建立函数模型 解决真实问题

常丽丽 薛红霞 马婷

摘  要：学生自主选择日常生活中常见的问题，如身高与鞋码、臂长、小腿长的关系，上网时间与学习时间、视力、考试成绩的关系，通过完整的数学建模活动，促进数学建模素养的发展.

关键词：数学建模;真实问题;数据收集;解决问题

数学建模是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中指出的四条主线之一，在人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）中设计了数学建模的学习内容，并给出了确定的课时要求. 数学建模的程序师生容易了解，那么在教学中怎样落实呢？为此我们做了尝试，该尝试依托教材，但是又区别于教材. 变化之处是问题的选择，变化的原因是为了提高可操作性，特别是便于学生收集数据. 下面从教学设计到课题研究成果及反思，再现本次数学建模活动的全过程.

一、单元教学内容和内容解析

1. 内容

建立函数模型解决实际问题：预测本班学生脚长、衣服尺码，以及合理玩手机问题.

建议课时：2课时. 第1课时通过小组讨论确定研究的课题，撰写、展示开题报告，并审核课题研究的可行性;第1课时课后及第2课时开展课题研究，形成课题研究报告;第2课时课后修改并完善研究报告.

2. 内容解析

数学建模指向数学外部，旨在用数学知识解决现实问题. 根据本班学生生活中常见的问题，选择研究学生脚长、衣服尺码与身高的关系，以及玩手机时长与学习成绩的关系等问题.

提出问题：由于个人脚长和衣服尺码主要是由身高决定的，故可以选身高作为自变量. 上衣的尺码可以用臂长来衡量，裤子的尺码可以用腿长来衡量，鉴于腿长起点不好把握，最终决定用小腿长来衡量. 预设问题最终定为研究身高与脚长、臂长、小腿长的关系.

收集数据：确定好研究变量后收集本班学生身高、脚长、臂长、小腿长的数据. 为确保数据的真实准确，可以多次测量求平均值.

数据分析：用Excel软件作出数据的散点图，去掉异常点，根据散点图的趋势选择线性或非线性模型，并用Excel软件给出的相关系数对拟合效果进行评价. 或者利用统计案例知识，即用最小二乘法建立线性回归模型，用残差求相关系数的大小，对函数模型进行评价.

模型应用：研究的最终成果可以为本班学生购买衣服和鞋子提供数据支持.

数学建模的选题可以非常丰富. 例如，学生玩手机对学习成绩有怎样的影响，研究方法同上. 经历这些研究过程，可以提升学生的数学建模素养，让学生学会用数学眼光观察世界.

因此，本单元的教学重点是：将实际问题转化为数学问题，选择和建立合适的函数模型，并应用建立的模型解决实际问题.

二、单元教学目标和目标解析

1. 单元教学目标

（1）经历提出问题、建立数学模型解决问题的过程，让学生用数学眼光发现和提出问题，用数学语言表达现实世界，感受数学与现实之间的联系.

（2）以课题的方式开展数学建模活动，让学生学会做课题，并积累数学实践经验.

2. 目标解析

（1）通过观看情景剧，学生能提出需要研究的问题：身高与衣服尺码、玩手机时长与学习成绩等之间的关系，从而知道数学建模是溝通数学世界与现实世界的桥梁，体会数学在生活中的广泛应用，感受数学建模思想和数学建模能力在数学中的重要性.

（2）学生能针对实际问题中隐藏的变量进行分析，确定其中的变量：脚长、臂长、小腿长都与身高有关系，可以将身高作为自变量，其他作为因变量，选择恰当的函数模型，利用模型预测变量之间的关系，并解决问题. 对于玩手机时长与学习时长、视力、学习成绩等的关系，能预测变量之间为反比例关系，选择恰当的模型进行解决. 对于这些选题能用课题研究的方式开展，即学生先选择课题，撰写开题报告，完整经历建模活动，在展示交流后修改、完善研究成果，撰写结题报告.

三、教学问题诊断分析

本单元教学的难点之一是学生缺乏数学建模的经历，不知道如何开展研究. 为此，教师要做好方法指导，帮助学生开展数学建模活动. 首先是选题，在课堂上教师要给学生提供充足的材料，先让学生以小组为单位提出自己感兴趣的选题，之后小组内的成员讨论，组间交流. 在此基础上，教师再指导学生怎样选题，引导学生学会发现问题、提出问题. 在数学建模活动的过程中，教师要根据数学建模的步骤适时予以指导. 特别是要用好教材中所给的案例，即“茶水口感最佳时最适温度”，让学生初步了解如何开展数学建模活动.

