和弧度制的换算.

（4）能说明弧度制下角的集合可以与实数集建立一一对应关系，在弧度制建立的数学史中体会它曲折的发展历程（人文价值）和在生产、生活中的应用价值及科学价值.

三、教学问题诊断解析

1. 问题诊断

让学生体会引入弧度制的必要性是第一个教学问题. 学生在小学和初中已经习惯使用角度制对角进行度量，如果不能体会到引入弧度制的合理性和必要性，认为它是一种“规定”，可能会对弧度制学习产生抵触情绪. 我们通过摩天轮的情境引入，让学生感受用弧长、半径和圆心角来刻画点的位置时，由于弧长（十进制）和圆心角（六十进制）的进制不同给解决问题带来不便，从而引发用十进制的实数来度量角的需求的思考;通过数学史背景的介绍，了解数学家们在三角学的发展中统一角度和弧长单位上所做的努力，感知弧度制产生的必要性;通过角度制和弧度制的换算的巩固练习，感受角的集合与实数集之间的一一对应关系，并让学生了解这种对应关系能够解决角度制下无法解决的基本初等函数的运算问题，体会弧度制的价值;利用弧度制下的扇形弧长和面积公式，体会弧度制的优越性.

如何构建弧度制是第二个教学问题. 我们将教育信息技术探究和公式推理论证相结合，让学生在直观感知的前提下，从特殊到一般地体会利用[lr]刻画圆心角的大小的合理性，并类比角度制中1度角的概念自主建构1弧度的概念，经历概念生成的过程，从而加深对概念的理解，突破难点.

2. 教学难点

弧度制所反映的数学思想方法.

四、教学支持条件分析

本节课需要借助教育信息技术手段帮助学生深入理解弧度的概念，改变圆形和扇形的半径，体会利用弧长与半径的比定义弧度的合理性，还需要利用计算器进行弧度制与角度制的互化. 因此，本节课将采用作图软件和计算器作为教学支持条件.

五、教学过程设计

引导语：上节课我们学习了任意角的概念，将角的范围从[0°]～[360°]扩大到了任意角. 作为一个新的数学研究对象，我们有必要研究任意角的度量问题. 说到度量，生活中度量一個量有很多不同的单位制，为解决不同的问题带来了方便. 例如，度量长度可以用米、千米、英尺、码等单位. 你还能举个例子吗？

师生活动：学生举例交流. 例如，度量温度可以用摄氏度、华氏度、开尔文等单位;度量质量可以用克、千克、吨、磅等单位.

环节1：情境引入.

深圳前海湾畔美丽的“湾区之光”摩天轮，目前已成为了粤港澳大湾区的新地标. 当摩天轮不断旋转时，轿厢会周而复始运动. 我们用数学眼光来看待轿厢，可以将它抽象成一个点.

问题1：如图1，轿厢从点P0运动到点P，点P的位置可以由哪些量确定？

预设：可以由半径和圆心角决定;可以由半径和弧[PP0]的长度决定.

追问1：点P的位置可由半径、圆心角或弧长确定，但是这些量的进制不同，会给我们研究问题带来不便，这个问题该怎么解决？

追问2：我们学过的哪个公式体现了弧长与圆心角之间的关系？

师生活动：教师引导学生发现确定点的位置时角（六十进制）与弧长（十进制）的进制不同会给解决问题带来不便，引出要用十进制的实数来表示角的大小，并回顾扇形弧长公式[l=nπr180.]

【设计意图】本情境基于大单元教学的理念，与借助三角函数来刻画周期现象的单元教学目标相呼应. 圆周运动是典型的周期性变化现象，而摩天轮上的点的圆周运动又不失一般性，这个过程可以理解为一个数学抽象、数学建模的过程. 同时，由弧长与圆心角的进制不同产生认知上的矛盾，让学生体会引入新的单位制来表示角的必要性，从而自然引出本节课的探究问题——如何用十进制的实数来表示角的大小.

环节2：合作探究.

探究：如何用十进制的实数来表示角的大小？

问题2：根据扇形弧长公式[l=nπr180，] 发现角的大小与什么量有关？

追问1：只确定半径能确定角的大小吗？只确定弧长呢？

师生活动：学生观察扇形弧长公式，并发现角的大小与弧长和半径有关，但是只确定半径或者弧长都不能确定角的大小，教师引导学生思考要寻找弧长与半径之间的关系.

追问2：当角的大小确定时，改变扇形的半径，观察实验规律.

师生活动：教师借助GeoGebra软件演示弧长随着半径变化的过程，学生观察、探究、归纳.

观察实验结果：当角[α]的大小确定时，[lr]也是确定的.

