评析抗疫模型试题 漫话数学建模教学

华志远

摘  要：从两道以抗击新冠肺炎疫情为背景的高考试题出发，研究试题的解法，评析其考查的要点. 并以具体案例为依托，对数学建模的含义、原则、方法及步骤等进一步探究，以期为今后开展数学建模教学起到积极的引导作用.

关键词：高考试题;抗疫模型;数学建模;指数函数

当下课程改革以培养学生关键能力和核心素养为目标，数学建模教学尤其令人瞩目.《普通高中数学课程标准（2017年版）》在论及课程内容时强调数学与生活及其他学科之间的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透;在论及数学学科核心素养时，对数学建模的课程目标明确提出：要让学生认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神.

针对2020年全球暴发的新冠肺炎疫情，高考命题将相关数学模型融入其中，让广大师生感受到了数学与科技、社会、生活等的紧密联系. 例如，2020年全国新高考Ⅰ（Ⅱ）卷第6题考查了新冠肺炎流行病的两个基本参数，以估算疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需要的时间. 再如，2020年全国Ⅲ卷文（理）科第4题利用Logistic模型评估疫情发展情况等，追踪了社会热点、分享了研究成果，对数学建模教学起到了良好的导向作用.

一、试题分析

例1 （2020年全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：[It=ert]描述累计感染病例数[It]随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 = 1 + rT. 有学者基于已有数据估计出R0 = 3.28，T = 6. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（    ）.（ln2 ≈ 0.69.）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

解：由题意，得[r=R0-1T=0.38.]

代入，得[e0.38t=2，]

即[t=ln20.38≈1.8.]

【评析】此题以刻画加速变化的指数函数模型为背景，考查学生对指数、对数概念的理解，以及数学运算能力. 虽然难度不大，但是寓意深刻，体现了数学的应用价值.

例2 （2020年全国Ⅲ卷·文 / 理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数[It]（t的单位：天）的Logistic模型：[It=K1+e-0.23t-53，] 其中K为最大确诊病例数. 当[It*=0.95K]时，标志着已初步遏制疫情，则[t*]约为（    ）.（ln19 ≈ 3.）

（A）60   （B）63   （C）66   （D）69

解：由[K1+e-0.23t*-53=0.95K，] 得

[e0.23t*-53=19，]

即[t*=53+ln190.23≈66.]

【评析】此题以刻画收敛变化的Logistic模型为背景，考查学生对数学模型的理解，以及对指数和对数运算法则的掌握情况，同时为抗击疫情提供了一定的想象空间. 如[t=53]（天），呼应了人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）中放射元素的“半衰期”，这里[I53=K2，] 恰好为最大确诊数之半.

笔者在单元复习教学中，让学生研究了函数[It=][K1+e-0.23t-53]的图象及性质，发现虽然该函数是关于t的增函数，但当t = 53时，却是S形曲线的拐点. 从图象可以得出判断：某地区新冠肺炎累计确诊病例数达到最大确诊病例数一半之前，是病例数的加速增长期，过了这一点，病例数的增长率就会下降，最后趋向于0，即进入逐渐降低增长的时期. 为此，引入函数[It=][K1+e-pt-t0，] 引导学生对比、分析不同地区的疫情发展情况，让学生感受我国在抗击疫情领域取得的非凡成绩.

二、数学建模的含义及原则

什么是数学模型？著名数学家徐利治在《数学方法论选讲》中指出，数学模型是针对或参照某种事物系統的特征或数量依存关系，采取数学语言，概括或近似地表述出的一种数学结构，建立数学模型来分析、解决问题的过程叫做数学建模. 数学模型是灵动的数学，是一种反映真实情境，并加以简化、抽象、概括、推演及修正，以表达真实世界、问题原型的数学形式及结构，它是对现实的一种量化刻画或是对未来的预估. 因此，数学建模一般符合反映性、简化性及可推演性等原则.

三、数学建模的方法及步骤

数学模型是数学思想方法内涵的外显形式，是数学家运用数学解决实际问题的智慧结晶，它将多元、复杂的实际问题，通过选取主要因素转化为数学问题. 因此，所有数学模型都是与某类实际问题逼近的近似值，但有时现实变化过快，使得一些数学模型必须进行迭代升级，才能重新获得应用价值.

例如，教材“函数模型的应用”一节中提到，针对人口的快速增长，1798年，英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下的人口增长模型：[dydt=ky，] 其中[yt]表示[t]时刻某地区的人口数，[kt]表示出生率与死亡率之差. 若该地区人口是稳定的，可假设[k]是常数，则人口变化率[yt=kyt，] 求得[y=cekt，c]为任意常数（由于高中生知识的局限，教材直接给出了该函数）. 设[t0]时刻某地区的人口数为[y0，] 则[y0=cekt0，] 代入函数解析式，得[yt=y0ekt-t0.] 该模型在提出后的很长时期内都是适用的，1965年之后的35年中，计算值与实际值仍较为靠近，但随着工业、科技和社会的发展，自然资源、食物、居住条件等参数发生了较大的变化，该模型就出现了较大的偏差，人口不但没有快速增长，反而出现了负增长，因此必须对该模型加以修正. 1837年，荷兰的数学、生物学家弗尔哈斯特引进了一个正常数b，建立了新的方程：[dydt=ky-by2，] 其中k，b称为生命系统参数，用来刻画人口的增长率. 求得[yt=ky0by0+k-by0e-kt-t0，] 当t→+∞时，[yt→kb.] 这意味着，无论人口的初始值是多少，它一定趋向于一个极限值[kb.] 当[0