本单元教学的难点之二是函数模型的选择. 学生缺乏发散的思维意识和能力，面对固定选题不善于从多个角度比较之后再进行优化选择. 为此，需要改变学生处理问题的思维. 具体做法是：分析教材中“茶水口感最佳时最适温度”的课题研究，激发学生探求不一样的方法. 例如，有数值比就有数值差，曲线模型除了指数函数还有反比例函数、二次函数、对数函数、多项式函数等. 因此，可以尝试从不同的角度、选用不同的方法进行数学建模活动，然后根据实际值和预测值的差距选择合适的模型，或者用Excel软件模拟其拟合效果并进行评价.

四、教学支持条件分析

利用Excel软件，对数据进行处理——求平均值、求和;对数据进行分析——画散点图;对散点图中的曲线进行模拟——趋势线公式;对函数模型进行评价——相关系数[R2.]

五、教学方式设计

在教师的带领下，采用课题研究的方式进行.

六、研究规划

课前：利用自习时间，就“茶水口感最佳时最适温度”问题，教师指导学生先自主阅读，再进行小组讨论、展示交流，让学生了解数学建模的步骤，体会如何从现实生活中发现问题、提出问题，并借助数学建模解决问题. 学习Excel软件的相关功能，了解一些统计常识.

第1课时：学生观看情景剧，思考其中引发家庭矛盾的原因，提出问题，以此为依据确定研究的课题，撰写、展示、交流开题报告，审核课题研究的可行性.

第1课时课后作业：利用自习时间，小组合作共同完成课题的研究，并形成研究报告初稿，教师给出课题研究报告的修改建议.

第2课时：以小组为单位展示课题的研究过程、研究成果和研究报告.

第2课时课后作业：根据教师给出的课题研究报告修改建议，以及课上展示时其他小组的质疑或建议，对本小组的研究报告进行修改，并最终完成研究报告.

七、教学过程设计

1. 课前准备工作

（1）了解数学建模.

通过自主阅读和小组讨论的方式，学习“茶水口感最佳时最适温度”问题，了解数学建模的简单步骤，并对照情景剧，将之具体化，如图1所示.

（2）必备知识准备.

学习Excel软件中与本节课有关的数据处理功能：求平均值、求和、画散点图、模拟趋势线公式、求相关系数[R2.] 了解统计的常识，如相关系数的大小与拟合效果的关系.

（3）确定研究选题.

對教材中提供的四个备选课题进行分析，选择将要研究的课题.

① 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

由于对解冻缺乏可参考的标准，学生做起来有一定困难. 虽然可以类比雪糕、冰块的溶解速度进行推算，但是否有可类比性没有科学依据作为支撑. 因此放弃了这个选题.

② 根据某一学生的身高和体重，判断该学生是否超重？

根据身高计算标准体重，已经有成熟的运算公式，学生研究的欲望不够强烈，而且即使展开研究，其成果也是粗糙的，不可能突破现有成果. 为此，结合情景剧，学生类比身高与体重的关系提出了身高与脚长、小臂长、腿长的关系进行研究.

③ 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.

此课题对研究工具要求较高，需要与物理结合，故放弃选择.

④ 估计阅读一本书所需要的时间.

读一本书可量化的数据较少，影响因素又较多，研究起来不容易把握研究方向. 类比此课题，学生提出了关于假期上网时间的研究，进而具化为玩手机的时长对学习成绩、视力、学习时长的影响. 其中的变量都可以量化，相对容易研究.

（4）了解课题研究的程序.

通过阅读教材可以了解到，课题研究的程序是：选择课题，撰写开题报告—设计研究方案，实施课题—完成课题，形成研究报告.

2. 第1课时：确定研究课题并撰写开题报告

引导语：通过课前学习“茶水口感最佳时最适温度”问题，大家了解了数学建模是沟通数学世界的桥梁，可以用数学的方法解决生活中的问题. 放学回家后，同学们可以活学活用，为长辈泡一杯口感最佳的茶水，表达我们的孝心. 今天我们要用这个方法帮助小明解决他在生活中遇到的一些问题.