追问3：能推理论证你观察到的规律吗？

师生活动：学生利用扇形弧长公式的变式[lr=nπ180]推理论证——[lr]随着[α]的确定而唯一确定.

【设计意图】从学生思维的最近发展区出发，利用扇形的弧长公式引发学生对弧长与半径关系的思考，借助GeoGebra软件进行数学探究实验后再进行推理论证，让学生经历完整的“猜想—证明”的探究过程，渗透从特殊到一般的数学思想方法.

环节3：生成概念.

在定义一种度量制度时，必须先对1个单位进行规定，然后再用它去度量其他的量. 例如，度量长度时，1个单位就是1米;角度制下，1个单位就是1度角.

问题3：角度制下，1个单位是1度角，它的大小是怎么规定的？

追问1：能否类比角度制，利用比值[lr]来定义新的“1个单位”？

师生活动：小组讨论交流并展示，教师点评.

预设生成如下.

生1：类比角度制，我们组定义[lr=π]时的角是新的“1个单位”角.

生2：类比角度制，我们组定义[lr=1]时的角是新的“1个单位”角.

……

师：其实只要角能由比值唯一确定，这些规定都是合理的，同学们更喜欢哪一种定义？为什么？

生：更喜欢第二种，因为比较简洁.

师：好，出于简洁性我们选择第二种定义，那么当[lr=1]时，这个新的“1个单位”角是唯一确定的吗？试回答追问2.

追问2：你定义的“1个单位”与圆的大小有关吗？是唯一确定的角吗？试着用角度来表示你定义的“1个单位”角.

师生活动：学生在教师的引导下小组讨论回答问题并展示方案，比较不同的定义方案，得到相对比较合适的“1个单位”角的定义——取[lr=1.] 新的“1个单位”角与圆的大小无关，当[lr=1，] 即[nπ180=1]时，定义的单位角是唯一确定的，而且该角在角度制下可表示为[n°∘∘=180π°∘]≈57.3°，此时圆心角所对的弧长与半径刚好相等.

【设计意图】让学生经历概念的自主建构，体会数学抽象的过程，并在追问2中让学生体会定义“1个单位”角的合理性，即1弧度角的大小由[lr=1]唯一确定.

定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做[1]弧度（radian）的角，记作1 rad，读作1弧度. 我们把这种用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制.

既然角的大小与半径无关，为了方便，我们可以直观地取成单位圆（半径为[1]的圆）来表示，在单位圆[O]中，弧[AB]的长等于[1]，[∠AOB]就是[1]弧度的角.简记为[1rad]，读作1弧度.

师生活动：教师用希沃数学画板演示1弧度角的生成动画，并追问如何作出[2 rad，-0.5 rad，2π rad]等弧度制下的角，学生思考并回答.

追问3：如何用弧度制来表示任意角？

师生活动：学生利用定义，结合用希沃数学画板探究的过程，从特殊角推广到任意角，考虑到任意角[α]终边的旋转方向，得到定量表示：[α=lr.]

【设计意图】让学生体验单位定义的过程——定义一种新的单位制，往往先定义1个单位，然后再以它为标准去表示其他的量，从而得到弧度角的绝对值公式.

师生活动：教师播放介绍弧度制曲折发展历程及应用价值的小视频（时长[1]分[30]秒），學生观看. 教师板书定义和公式，并在视频播放后补充：随着数学学习的不断深入，同学们对弧度制的价值能体会更深.

【设计意图】利用数学史料让学生更全面、深入地了解弧度制的概念，感受数学知识曲折的发展历程，体会其中蕴涵的人文精神，激发学生进一步学习的动力.

环节4：概念深化.

问题4：对于一个角的大小，我们已经有了两种角的度量制，对此你能想到什么？你还想研究什么问题？

预设：度量同一种对象的两种度量制，它们之间一定有内在联系，我想研究弧度制的价值，以及弧度制与角度制之间的联系和区别……

追问：你认为联系两种度量制的桥梁是什么？

师生活动：教师引导学生从最熟悉的周角或平角出发，用角度制和弧度制分别表示，从而建立联系. 利用[180°=π rad]，接下来只要单位化就可以得出换算公式了.

[180°=π rad⇒1∘°=π180 rad≈0.017 45 rad，1rad=180π°∘≈57.3∘°=57°∘18.]

【设计意图】通过问题4提醒学生研究问题是怎么发现的，从不同角度去刻画同一个数学对象，所得到的结论之间一定存在内在联系，发现这种联系是数学研究的一个基本任务. 关于换算公式的探究，关键是找到联系两种度量制的“桥梁”. 让学生提出想研究的问题，促使学生开展主动学习，在落实“四基”的过程中，培养学生一般观念下对数学对象的研究路径的思考，培养学生发现和提出问题的能力，提升学生的数学学科核心素养.

