三角函数概念与数学学科核心素养的关系

赵四

摘  要：分析具体数学内容与数学学科核心素养的关系是达成数学学科核心素养的有效方式. 数学“四基”是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体，数学史是理解“四基”内涵和关系的线索. 基于数学发生、发展的视角，以三角函数的概念为抓手，分析数学“四基”与数学学科核心素养的结合点，建构数学史与数学“四基”的关系，形成分析具体数学内容与数学学科核心素养关系的一般模式.

关键词：三角函数;核心素养;“四基”

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（统称“四基”）是支撑数学学科核心素养培养的基础. 在实际教学中，让学生形成和发展数学学科核心素养需要将数学内容与数学学科核心素养进行有机结合.

三角函数作为中学初等函数的重要内容，是沟通初等数学与高等数学的桥梁，以三角函数为研究对象具有重要意义. 以发生、发展的观点运用数学史，能消解学生通向数学理解的认知障碍，帮助教师理解学生的学习心理，准确把握教学的重点、难点和关键点. 本文基于数学发生、发展的视角，剖析三角函数概念的“四基”模块与数学学科核心素养的关系，提出一个分析具体数学内容与数学学科核心素养关系的模式，以期为一线教师有效开展基于核心素养培养的数学教学提供参考.

本文主要围绕以下问题展开：从数学发生、发展的视角，理解三角函数概念的本质，理解教材的编写意图;三角函数概念中蕴含的“四基”与数学学科核心素养的关系如何;数学史与数学“四基”的关系.

一、三角函数概念的本质

历史相似性原理表明，数学概念的历史发展过程与学生的认知过程存在一定的相似性. 本文以人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“新教材”）必修第一册第五章“三角函数”为例，从数学发生、发展的角度出发，理解三角函数概念的本质，领会教材编写意图.

1. 三角函数的历史回溯

早期的三角学与天文学密不可分，古希腊天文学家希帕恰斯（Hipparchus，公元前2世紀）、梅内劳斯（Menelaus，1世纪）和托勒密（Ptolemy，2世纪）相继制作了弦表，相当于计算半角正弦的两倍. 印度数学家阿耶波多（Aryabhata，476—550）默认曲线和直线可以用同一单位，这正是弧度制的精髓. 他计算的半弦相当于现在的正弦线.

德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436—1476）于1464年完成《论各种三角形》一书，这部著作标志着三角学从天文学中独立出来. 哥白尼的学生雷蒂库斯（Rheticus，1514—1576）把弧的正弦改成了锐角的正弦，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来.

法国大数学家韦达（Viete，1540—1603）是第一个将代数方法系统地应用到三角学中的数学家. 自此，三角学开始呈现出现代解析的性质. 大约在1729年，欧拉（Euler，1707—1783）发展了用三角级数表示函数的理论，函数的思想成了三角学和分析的组成部分. 正弦不再是线段，而是变成了数值或比值，是单位圆上点的纵坐标. 在《无穷小分析引论》一书中，欧拉给出了与现代形式非常相似的三角函数名称，引入了任意角和弧度制，弄清楚了三角函数的周期性. 从此，三角学从静态地研究三角形解法的狭隘天地中解放出来，去反映现实世界中一切可用三角函数来反映的运动或变化过程，使三角学成为具有现代特征的一门学科.

三角函数的发展历史表明人类认识数学概念具有“渐进性”. 以数学发生、发展的视角分析教材编写的逻辑，能深入理解教材编写意图.

2. 三角函数教材编写意图

《标准》延续了《普通高中数学课程标准（实验）》的要求，三角函数占据了初等函数的主导地位，但是在具体内容的编排上发生了变化. 为了全面理解三角函数概念的本质，对比人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（以下统称“旧教材”）与新教材中的“章引言”，以及作为预备知识的“任意角与弧度制”“三角函数的概念”等内容，以便领会新教材的编写意图.

（1）章引言.