环节1：生活问题数学化.

欣赏生1和生2表演的情景剧，思考小明和妈妈的矛盾点，分析矛盾成因. 从中可以抽象出怎样的数学问题进行研究？研究它的意义又是什么？

师生活动：观看情景剧，教师提出问题，学生小组讨论合作完成.

预设答案：（1）小明妈妈给小明买的鞋子、衣服尺码不合适，说明小明妈妈对小明的身材估计不准，可以从中抽象出研究身高与脚长、臂长、小腿长的关系. 利用研究成果，根据小明的身高，推测出他的脚长和衣服尺码，为小明妈妈提供参考.

（2）小明妈妈关心小明的成绩，一旦成绩不如意，罪责全怪在手机上，可以从中抽象出玩手机时长与学习时长、学习成绩、视力的关系，预测小明每天合理的玩手机时长，为小明提供参考.

学生可能面对的困难：对于情景剧中事件涉及的变量，以及选取哪个变量作为自变量或因变量的把控不准确.

事实上，有一个小组就没有在情景剧中抽象出所要研究的课题，但是他们发现教室后面张贴的两次月考成绩表，灵机一动，决定研究两次月考数学成绩间的联系，并预测下一次月考的数学成绩. 为此，教师要引导学生注意抽取情境中的问题，如小明妈妈和小明的矛盾点在哪，影响这些矛盾的因素是什么. 据此确定自变量与因变量.

【设计意图】情景剧是根据学生日常生活中所面临的问题设计的，能够直击学生的内心. 通过观看情景剧，不仅使学生有身临其境的感觉，容易激发学生的学习兴趣，更能使学生体会到数学来源于生活，又高于生活，从而培养学生发现问题、提出问题的能力，提升学生的数学抽象素养.

环节2：撰写开题报告.

师生活动：教师撰写了教材中“关于茶水口感最佳时最适温度”课题的开题报告，并以此为模板指导学生完成所选课题的开题报告.

开题报告需要写清楚以下几个方面：课题名称，课题组成员及分工，选题的意义，研究的计划（包括对选题的分析、解决问题的思路等）.

学生可能面对的困难：（1）不清楚开题报告怎么写;（2）不清楚如何对自己研究的课题进行合理规划.

破解办法：学生可以借鉴教师提供的模板，亦可以自己查阅相关资料，搜寻自己喜欢的开题报告模板.

【设计意图】开题报告是课题研究方案的设计、规划和制定，可以帮助学生明确选题的意义与研究方法;培养学生做事情前有计划、有规划的习惯;指导学生熟悉开题报告的格式，明确借助网络查阅资料是获取信息的有效手段，为以后撰写论文打下基础.

环节3：展示、交流部分开题报告，规划研究步骤.

师生活动：展示、交流开题报告中的选题意义、研究方法和研究步骤.

学生可能面对的困难：（1）研究方法单一，缺少创新思维;（2）研究步骤相对简单，会局限于指数函数概念学习时采用的数值比的方法.

破解办法：教师引导学生回顾已有的函数模型：一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型和对数函数模型，尝试建立不同的函数模型解决实际问题，并在不断尝试中对已有函数模型进行优化.

【设计意图】通过展示开题报告，使各小组的研究思路和方法更加明晰，方便小组间相互学习、取长补短，优化本组的研究思路和研究方法，促使后续课题的研究思路清晰化，引领课题研究的进展方向.

课后作业：学生依据开题报告，以小组为单位自主开展课题研究，并梳理课题的研究成果，撰写课题研究报告，按规定时间提交，教师给出课题研究报告的修改建议.

3. 第2课时：展示课题研究，形成课题研究报告

环节1：收集、分析和整理数据.

师生活动：各组代表展示本组收集数据的过程和方法，以及对数据都进行了怎样的分析和整理.

预设答案：

收集数据的方法：（1）直接引用近期体检报告中身高和体重的数据，同时用卷尺测量同学的臂长和小腿长，并询问脚长;（2）采用问卷调查法，调查同学在假期每天玩手机的时长和学习时长，引用体检报告中的视力数据，询问视力情况，并选用近期考试成绩.