环节5：学以致用.

例1  按照下列要求，把[67°30]化成弧度.

（1）精确值;

（2）精确到[0.001]的近似值.

师生活动：教师带领学生一起思考，提醒学生换算的关键是利用[180°=][πrad]，教师板演. 对于第（2）问，教师演示利用windows自带的计算器“（角）度”化“弧度”计算功能求近似值，如图2所示.

预设答案：（1）因为[67°30=1352°，]

所以[67°30=1352×π180 rad=3π8 rad.]

（2）[67°30≈1.178 rad.]

【设计意图】熟悉角度化弧度，学会借助计算工具来计算.

例2  将[3.14 rad]换算成角度（用度数表示，精确到[0.001.]）

师生活动：如图3，教师演示计算器中“弧度”化“（角）度”功能的用法，学生读出近似值. 得出[3.14 rad≈179.909°，]可以简写为[3.14≈179.909°.∘] 教师说明：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“[rad]”通常省略不写，而只写该角所

对应的弧度数. 例如，[α=2]表示[2]弧度的角;[sinπ6]表示[π6 rad]角的正弦值.

【设计意图】让学生熟悉弧度化角度，教师在此向学生说明单位可以省略的写法.

当堂检测1：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表.

师生活动：一名学生在黑板上填写，其余学生填在教材上. 利用[180°=π，] 师生共同批改和纠错.

师：关于角度和弧度的换算，你找到窍门了吗？

关键：[180°=π].

师：这种等量关系能体现任意角的集合与实数集之间怎样的对应关系？

师生活动：学生在教师引导下寻找一一对应关系：如图4，正角的弧度数是正数，零角的弧度数是0，负角的弧度数是负数;反之也成立.

师：有了这样的一一对应关系，它就能解决一些在以前看起来没有意义的问题. 例如，角度制下[30°]与[sin30°]相加无意义，而弧度制下[π6]和[sinπ6=12]可以进行实数加法，是不是非常地神奇呢？實数是一种绝佳的度量工具，弧度制作为一种新的度量工具，使得这些量在实数意义下变得可测量、可比较、可运算，为我们打开了一扇通往新世界的大门！

【设计意图】对角度与弧度互化的本质进行过程性总结，体会角的集合与实数集之间的一一对应关系，为下节课学习任意角的三角函数做铺垫. 有了弧度制后能解决一些原来没有意义的问题，打开学生的视野，对学生的思维提出了挑战，让学生感受新的单位制创立过程中的创新精神.

当堂检测2：利用弧度制证明下列关于扇形的公式.

（1）[l=αR;]（2）[S=12αR2;]（3）[S=12lR.]

其中[R]是圆的半径，[α 0<α<2π]为圆心角，[l]是扇形的弧长，[S]是扇形的面积.

师生活动：学生自主完成证明，体会弧度制下的扇形公式比角度制下简洁. 教师借助希沃白板手机端的工作台拍照将具有代表性的学生解答上传至大屏幕，师生共同纠错和点评.

【设计意图】在角度制下，我们已经学习了扇形的弧长和面积公式，让学生在弧度制下证明以上三个公式，关键是将角度转化为弧度，从而简化角度制下的扇形公式，通过对比让学生体会弧度制的引入在简化三角公式方面的价值.

环节6：总结提升.

问题5：（1）回顾本节课的研究过程，我们是怎样开展对弧度制的研究的？

（2）我们是根据什么思路展开对一种度量单位的制定的？

（3）你认为利用弧度制我们可以解决怎样的问题？

师生活动：学生自主回顾、归纳和总结（可小组交流），教师适时点拨和提炼观点.

【设计意图】前两个问题意在促进学生梳理本节课的研究问题和研究思路，让学生不仅掌握知识和技能，还学会一种新的单位制的研究路径：度量需要—寻找标准—制定单位—定量表示—单位换算，丰富学生的数学活动经验，完善知识体系. 第三个问题意在引导学生体会弧度制作为一种新的度量工具，为我们打开了一扇通往新世界（三角函数）的大门，能够解决一些我们从前解决不了的问题，让学生充分体会引入弧度制的必要性和价值. 并且教会学生用一种新的数学眼光来看世界，用新的语言工具来表达世界，用新的思维来思考世界，让学生对下节课三角函数的学习提前作出思考，且充满期待.

环节7：目标检测.

检测1：把下列角度化成弧度.