建立数学模型的方法主要有两类：一类是机理分析法. 例如，离散型的问题可以运用代数方法模型. 另一类是数据分析法. 例如，根据采集的数据进行最好的拟合，并加以回归分析. 前面的人口增长模型就采用了机理分析法，受知识的限制，现行教材中大量采用的是数据分析法，常见的拟合函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数.

数学建模一般会经历模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析和模型应用等步骤. 由于前三个步骤的复杂性，当前高考多数只考查后三个步骤. 综览高考命题，1999年高考全国卷中曾出现过一道关于“冷轧钢”的数学建模题，许多学生反映无从下手. 2013年高考江苏卷中曾出现过一道关于乘索道下山与走下山的人相互等待不超过3 min的试题，许多学生面对题中的“两次时间差”不知所措. 2014年高考江苏卷中有一道关于古桥保护的试题，得分率依然很低. 2017年高考江苏卷考查了一道以正四棱台为背景关于玻璃棒在水中部分长度的试题，由于多数学生缺乏数学建模的能力，导致得分率极低. 可见，数学建模虽然在理论界、学术界和教学研究上是热点，而在实际课堂教学中，却受到广大教师的冷落. 究其原因，首先是教学观念上存在急功近利的倾向;其次是课程资源匮乏，教学方法单一. 因此，加强教师关于数学建模内容的培训，开发和积累优秀的教学案例，研究科学的教学方法，是今后一个阶段的工作重点.

四、教学案例的呈现与评析

通过与通用技术组教师的合作，笔者对教材第162页至第164页的“数学建模活动的一个实例”尝试进行了“探究不同杯子的保温效果”一节课，将测定温度、科学探究、数据拟合与物理原理有机融合，课堂教学效果良好. 现呈现简要流程如下.

提出问题：生活中的杯子形状、大小、材质不同，其保温效果有可能存在差异. 将85 ℃的热水分别倒入大小相同的圆柱形无盖陶瓷杯和玻璃杯，哪个保温效果更好？

学生猜测：陶瓷杯的保温效果更好，因为物理中有这样的基本事实：玻璃的导热性能比陶瓷好.

这一判断是否正确呢？教师利用两个防水温度传感器、秒表、Romeo控制器、USB数据线实验器材，每间隔5分钟，使用防水温度传感器分别测量两只杯子中的水温，待温度基本稳定后记录数据，测量5次后停止，记录数据如下表所示. 从表格中发现，玻璃杯中的水温比陶瓷杯中的水温下降得略快一些，但每次所测温度差异不大，仅在0.02 ～ 0.26 ℃之间，因操作等因素，这样的误差可以忽略不计.

为什么与现实的假设不完全一致呢？如果改变杯子的厚度、水量等因素，测得的数据又会怎样？学生在后来的分组实验中观察到，不加盖子时，各种材质的杯子保温效果几乎相同;加了盖子，保温效果会产生明显差异.

在教学拓展性讨论时，学生发现了其中的奥秘：在实验操作过程中，杯子是否加盖子对保温效果起到了极其重要的影响，也就是说导热性是在封闭容器中才起作用，在开口状态下，杯子主要依赖杯口向外释放热量. 于是，笔者引导学生阅读教材第161页的习题10：把物體放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是[θ1]℃，空气的温度是[θ0]℃，那么t min后物体的温度[θ]（单位：℃）可由公式[θ=θ0+θ1-θ0e-kt]求得，其中[k]是一个随着物体与空气的状况而定的正常数. 再将表格中测得的某两个对应数据分别代入，通过计算器的运算得到环境温度约为24 ℃，这与当时的室温基本吻合. 这样从科学假设到实验测量，从数据统计到分析思考，从物理考证到数学建模，都模拟了科学探究的主要流程，从而使学生真实体验了数学建模的全过程.

现行教材中，围绕数学建模开展的活动、探究、例题及习题等占据了较多的篇幅，与之相呼应，高考命题明显加快了改革的步伐，逐步将数学建模素养的考查融入试题之中，随着《中国高考评价体系》的实施，关键能力和核心素养将成为测试和评价的核心指标和因素. 希望一线教师更新观念、加强研究，让数学建模教学在纾难中前行，以顺应数学课程改革的潮流，提升学生的核心素养，为培养创新型人才打下坚实的基础.

参考文献：

[1]徐利治. 数学方法论选讲[M]. 武汉：华中师范大学出版社，1993.

[2]孙宏安. 谈数学建模[J]. 中学数学教学参考（上旬），2018（4）：2-6，17.