處理数据的方法：（1）借助Excel软件分析、整理数据，绘制散点图，求出线性回归直线方程，以及相关系数[R2;]（2）借用教材中构建指数函数模型的方法对数据进行处理，求出学习成绩的变化比例，计算第二个数据与上一个数据的比值，再用平均值求出其曲线方程.

学生可能面对的困难：（1）数据的收集——异常点较多，收集的数据规律性不强;（2）处理数据方法单一——过于依赖多媒体.

破解办法：对于收集数据，可以多次测量求平均值，以矫正误差;要求学生用Excel软件处理数据，同时对数据进行观察、分析，通过计算发现规律.

【设计意图】通过用卷尺测量、问卷调查、借助软件或者观察、计算等活动，让学生经历数据收集、整理、分析的过程，不仅增强了学生的动手能力，也培养了学生的数据分析素养.

环节2：选择函数模型.

师生活动：各组代表展示选择的模型，并说明选择该模型的理由，教师进行适当点评.

预设答案：（1）身高与脚长、臂长、小腿长的函数模型均为线性模型，且成正比例关系;（2）玩手机的时长与学习时长、学习成绩、视力的函数模型不是很确定，其中人为因素较多，但可以预测成反比例关系.

学生可能面对的困难：（1）模型的选择单一——线性回归模型和指数模型;（2）模拟方法单一——直接用电脑模拟.

破解办法：数学模型除了常见的线性和非线性的函数模型外，还有高中教材以外的微分模型（物理学、经济学和管理学）、差分模型（经济、金融和人口预测）、变分法模型（最优控制函数使某个泛函达到最大或最小）、模糊数学建模（模糊评价）、灰色理论建模（社会系统、农业系统、生态系统）等. 虽然学生还没有学习到，但是可以通过查阅相关资料，对感兴趣的模型进行简单了解，并借鉴其中对自己所研究课题有用的部分，如可以用变分法模型研究玩手机时长和学习成绩之间的一个平衡点.

【设计意图】函数模型的选择是数学建模过程中最重要的环节，在众多模型面前，适合的才是最好的，学生要学会在众多信息之中进行有效选择. 学生在选择合适模型、优化模型的过程中，能够不断提升数学建模能力.

环节3：检验函数模型.

师生活动：用建立的函数模型求出收集数据的预测值，并与实际值进行对比.

学生可能面对的困难：不清楚对比方法和参考标准.

破解办法：当两个变量间存在相同或相反的变化趋势时，就可以用线性模型描述，但这种关系受其他许多因素的影响，这些影响因素会产生随机误差，它是一个不可观测的量，只能通过其估计值，即实际值与预测值间的差值来衡量，就是所谓的残差. 进而通过残差发现原始数据中的异常数据，判断建立模型的拟合效果. 为了使效果更加直观，可以绘制残差图. 为了更加精准地比较两个模型的拟合效果，需要借助公式计算[R2，] 说明模型拟合的精确度.

这些知识学生没有学习过，但鉴于比较好理解，可以直接应用，系统的理论知识后续再学习.

【设计意图】学生在遇到困难时，可以通过查阅资料自学新的知识，并尝试用不同的方法解决问题，培养学生的自学能力. 这也是通过数学建模解决实际问题时引发的学习延伸.

环节4：应用函数模型.

师生活动：共同探究尺码问题除了能解决小明妈妈给小明买鞋子和衣服是否合身的问题，还能解决哪些问题.

预设答案：还可以给本班学生网购衣服提供数据支持. 但是不能作为这个年龄段学生购买服装的唯一依据，这个问题之后在统计知识的学习过程中会进一步研究.

学生可能面对的困难：根据研究模型求出预测值和实际值之间存在偏差，在实际中应用效果不佳，说服力不足.

破解办法：让学生理解将现实问题抽象为数学问题，有诸多影响因素，需要很多理想状态下的假设，存在偏差非常正常.

【设计意图】实践是检验真理的唯一标准，数学知识只有应用于生活中才能体现其价值，才能给学生更深刻的感悟. 数学来源于生活，最终要服务于生活，学以致用是学习的真谛. 学生在应用知识的过程中，不仅巩固了所学的知识点，完善了已有的知识结构，更提升了思维的深刻性.

环节5：结题报告修改建议.