（1）22°30′;（2）-210°;（3）1 200°.

检测2：把下列弧度化成角度.

（1）[π12;]（2）[-4π3;]（3）[3π10.]

【设计意图】考查学生对弧度与角度互化知识的掌握情况.

检测3：用弧度表示：（1）终边在[x]轴上的角的集合;（2）终边在[y]轴上的角的集合.

【设计意图】此题在任意角中已考查过，在弧度制下继续考查，让学生学会用弧度制表示任意角，并且注意不同单位制不能混用.

检测4：已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数.

【设计意图】考查弧度的概念，以及对弧度制下弧长公式的掌握情况.

检测5：已知扇形的周长为40 cm，求此扇形面积的最大值.

【设计意图】考查与扇形公式有关的综合问题.

知识拓展： 弧度制与最重要的无理数[π]有着极密切的关系，任意圆周长与直径之比都等于[π，]它具有传奇色彩和浪漫的诗意，对它的研究推动了数学科学的发展. 请大家查阅数学史，感受[π]的无穷魅力和巨大威力，了解更多关于弧度制思想的发展历史和应用，或者了解一些其他的角的度量制及它们的应用.

六、板书设计

本节课的整体板书设计如图5所示.

七、教学评价及反思

1. 教学评价

评价是课堂教学的重要环节，教师可以基于对学生的评价，反思教学过程，总结经验、发现问题，进而提出改进思路.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准）》指出，教学评价要关注学生数学知识技能的掌握，还要关注学生的学习态度、方法和习惯，更要关注学生数学学科核心素养水平的达成. 概念课的评价原则：一是重视学生数学学科核心素养的达成;二是重视评价的整体性与阶段性;三是重视过程评价;四是关注学生的学习态度. 笔者认为，好的探究性问题和课堂的阶段性小结就是对学生思维的一种很好的过程性评价. 本节课中有相当数量的开放性问题，给学生提供了思维空间和表达交流的机会. 每个开放性问题，教师都可以通过学生的回答、展示和交流，在学习的过程中不断推动学生对知识间的结构和联系做出自己的思考，并且从学生的反馈中对他们是否已经掌握知识及其脉络、数学抽象素养是否有所提升做出过程性评价. 当然，评价方式除了传统的习题书写测验外，还可以采用课堂观察、口头检测、开放式活动中的表现、课内外作业等评价方式.

2. 教学反思

无论是准备这节课的过程还是上完这节课后，笔者都在思考，如何才能体现《标准》的理念，构建高效的课堂，培养学生的数学理性思维，真正提升学生的数学学科核心素养？章建跃博士提出的理解数学、理解学生、理解技术、理解教学，笔者深以为然. 四个理解的水平是教师专业水平和育人能力的集中体现，是提高数学教学质量和效益的决定性因素，也是有效提升学生数学学科核心素养的必备条件. 因此，笔者从四个理解上进行钻研，力求使数学学科核心素养落实在教学过程中.

（1）理解数学，明确课堂研究路径.

理解数学，就是要把握数学内容的本质，特别是对内容中蕴涵的数学思想和数学方法要有深入理解，要对一些具有统摄性的“一般观念（big idea）”有深入理解并能自觉应用. 在本节课的设计中，在“一般观念”的引领下，“弧度制”的学习属于任意角概念研究路径“背景—定义—度量—运算—性质”中的“任意角的度量”这一环，从这个宏观视角切入，让学生感到弧度制的学习是自然、合理的. 弧度制以用实数度量角为目标，以建立一种度量制的基本原则和方法（度量需要—寻找标准—制定单位—定量表示—单位换算）为指导设计教学过程，解决了如何建立弧度制及角的度量制的内在联系等问题. 这节课弧度制的建构过程是“背景（引入弧度制的必要性、如何定义是合理的）—定义—表示”，遵循了概念教学的一般套路，让学生经历了完整的概念建构的过程，并引导启发学生发现和提出本节的核心问题. 在“一般观念”的引领下，整个课堂的生成自然流暢、水到渠成.

（2）理解学生，立足学生思维发展.

理解学生，就是要全面了解学生的思维规律，把握中学生的认知特点. 为了帮助学生提高思维品质，需要教师在教学设计时采用符合学生认知结构的方式，从学生的角度出发，立足他们的知识储备，引发思考，探究数学知识. 学生已经有了一定的概念形成及角度制的学习经验，并且在初中学习过扇形的弧长公式，生活中也有较多的圆周运动体验. 立足于这些基础，弧度制的学习应该给学生设置合适的问题情境，从已有的公式出发，给学生提供充分的类比探究和自主建构概念的空间. 通过回顾初中已学的弧长公式，发现弧长与半径的关系，并利用信息技术进行观察而后借助公式进行推理论证，再用类比的方法对1弧度的角进行定义，启发学生思考两种已学度量制的内在联系，符合学生从形象到抽象、从特殊到一般的认知规律，有利于学生感受新、旧知识之间的内在联系. 这样设计，既培养了学生的理性思维，又引发了学生对新知的自主建构过程，循序渐进，符合学生的逻辑思维.