新教材延续了旧教材的编排风格，在每章的起始安排有章引言. 两版教材的章引言都以现实世界的许多运动变化都具有“周期性”引入，在素材选取上涉及天文、物理等与生活息息相关的例子，点明本章的研究对象. 在方法的引导上，新、旧教材有明显差异，主要体现在新教材更注重体现从一般函数到特殊函数研究方法的沿袭，体现出研究一个数学对象的基本套路，根据研究对象的特点确定合适的类比对象，构建研究路径.

（2）任意角与弧度制.

新教材在这一小节的引言部分通过常见的周期性变化现象——圆周运动，自然引出要刻画圆周上点的运动，要先扩大角的范围，表明引入任意角概念的目的. 旧教材直接定义任意角，没有体现出引入任意角的必要性.

两版教材在处理角的运算意义上也有明显不同. 与旧教材相比，新教材将角的运算赋予明显的几何意义，为后续两角差的余弦公式的推导做好了铺垫.

两版教材都引入了象限角的概念. 象限角便于看出角的“周而复始”的变化规律，进而利用任意角、直角坐标系刻画周期变化现象.

为了定义三角函数，还需要引入“用长度量角”的弧度制. 从弧度制产生的历史来看，弧度制的思想萌芽出现在阿耶波多统一弧长与半径单位的工作中. 托勒密意识到度量弧长与弦长应采用相同的长度单位，他将圆周分为360等份，每一份是一个单位，然后取[π]的近似值为3，得到半径是60个单位. 1 000多年后，现代的弧度制才由欧拉提出，1748年他主张以半径为单位来度量弧长. 这一时间跨度之久，足以说明历史上弧度制思想产生的困难性. 旧教材直接给出弧度制定义的方式会影响学生对弧度制的认知，使得学生对弧度制产生的必要性与合理性不甚了解.

从历史发生、发展的角度來看，角度制与弧度制的共同点都是要等分圆周，只不过把圆周分成360等份是历史形成的一种规定，而用弧度制把整个圆周分成[2π]等份，这是一种客观规律，更科学、合理. 为体现这种客观规律，新教材从学生初中学过的弧长公式出发，探索圆心角、弧长和半径之间的关系，发现圆心角由圆心角所对弧长和半径的比值唯一确定，由此体会引入弧度制的合理性，理解弧度制的本质是用线段长度度量角的大小.

（3）三角函数的概念.

现代三角函数的定义在18世纪才由欧拉提出，使得三角函数不再只是关注三角形中的计算问题，而是将关注的焦点更多地放在函数关系上. 旧教材在平面直角坐标系中用终边上的点的坐标表示锐角三角函数，引出用单位圆定义任意角的三角函数. 本意是想反映韦达、欧拉等人的观点，强调函数的思想. 但从锐角三角函数引入，容易把任意角的三角函数理解成锐角三角函数的推广，破坏三角函数概念发生、发展过程的完整性. 教师如果对三角函数的历史不够了解，教学时就无法揭露三角函数是反映周期性现象的函数模型这一本质，在后续三角函数的性质和三角公式的运算等内容的教学时，容易忽视单位圆这一工具的作用.

从三角学的发生、发展可见，锐角三角函数和任意角三角函数研究的现象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角三角函数看成锐角三角函数的推广（或一般化），也不能把锐角三角函数看成任意角三角函数在锐角范围内的“限定”.

为了突出三角函数的本质，与旧教材相比，新教材在顺序上有所调整. 调整后的顺序为：特殊角终边与单位圆的交点坐标—任意角终边与单位圆交点坐标唯一确定—单位圆上的点的坐标表示任意角的三角函数—锐角三角函数与任意角三角函数的关系. 这样编排更能体现三角函数的本质，同时考虑到了学生的心理逻辑. 三角函数作为一类特殊的函数，与学生已有认知结构中的其他函数不同，以往所学指数函数、对数函数和幂函数是代数运算规律的反映，但三角函数是几何量之间的直接对应. 新教材引导学生去认识给定一个角，终边与单位圆交点的坐标是唯一确定的，由此破除以往对“对应关系”的思维定势.