师生活动：针对学生的课题结题报告，教师给出修改建议.

预设答案如下表所示.

【设计意图】对学生来说，数学建模活动是全新的体验，研究过程是摸着石头过河，最终形成的研究报告很稚嫩，但又不缺乏创新性，所以教师应该先肯定学生在研究过程中的优点，同时指出不足加以修改，最终形成新的研究报告，从而培养学生大胆创新的勇气和小心求证的严谨态度.

课后作业：参考其他小组研究报告中的优点，对自己小组课题报告中的不足进行修改，形成新的报告，完成课题研究.

八、研究成果及应用

各小组在开题之后，积极开展课题研究，形成如下研究成果.

1. 学生自主探索形成的初期成果

（1）身高与脚长等关系的课题研究成果.

该课题由三个小组共同完成，组1研究身高与脚长之间的关系;组2研究身高与臂长之间的关系;组3研究身高与小腿长之间的关系. 并分别得到最终的函数模型.

身高与脚长之间的关系：[y=0.294 2x-10.211，] 其中x表示身高，y表示脚长，[R2=84.21.] 说明身高的变化解释了84.21%的脚长的变化.

身高与臂长之间的关系：[y=0.409 3x-1.461 8，] 其中x表示身高，y表示臂长，[R2=0.642.] 说明身高的变化解释了64.2%的臂长的变化.

身高与小腿长之间的关系：[y=0.250 6x+0.990 6，]其中x表示身高，y表示小腿长，[R2=0.533 4.] 说明身高的变化解释了53.34%的小腿长的变化.

（2）玩手机的时长与学习成绩等关系的课题研究成果.

该课题由三个小组共同完成，组4研究玩手机时长与学习时长之间的关系;组5研究玩手机时长与视力之间的关系;组6研究玩手机时长与学习成绩之间的关系. 并分别得到最终的函数模型.

玩手机时长与学习时长之间的关系：[y=-0.422 3x+][6.770 1，] 其中x表示玩手机时长，y表示学习时长，[R2=][0.743 7.] 说明玩手机时长的变化解释了74.37%的学习时长的变化.

玩手机时长与视力之间的关系：[y=755.09e0.097x，] 其中x表示玩手机时长，y表示视力，[R2=0.625 9.] 说明玩手机时长的变化解释了62.59%的视力的变化.

玩手机时长与学习成绩之间的关系：[y=5×1.29x，] 其中x表示玩手机时长，y表示学习成绩，[R2=0.549 5.] 说明玩手机时长的變化解释了54.95%的学习成绩的变化.

（3）前后两次月考数学成绩关系课题的研究成果.

该课题由组7完成研究，得到最终的函数模型.

预测月考数学成绩：[y=0.132 3x+2.464 9，] 其中x表示第一次月考数学成绩，y表示第二次月考数学成绩，[R2=][0.981 3.] 说明第一次月考数学成绩有98.13%的概率决定了第二次月考数学成绩.

2. 经过组间讨论之后进一步修改的成果

对于如上初期成果，学生提出疑问. 例如，玩手机时长与视力之间的关系，前后两次月考数学成绩之间的关系. 修改之后的模型如下.

（1）玩手机时长与学习时长之间的关系.

经过小组讨论，改用统计案例中的最小二乘法得到新的函数：[y=-119.8x+672.2，] 用多媒体模拟得出相关系数[R2=0.411.] 说明玩手机时长的变化解释了41.1%的学习时长的变化，这个数据似乎更符合人们的经验认知.

（2）前后两次月考数学成绩之间的关系.

对于第一次月考数学成绩，不同的学生其分布规律不尽相同，用一个函数进行拟合会导致预测值与实际值相差较大，因此根据不同分数段内数据的分布规律，选择分段拟合. 同时对于同一分数段内的数据，思考用哪种函数拟合效果好. 针对这两个问题，进一步对建立的模型进行分析，过程及结果如下.

① 对于第一次月考数学成绩在[38，71]内的样本数据，可以有两种拟合方案.

方案1：线性回归模型[y=0.08x-0.47+e，] 相关系数[R2=0.6.] 说明第一次月考数学成绩解释了60%的数学成绩差距的变化.

方案2：线性回归模型[y=0.182 8x-6.123 3，] 相关系数[R2=0.834 3.] 说明第一次月考数学成绩解释了83.43%的数学成绩差距的变化.