（3）理解技术，为高效课堂助力.

理解技术，就是要懂得如何有效利用技术促进学生的学和教师的教，将抽象内容可视化，静态内容动态化，借助技术改变课堂生态，实现大面积个性化的教学和优质资源的共享. 这节课融入的信息技术手段，主要是为了解决以下几个问题：① 在静态的弧长公式[l=nπr180]中变形得到[lr=nπ180，] 从而寻找度量角的十进制实数有一定的难度，学生一般无法直接找到[lr]这个量，需要教师进行适当铺垫. 使用信息技术可以动态地表示角的终边旋转的过程及可改变半径的扇形，因此有利于学生观察角、半径及弧长的大小变化. 利用GeoGebra软件，从形的角度可以直观看出角的大小确定时，弧长与半径的比值是不变的，学生再从数的角度根据弧长公式去推理证明方向就明确多了——信息技术的融合渗透了数形结合的思想，也培养了学生的直观想象素养. ② 1弧度角无法尺规作图. 为了让学生感知1弧度角的大小和定义，利用希沃数学画板动态展示它的形成过程（将长度为1的半径弯曲形成弧长），加深了学生对概念的直观感知. ③ 一些非特殊角不方便进行角度与弧度互化的运算，需要借助计算器. ④ 如何将静态的数学文化的知识更生动活泼地融入课堂. 本节课采用了将数学文化的内容录制成微课小视频的方式传递给学生，调动学生的多个感官，使其经历弧度制演变的历史过程，了解其本质，并加以适当应用，能帮助学生更好地理解弧度制及其优势. 在增加趣味性的同时，作为课堂内容的一种扩展和补充，让学生更深刻地感受到弧度制概念产生的曲折历程，激发学生的研究动力和科研精神.

（4）理解教学，以问题串引领课堂.

理解教学，就是要把握教学的基本规律，按教学规律办事. 章建跃博士提出，教学活动设计的关键词是“情境—问题—活动—结果”，在教学过程中帮助学生感悟数学思想，掌握基础知识和基本技能，将抽象的数学概念转化为学生易于理解的数学知识. 为了让学生感受弧度制与三角函数大单元的联系，本节课采用“湾区之光”摩天轮上的点周而复始运动的生活情境，提出“问题[1]：轿厢从点P0运动到点P，点P的位置可以由哪些量确定？”便于学生从中观察和抽象出圆或扇形的弧长、半径与圆心角之间的关系，从而自然产生采用十进制的实数来度量角的需要;提出“问题2：根据扇形弧長公式[l=nπr180，] 发现角的大小与什么量有关？”促使学生从变量的角度来观察已学公式，体验探究和归纳活动，寻找变化过程中的不变性，渗透从特殊到一般的思想方法;提出“问题[3]：角度制下，1个单位是1度角，它的大小是怎么规定的？”引导学生进行类比学习活动，自主构建1弧度的概念;提出“问题4：对于一个角的大小，我们已经有了两种角的度量制，对此你能想到什么？你还想研究什么问题？”推动了学生寻找知识之间内在联系的思维活动，给学生提供了自主发现和研究问题的空间;问题5的三个问题则是对整堂课的回顾，推进学生归纳、总结的思维活动，建构和完善自身的知识体系，关注研究对象和研究路径，理清整个知识的来龙去脉. 用五个关键问题形成的问题串来推进学生主动思考，让学生根据问题解决的需要进行观察、思考、探究、归纳等活动，引导学生在数学活动内容展开过程中注重类比、归纳、特殊化、一般化等逻辑方法的使用，促使学生开展主动学习，以激发学生的创新思维，在落实“四基”的同时也培养了学生的数学抽象、逻辑推理等素养.

参考文献：

[1]教育部考试中心编写. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]刘烨烨.“弧度制”教学设计[J]. 中国数学教育（高中版），2021（4）：24-28.

[3]高敏. 课例：弧度制[J]. 中学数学教学参考（上旬），2015（4）：16-18.

[4]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[5]章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续1）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（7）：6-11.

[6]彭思维，汪晓勤. 英美早期三角学教科书中的弧度制[J]. 数学教学，2020（11）：1-6.

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