综合以上分析，新教材更加注重三角函数概念的形成过程，注重概念教学从“事实”到“概念”的路径，让学生经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程，有效构建刻画周期性现象的三角函数模型.

二、基于数学发生、发展视角的数学“四基”与数学学科核心素养

数学“四基”是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体. 每一种素养，都是学生在一堂堂数学课的学习中逐步积累形成的，由某些知识、技能、思想和数学活动经验构成. 分析三角函数概念的“四基”构成，及与数学学科核心素养的关系，是将数学学科核心素养培养落到实处的有效方式.

1. 三角函数概念的“四基”构成

张奠宙教授认为，“四基”的基本形式应该是一个三维模块：数学基础知识的积累过程、数学基本技能的演练过程、数学基本思想的形成过程，数学基本活动经验是填充在这个三维模块中间的“黏合剂”. 三角函数的概念这一内容属于概念性综合模块，是包含“四基”的综合模块.

（1）基础知识.

数学基础知识主要指数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理，以及由其内容所反映出来的一些具体方法. 学生在学习三角函数概念时应具备以下基础知识：作为认知基础的知识有函数的一般概念、表示和性质，平面几何中圆的知识和基本性质;作为预备知识的知识有任意角和弧度制;作为三角函数本质特征与内在联系的知识有三角函数的概念、表示和性质，以及锐角三角函数的概念. 三角函数概念的基础知识结构如图1所示.

（2）基本技能、基本思想和基本活动经验.

数学基本技能主要是指能够按照一定的程序与步骤进行熟练操作的数学行为和本领;数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识;数学基本活动经验是指学生通过亲身经历数学活动过程，所获得的具有个体特征的经验.

数学家斯托里亚尔认为，数学教学应该是数学活动的教学. 教师在教学中要注意精心安排数学活动，使学生在探究三角函数概念的活动中，逐渐领会三角函数出现的必然性、合理性和重要意义. 三角函数的发生、发展启发我们，在三角函数概念的教学中，要让学生经历“观察丰富的周期性现象—抽象出三角函数的研究对象—理解三角函数的对应关系—获得三角函数的定义”的过程.

学生经历上述过程，可以形成观察、联想和抽象的能力. 通过类比一般函数的研究过程，以及如何用某类函数刻画现实事物的变化规律，形成提出问题、分析问题的能力.

在平面直角坐标系中研究单位圆上点的运动，探索其中涉及的几何量，并分析这些几何量的相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念. 学生只有亲身经历这一数学化的活动过程，才能从根本上理解三角函数的对应关系，加深对函数概念本质的理解，获得抽象现实世界的变化规律和构建刻画规律的函数模型的经验，感悟抽象和建模等基本思想.

2. 三角函数概念的“四基”与数学学科核心素养的关系

数学学科核心素养是数学“四基”的继承和发展，“四基”是形成和发展数学学科核心素养的有效载体. 也就是说，“四基”中蕴含着形成和发展数学学科核心素养的“密码”，而如何解构“四基”中蕴含的这些“密码”是落实数学学科核心素养的关键.

数学概念的获得依赖人的抽象思维，通过三角函数概念的教学能培养学生的数学抽象素养.

三角函数是刻画周期现象的函数模型，教学中应以丰富的现实情境引入，然后引导学生将周期性现象简化为圆周运动. 学生在观察和联想的过程中提出问题、探究规律，并用数学语言描述，构建三角函数模型，形成并发展学生的数学建模素养.

在平面直角坐标系中分析涉及的几何元素及它们之间的关系，从而领会三角函数的对应关系是几何元素的直接对应. 在动手操作和抽象思维的共同作用下，学生发现单位圆上点的坐标由圆心角唯一确定，形成三角函数的定义. 因此，三角函数概念的形成过程发展了学生的直观想象素养.