② 对于第一次月考数学成绩在[71，98]内的样本数据，可以有三种拟合方案.

方案1：指数模型[y=e-0.08x+8.156，] 相关系数[R2=0.778.]说明第一次月考数学成绩解释了77.8%的数学成绩差距的变化.

方案2：二次函数模型. 将二次函数模型线性化以后，散点图并不分布在一条直线周围，因此不宜用线性回归方程来拟合，即不宜用二次回归模型[y=c3x2+c4]来拟合两次月考数学成绩之间的关系

方案3：指数模型[y=1 253.2e-0.068x，] 相关系数[R2=][0.748 6.] 说明第一次月考数学成绩解释了74.86%的数学成绩差距的变化.

③ 确定拟合函数.

比较相关系数可知，当第一次月考数学成绩在[38，71]内时，选用线性回归模型[y=0.182 8x-6.123 3;] 当第一次月考数学成绩在[71，98]内时，选用指数模型[y=][e-0.08x+8.156.]

3. 应用模型解决实际问题

有始有终，回到开始的情景剧，不忘初心，牢记建立函数模型是为了解决实际问题.

（1）关于身高与脚长等关系模型的应用.

本班学生家长在给孩子买衣服时，只要知道孩子的身高就能大致推算出脚长、腿长和臂长，买的衣服就基本合身. 例如，小明的身高是180 cm，由此可以推算出他的脚长是42.745 cm，小腿长是46.098 6 cm，臂长是75.135 8 cm. 经现场验证，这个数据与真实情况基本吻合. 信息时代，网购成为常态，本模型可以为本班学生网上买鞋子和衣服提供数据支持. 如果该课题后续进一步改进趋于成熟，也可用于刑侦，但是要注意模型的适用范围.

（2）关于玩手機时长与学习时长等关系模型的应用.

只要每天玩手机时长控制在合理的范围内，基本不会对学生的视力和学习成绩造成影响，根据研究成果给出合理的建议，家长就不会一味限制孩子玩手机，而是有理有据地建议孩子玩手机的时长保持在每天1个小时之内.

（3）关于两次月考数学成绩关系模型的应用.

根据我们的研究可以说明，只要学生的努力程度保持不变，其他因素在理想状态下，数学成绩的走势将会是稳步上升的，可以增强学生学习的信心.

学生通过这次数学建模活动，积累了活动经验. 在这一系列的活动中，学生认识了刻画现实世界规律的不同函数模型，了解了这些模型的不同特征，并且知道了这些不同的模型都刻画了哪些现实规律，为后续的数学建模活动奠定了研究基础. 经历此次数学建模活动，可以提升学生的核心素养，如数学抽象素养（从情景剧中抽象出数学问题）、数据分析素养（用Excel软件分析、整理数据）、数学建模素养（选择、检验、优化函数模型）. 采用课题的方式进行学习，学生明白了合作的重要性，在研究过程中遇到困难时，小组成员互帮互助，在完成课题研究的同时，也收获了友谊. 面对真实的问题，学生的创新能力和教师的已有经验相结合，将会创造奇迹. 细节决定成败，如在对数据收集的认知上，学生深刻感受到失之毫厘、差之千里，本次活动激发了学生认真负责的态度. 通过此次活动，学生切实感受到了数学来源于生活却高于生活，用数学知识解决生活问题，使得我们的生活更加便捷. 通过此次活动使学生更加了解到，用数学解决问题，不必拘泥于已有的知识，可以根据需要自学其他知识，这样才能更好地解决问题.

数学建模对于学生来说是第一次，活动过程培养了学生用数学眼光欣赏世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力，使学生了解到了数学与现实世界的紧密联系. 在后续学习统计知识后，再开展数学建模活动，学生站位的高度将有所不同，看待问题的观点、角度自然也会不同，所以数学建模课应该贯穿整个高中数学课堂，在系列活动中帮助学生积累经验，提升核心素养，立德树人，最终达成高中数学的课程目标.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]张巍巍，常青，薛红霞. 经历数学建模过程  积累数学活动经验：“关于介质与距离对WiFi信号强弱的影响”教学设计与实践[J]. 中国数学教育（高中版），2021（3）：36-42.