三角函数概念中蕴涵豐富的数学思想. 首先，三角函数作为一类函数，自然蕴涵有对应思想、符号表示思想和函数思想等. 其次，三角函数概念的形成过程，涉及类比、转化等思想. 从三角函数的发生、发展来看，三角函数概念的形成经历了几千年的时间，饱含着很多数学家的智慧，教学中应该让学生得到数学文化的浸润.

以上分析，突出了三角函数概念的“四基”模块与数学学科核心素养的结合点. 从丰富的周期性现象中，通过直观想象、数学抽象获得三角函数的研究对象;根据研究对象的特点构建研究路径，通过一系列推理活动发现和提出数学问题;借助直观想象，构建刻画周期性现象的数学模型，获得三角函数概念.

3. 数学史与数学“四基”的关系

数学“四基”是“双基”内涵丰富、发展和分化的结果. 在2014年首届华人数学教育会议上，苏明强在其论文《数学“四基”的内涵、关系与应用》中表明，数学“四基”是一个不可分割的整体，它们是相辅相成、和谐统一、螺旋递进的关系. 他用如图2所示的关系表示数学“四基”的内部关系.

本文在以上模型和张奠宙教授所给出的数学“四基”三维模型的基础上，以数学的发生、发展为线索，重新整合数学“四基”的关系，并挖掘出数学史在探求“四基”内涵和关系中的作用.

以数学的发生、发展为线索，更能理清数学“四基”的内涵与关系.“四基”中的数学基础知识可以从以下三个方面来理解：一是学生的认知基础，这是考虑学生的心理逻辑，将学习建立在学生的认知基础之上;二是预备知识，即学习这一内容要做哪些准备;三是知识的本质特征与内在联系.

通过研究数学的发生、发展过程可以为以上三个方面提供依据. 以三角函数概念为例，从历史发展来看，早期三角学主要关注计算，而现代的三角函数更注重函数关系，其本质是刻画周期性现象的函数模型. 根据历史相似性原理，可从前人的学习和研究经验中，体察学生的学习困难，理解学生的认知基础，进而指导教师设计符合学生认知规律的数学活动. 为研究圆周运动而引入任意角和弧度制，这是三角函数概念的预备知识.

数学史是联系数学“四基”的桥梁. 以三角函数概念为例，对数学史的挖掘可以让我们理解三角函数的本质，帮助构建学习“四基”的路径. 要学习三角函数，先要引入作为预备知识的任意角和弧度制. 在函数观点的引领下，类比一般函数的学习，全面认识三角函数的本质特征. 同时，发展学生用图形进行表征的能力，使学生能从符号、代数表达式和图象等多方面深刻理解三角函数的概念.

从以上对三角函数概念“四基”的分析可以发现，教师在设计数学活动时，应遵循数学发生、发展的规律，思考如何构建数学活动才能让学生领会相应内容出现的必然性与合理性，理解数学内容的本质. 数学史与数学“四基”的关系如图3所示.

三、总结

本文以三角函数的概念为抓手，基于数学发生、发展的视角，理解数学内容的本质，从而理解教材的编写意图. 以数学的发生、发展为线索，理清数学“四基”的内涵与关系，依靠数学“四基”模块的建构，分析其中所蕴涵的数学学科核心素养，挖掘数学内容与数学学科核心素养的结合点.

学生通过经历数学活动，在获得知识和技能的同时，积累数学活动经验，感悟数学思想，从而达到形成和发展数学学科核心素养的目标. 这为分析具体数学内容与数学学科核心素养的关系提供了一般模式. 数学内容与数学学科核心素养的关系分析示意图如图4所示.

在教学中，充分利用数学发生、发展的观点，有助于教师找到分析数学内容的切入点，理解数学内容的本质和学生的学习心理，进而创设更适合学生学习的教学情境，将学术形态的数学知识转化为教学形态的数学知识.

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